# Exercícios MT1 Questões de testes antigos de ALGA, com resolução. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/exercicios-mt1/ ## Matrizes Quadrado de uma matriz igual a menos a identidade Teste 1, 2023/24 Seja $A=\begin{pmatrix}1&1/3\\a&b\end{pmatrix}$. Indique os valores de $a$ e $b$ tais que $A^2=-I_2$. Solução $a=-6$ e $b=-1$. Multiplicando, $A^2=\begin{pmatrix}1+a/3&1/3+b/3\\a+ab&a/3+b^2\end{pmatrix}$. Igualando a $-I_2$, obtém-se $1+a/3=-1$, logo $a=-6$, e $1/3+b/3=0$, logo $b=-1$. As restantes entradas também ficam corretas: $-6+6=0$ e $-2+1=-1$. Confere a tua resposta: * A resposta indica $a=-6$. * A resposta indica $b=-1$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/matrizes/#pot%C3%AAncias-simetria-e-ortogonalidade) Produto de matrizes retangulares Teste 1, 2023/24 Indique a matriz produto $BC$, onde $B=\begin{pmatrix}-1&2&3\\1&0&0\end{pmatrix}$ e $C=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&1&0\end{pmatrix}$. Solução $BC=\begin{pmatrix}4&6&5\\1&1&1\end{pmatrix}$. Cada entrada é o produto interno da linha de $B$ com a coluna de $C$. Na primeira linha: $(-1)\cdot1+2\cdot1+3\cdot1=4$, $(-1)\cdot1+2\cdot2+3\cdot1=6$ e $(-1)\cdot1+2\cdot3+3\cdot0=5$. Na segunda, como $B$ só tem o primeiro elemento não nulo, a linha repete a primeira linha de $C$. Confere a tua resposta: * A resposta apresenta uma matriz $2\times 3$. * A primeira linha é $(4,6,5)$ e a segunda é $(1,1,1)$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/matrizes/#produto-de-matrizes) ## Sistemas lineares Sistema com matriz reduzida dada Teste 1, 2023/24 Considere o sistema $x+y+z=2$, $x+3y+3z=0$, $x+3y+6z=3$. A matriz em escada e reduzida associada tem a forma $\begin{pmatrix}1&0&0&a\\0&1&0&b\\0&0&1&c\end{pmatrix}$. Indique $a$, $b$, $c$ e o conjunto solução. Solução $a=3$, $b=-2$, $c=1$ e o conjunto solução é $\{(3,-2,1)\}$. Subtraindo a primeira equação às outras, obtém-se $2y+2z=-2$ e $2y+5z=1$. Da primeira, $y+z=-1$; substituindo na segunda, $3z=3$, logo $z=1$, $y=-2$ e $x=3$. Confere a tua resposta: * A resposta indica $a=3$, $b=-2$ e $c=1$. * O conjunto solução é $\{(3,-2,1)\}$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/sistemas-lineares/#o-m%C3%A9todo-de-gauss) Sistema sempre determinado para uma matriz fixa Teste 1, 2023/24 Considere a afirmação: qualquer sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja matriz dos coeficientes é $H=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&3\\1&3&6\end{pmatrix}$ é possível e determinado. Indique se é verdadeira ou falsa e justifique. Solução A afirmação é verdadeira. $\det(H)=1(18-9)-1(6-3)+1(3-3)=6\neq0$. Como a matriz dos coeficientes é invertível, qualquer segundo membro produz uma única solução. Confere a tua resposta: * A resposta classifica a afirmação como verdadeira. * A justificação usa $\det(H)=6\neq0$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/sistemas-lineares/#caracter%C3%ADstica-e-classifica%C3%A7%C3%A3o) Sistema com uma variável livre por Gauss Teste 1, 2023/24 Considere o sistema $x+y+z=2$, $x+3y+3z=0$, $2x+4y+4z=2$. Use o método de Gauss para resolver o sistema e indique a matriz em escada e reduzida e o conjunto solução. Solução Matriz reduzida: $\begin{pmatrix}1&0&0&3\\0&1&1&-1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$. Conjunto solução: $\{(3,-1-z,z):z\in\mathbb R\}$. Depois de eliminar a primeira coluna, as duas últimas equações ficam iguais: $2y+2z=-2$, ou $y+z=-1$. A primeira equação dá então $x=3$. A variável $z$ fica livre e $y=-1-z$. Confere a tua resposta: * A matriz reduzida tem uma linha nula e duas linhas pivô. * O conjunto solução é $\{(3,-1-z,z):z\in\mathbb R\}$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/sistemas-lineares/#o-m%C3%A9todo-de-gauss) ## Determinantes Coluna da matriz dos cofatores Teste 1, 2023/24 Considere $E=\begin{pmatrix}1&2&1\\3&4&10\\5&6&-20\end{pmatrix}$ e seja $M=[m_{ij}]$ a matriz dos cofatores de $E$. Indique as entradas da coluna 3 de $M$. Solução $m_{13}=-2$, $m_{23}=4$ e $m_{33}=-2$. Para a coluna 3, $m_{13}=+\det\begin{pmatrix}3&4\\5&6\end{pmatrix}=18-20=-2$, $m_{23}=-\det\begin{pmatrix}1&2\\5&6\end{pmatrix}=-(6-10)=4$ e $m_{33}=+\det\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=4-6=-2$. Confere a tua resposta: * A resposta indica $m_{13}=-2$. * A resposta indica $m_{23}=4$ e $m_{33}=-2$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/determinantes/#regra-de-laplace-e-matriz-adjunta) Parâmetro que anula um determinante Teste 1, 2023/24 Considere $F=\begin{pmatrix}1&3&2\\c&-3&-3\\0&9&5\end{pmatrix}$. Indique o valor de $c$ para o qual $\det(F)=0$. Solução $c=-4$. Expandindo ao longo da primeira coluna, $\det(F)=1\cdot(-15+27)-c\cdot(15-18)=12+3c$. Assim, $\det(F)=0$ quando $c=-4$. Confere a tua resposta: * A resposta indica $c=-4$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/determinantes/#propriedades-que-poupam-trabalho) Determinantes de múltiplos e da inversa Teste 1, 2023/24 Seja $G$ uma matriz $3\times3$ cujo determinante é $5$. Indique $\det(2G)$ e $\det(2G^{-1})$. Solução $\det(2G)=40$ e $\det(2G^{-1})=8/5$. Para uma matriz $3\times3$, $\det(2G)=2^3\det(G)=8\cdot5=40$. Além disso, $\det(2G^{-1})=2^3\det(G^{-1})=8/5$. Confere a tua resposta: * A resposta indica $\det(2G)=40$. * A resposta indica $\det(2G^{-1})=8/5$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/determinantes/#propriedades-que-poupam-trabalho) Determinante por expansão na segunda coluna Teste 1, 2023/24 Considere $J=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&1&0\end{pmatrix}$. Determine $\det(J)$ usando a expansão ao longo da segunda coluna e apresente os cálculos. Solução $\det(J)=-1$. $\det(J)=1\cdot(+1)\det\begin{pmatrix}1&3\\1&0\end{pmatrix}+2\cdot(+1)\det\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}+1\cdot(-1)\det\begin{pmatrix}1&1\\1&3\end{pmatrix}=3-2-2=-1$. Confere a tua resposta: * A resposta indica $\det(J)=-1$. * A resolução usa os três cofatores da segunda coluna com os sinais corretos. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/determinantes/#regra-de-laplace-e-matriz-adjunta) ## Espaços vetoriais Equação cartesiana de um plano gerado Teste 1, 2023/24 O subespaço vetorial de $\mathbb R^3$ gerado por $(2,-3,-3)$ e $(0,3,2)$ é um plano de equação $ax+by+6z=0$. Indique $a$ e $b$. Solução $a=3$ e $b=-4$. Uma normal ao plano é o produto vetorial $(2,-3,-3)\times(0,3,2)=(3,-4,6)$. A equação é $3x-4y+6z=0$, pelo que $a=3$ e $b=-4$. Confere a tua resposta: * A resposta indica $a=3$. * A resposta indica $b=-4$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/espacos-vetoriais/#subespa%C3%A7os-conjuntos-fechados-para-as-opera%C3%A7%C3%B5es) Equações de uma reta gerada Teste 1, 2023/24 O subespaço vetorial de $\mathbb R^3$ gerado por $(0,-2,6)$ é uma reta de equações $x=c$ e $z=dy$. Indique $c$ e $d$. Solução $c=0$ e $d=-3$. Todos os pontos da reta são múltiplos de $(0,-2,6)$, portanto $x=0$. Para $y=-2$ tem-se $z=6$, logo $6=d(-2)$ e $d=-3$. Confere a tua resposta: * A resposta indica $c=0$. * A resposta indica $d=-3$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/espacos-vetoriais/#subespa%C3%A7os-conjuntos-fechados-para-as-opera%C3%A7%C3%B5es) Dois geradores que definem o mesmo subespaço Teste 1, 2023/24 Justifique com uma frase a igualdade $\langle(1,-2,3),(2,-4,6)\rangle=\langle(1,-2,3)\rangle$. Solução Como $(2,-4,6)=2(1,-2,3)$, o segundo vetor já pertence ao subespaço gerado pelo primeiro. Se um dos geradores é combinação linear dos restantes, pode ser retirado sem alterar o subespaço gerado. Neste caso, os dois vetores são colineares. Confere a tua resposta: * A justificação reconhece que um gerador é múltiplo do outro. * A conclusão é que o segundo vetor não acrescenta dimensão. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/espacos-vetoriais/#soma-interse%C3%A7%C3%A3o-e-soma-direta) Dimensões da soma e da interseção de duas retas Teste 1, 2023/24 Sejam $M$ e $N$ subespaços de $\mathbb R^3$ com $\dim M=\dim N=1$. Indique, justificando, o que pode concluir sobre $\dim(M+N)$ e $\dim(M\cap N)$. Solução Se $M=N$, então $\dim(M+N)=\dim(M\cap N)=1$. Se $M\neq N$, então $\dim(M+N)=2$ e $\dim(M\cap N)=0$. Duas retas pela origem ou coincidem ou geram um plano. No primeiro caso a soma e a interseção são a própria reta. No segundo, a soma tem dimensão 2 e a interseção só contém o vetor nulo. A fórmula $\dim(M+N)=\dim M+\dim N-\dim(M\cap N)$ confirma ambos os casos. Confere a tua resposta: * A resposta separa os casos $M=N$ e $M\neq N$. * No primeiro caso, as duas dimensões são 1; no segundo, são 2 e 0. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/espacos-vetoriais/#soma-interse%C3%A7%C3%A3o-e-soma-direta)