# Formas quadráticas, cónicas e quádricas

Retirar termos cruzados por diagonalização ortogonal, encontrar centros e reconhecer formas canónicas.

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A equação $2x^2+2xy+2y^2=3$ descreve uma elipse, mas o termo $2xy$ esconde os seus eixos.

A matriz simétrica $\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$, já usada nas mudanças de base, fornece as direções desses eixos. Uma mudança ortonormada retira o termo cruzado e conserva os comprimentos necessários para ler os semieixos.

## Da equação à matriz simétrica

Uma forma quadrática em duas variáveis escreve-se

$$
ax^2+2bxy+cy^2= \begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}.
$$

A entrada fora da diagonal é **metade** do coeficiente de $xy$: as duas entradas $b$ produzem uma parcela $bxy$ cada uma.

Em três variáveis, fazemos o mesmo para $xy,xz,yz$.

Por exemplo, $2x^2+2xy+2y^2$ corresponde a $A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$.

## Retirar o termo cruzado

Uma matriz real simétrica admite uma base ortonormada de vetores próprios. Se $Q$ tiver esses vetores como colunas, $Q^TAQ=D$. Ao escrever $X=QU$,

$$
X^TAX=U^TQ^TAQU=U^TDU.
$$

A base ortonormada conserva comprimentos e ângulos. Nota a diferença para a diagonalização comum: a igualdade $P^{-1}AP=D$ não é a substituição que aparece na forma quadrática, que produz $P^TAP$.

Normalizar uma base ortogonal de vetores próprios permite usar $Q^{-1}=Q^T$ e conservar a unidade dos comprimentos. Se usares vetores ortogonais não normalizados, os coeficientes de $P^TAP$ incluem os quadrados das suas normas.

No exemplo, as direções próprias são $(1,1)$ e $(1,-1)$, com valores próprios 3 e 1. Normalizando,

$$
Q=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}, \qquad u=\frac{x+y}{\sqrt2},\quad v=\frac{x-y}{\sqrt2}.
$$

A equação $2x^2+2xy+2y^2=3$ passa a

$$
3u^2+v^2=3 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{u^2}{1}+\frac{v^2}{3}=1.
$$

É uma elipse de semieixos $1$ e $\sqrt3$, com o eixo mais comprido na direção $(1,-1)$ e centro na origem.

Elipse centrada na origem. O semieixo curto segue (1, 1), o longo segue (1, menos 1).u: semieixo 1v: semieixo √3xy0

Em coordenadas ortonormadas, 3u² + v² = 3. O maior semieixo tem a direção (1, −1), associada ao menor valor próprio.

## Termos lineares e centro

Para $q(X)=X^TAX+\ell^TX+k$, com $A$ real simétrica, vetor de coeficientes lineares $\ell$ e constante $k$, uma translação $X=h+Y$ elimina os termos lineares se

$$
2Ah+\ell=0.
$$

Se $A$ é invertível, há um centro único $h=-\frac12A^{-1}\ell$.

Desenvolvendo,

$$
q(h+Y)=(h+Y)^TA(h+Y)+\ell^T(h+Y)+k=Y^TAY+(2Ah+\ell)^TY+q(h),
$$

o termo linear desaparece exatamente quando $2Ah+\ell=0$.

Substituindo,

$$
q(h+Y)=Y^TAY+q(h).
$$

Na equação

$$
2x^2+2xy+2y^2-6x-6y+3=0,
$$

temos $\ell=(-6,-6)$ e $Ah=(3,3)$, logo $h=(1,1)$. A substituição direta dá $q(h)=-3$. Depois da translação e da mudança ortonormada,

$$
3u^2+v^2=3.
$$

É a mesma elipse, agora centrada em $(1,1)$, com novas coordenadas $u=(x+y-2)/\sqrt2$ e $v=(x-y)/\sqrt2$.

Se $A$ for singular, não uses a fórmula da inversa. Resolve $2Ah+\ell=0$: pode não existir centro ou pode existir uma família de centros.

## Reconhecer uma cónica

Depois de diagonalizar e de completar quadrados, compara com uma forma canónica. Os parâmetros $a,b$ da tabela são positivos.

| Forma | Curva |
| --- | --- |
| $u^2/a^2+v^2/b^2=1$ | Elipse |
| $u^2/a^2-v^2/b^2=1$ | Hipérbole |
| $v^2=4pu$, com $p\ne0$ | Parábola |
| $u^2/a^2+v^2/b^2=0$ | Um ponto |
| $u^2/a^2-v^2/b^2=0$ | Duas retas concorrentes |
| $u^2=a^2$ | Duas retas paralelas |
| $u^2=0$ | Uma reta dupla |
| $u^2+v^2=-1$ (conjunto vazio: o segundo membro negativo decide, não apenas os sinais próprios) | Conjunto vazio |

O sinal dos valores próprios ajuda, mas o termo independente também conta: dois valores positivos podem dar uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio. Um valor próprio nulo não significa automaticamente parábola. Olha para o termo linear na direção sem termo quadrático.

Por exemplo, $x^2-2y=0$ é uma parábola, enquanto $x^2-1=0$ é um par de retas, embora a matriz da parte quadrática seja a mesma nos dois casos.

## Reconhecer uma quádrica

Em três dimensões, começamos pelo mesmo processo. Estas formas canónicas mostram os principais casos, com $a,b,c>0$:

| Forma | Superfície |
| --- | --- |
| $u^2/a^2+v^2/b^2+w^2/c^2=1$ | Elipsoide |
| $u^2/a^2+v^2/b^2-w^2/c^2=1$ | Hiperboloide de uma folha |
| $-u^2/a^2-v^2/b^2+w^2/c^2=1$ | Hiperboloide de duas folhas |
| $u^2/a^2+v^2/b^2-w^2/c^2=0$ | Cone elíptico |
| $u^2/a^2+v^2/b^2=1$ | Cilindro elíptico, livre na direção $w$ |
| $w=u^2/a^2+v^2/b^2$ | Paraboloide elíptico |
| $w=u^2/a^2-v^2/b^2$ | Paraboloide hiperbólico |

Uma variável ausente significa que a superfície se prolonga livremente nessa direção. Os casos degenerados, como pontos, retas, planos ou conjunto vazio, exigem resolver a equação final; não desaparecem da análise por não estarem nesta tabela.

### Uma folha ou duas?

Podemos distinguir os dois hiperboloides cortando-os por planos horizontais $w=t$. Para $u^2+v^2-w^2=1$, cada corte satisfaz

$$
u^2+v^2=1+t^2.
$$

Há uma circunferência para qualquer $t$: em $t=0$, o raio é 1; em $t=\pm1$, é $\sqrt2$. Os cortes nunca desaparecem e ligam-se numa superfície de **uma folha**.

Para $-u^2-v^2+w^2=1$, o corte satisfaz

$$
u^2+v^2=t^2-1.
$$

Se $|t|<1$, não há pontos, porque o primeiro membro não pode ser negativo. Em $t=\pm1$, o corte é um ponto; para $|t|>1$, é uma circunferência de raio $\sqrt{t^2-1}$. A faixa vazia $-1<w<1$ separa a superfície em **duas folhas**, uma com $w\geq1$ e outra com $w\leq-1$.

## Elipsoide rodado e transladado (opcional)

Considera $2x^2+2xy+2y^2+z^2-6x-6y+3=0$. A parte quadrática em $(x,y)$ é a do exemplo da elipse e $z$ aparece só com $z^2$. O centro resolve

$$
\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&0&1\end{bmatrix}h =\begin{bmatrix}3\\3\\0\end{bmatrix},
$$

logo $h=(1,1,0)$. A constante no centro é $q(h)=2+2+2-6-6+3=-3$. Com $x=1+y_1$, $y=1+y_2$ e $z=w$, a equação fica

$$
2y_1^2+2y_1y_2+2y_2^2+w^2=3.
$$

A mudança ortonormada $u=(y_1+y_2)/\sqrt2$, $v=(y_1-y_2)/\sqrt2$ deixa $w=z$ inalterado. Obtemos $3u^2+v^2+w^2=3$, ou seja,

$$
\frac{u^2}{1}+\frac{v^2}{3}+\frac{w^2}{3}=1.
$$

É um elipsoide de semieixos $1,\sqrt3,\sqrt3$, centrado em $(1,1,0)$. O eixo mais curto segue a direção $(1,1,0)$, associada ao coeficiente 3.

## Exercícios

Um valor nulo não prova parábola

Classifica $4x^2+4xy+y^2=1$ e indica a matriz simétrica.

Pista

A entrada cruzada é metade de 4.

Solução

A matriz é $\begin{bmatrix}4&2\\2&1\end{bmatrix}$, com valores próprios 5 e 0. A equação equivale a $2x+y=1$ ou $2x+y=-1$: duas retas paralelas. Não há termo linear na direção nula que crie uma parábola.

Confere a tua resposta:

*   Constrói a matriz.
*   Identifica as duas retas.

Erros frequentes

A entrada fora da diagonal é metade do coeficiente de $xy$. Um valor próprio zero não implica, por si só, uma parábola.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/conicas-quadricas/#reconhecer-uma-c%C3%B3nica)

Centro e semieixos

Encontra centro e semieixos de $2x^2+2xy+2y^2-6x-6y+3=0$.

Pista

Resolve $2Ah+\ell=0$.

Solução

Com $X=(1,1)+Y$, a equação fica $2y_1^2+2y_1y_2+2y_2^2=3$ com $Y=(y_1,y_2)$: o termo linear cancela porque $2Ah+\ell=0$ e a constante é $q(1,1)=-3$. A mudança ortonormada $u=(y_1+y_2)/\sqrt2$, $v=(y_1-y_2)/\sqrt2$ dá $3u^2+v^2=3$. Os semieixos são $1,\sqrt3$, com o maior na direção $(1,-1)$.

Confere a tua resposta:

*   Obtém o centro e a equação transformada.
*   Usa coordenadas ortonormadas para os semieixos.

Erros frequentes

Retirar termos cruzados não retira os termos lineares. Faz também a translação e só depois lê os semieixos.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/conicas-quadricas/#termos-lineares-e-centro)

Secções de uma superfície

Distingue $x^2+y^2-z^2=1$ de $-x^2-y^2+z^2=1$ por secções de z constante.

Pista

Isola x²+y².

Mais uma pista

Os raios ao quadrado são 1+z² e z²-1.

Solução

Na primeira, $x^2+y^2=1+z^2>0$: há uma circunferência de raio $\sqrt{1+z^2}$ para todo $z$, incluindo $z=0$. É um hiperboloide de uma folha. Na segunda, $x^2+y^2=z^2-1$. Para $|z|<1$ não há pontos; para $z=\pm1$ o corte é um ponto; para $|z|>1$ é uma circunferência. A faixa vazia separa duas folhas.

Confere a tua resposta:

*   Calcula os raios ao quadrado.
*   Relaciona as secções com as folhas.

Erros frequentes

Olha para os valores de $z$ que permitem uma secção real. As duas equações não descrevem o mesmo número de folhas.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/conicas-quadricas/#reconhecer-uma-qu%C3%A1drica)

Valor próprio zero e termo linear

Classifica $x^2-2xy+y^2-2x-2y=0$. Obtém coordenadas ortonormadas que retirem o termo cruzado, decide se existe centro e identifica o vértice e o eixo.

Pista

A matriz quadrática é $\begin{bmatrix}1&-1\\-1&1\end{bmatrix}$. Os vetores $(1,-1)$ e $(1,1)$ dão as direções próprias.

Mais uma pista

Escolhe $u=(x-y)/\sqrt2$ e $v=(x+y)/\sqrt2$. O termo linear continua presente na direção de valor próprio zero.

Solução

Os valores próprios são 2 e 0. Nas coordenadas indicadas,

$$
2u^2-2\sqrt2v=0 \quad\Longleftrightarrow\quad u^2=\sqrt2v.
$$

É uma parábola, com vértice na origem e eixo $u=0$, isto é, $x=y$, abrindo na direção $(1,1)$.

Um centro teria de satisfazer $2Ah+(-2,-2)^T=0$, ou seja, $Ah=(1,1)^T$. As duas linhas de $A$ são simétricas uma da outra; as equações exigiriam simultaneamente $h_1-h_2=1$ e $-h_1+h_2=1$. É impossível, logo não há centro. O valor próprio zero não basta para classificar: é o termo linear nessa direção que produz a parábola.

Confere a tua resposta:

*   Mantém o termo linear depois da rotação.
*   Justifica a falta de centro e identifica vértice e eixo na base original.

Erros frequentes

Diagonalizar só a parte quadrática não transforma esta equação em duas retas. O termo linear na direção nula não desaparece.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/conicas-quadricas/#termos-lineares-e-centro)