# Bases ortogonais e projeções

Gram-Schmidt, bases ortonormadas, complemento ortogonal e ponto mais próximo de um subespaço.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/ortogonalidade/

Uma base descreve cada vetor com coordenadas. Uma base **ortogonal** facilita essas contas, porque cada direção fica perpendicular às restantes.

Por isso, obténs as coordenadas com produtos escalares, sem resolver um sistema novo para cada vetor.

## Ortogonal não significa ortonormado

Uma família $(u_1,\ldots,u_k)$ é ortogonal quando $u_i\cdot u_j=0$ para $i\ne j$. Se todos os vetores forem não nulos, são independentes. Para ver porquê, toma uma combinação nula e faz o produto escalar com $u_j$:

$$
\sum_i a_i u_i=0 \quad\Longrightarrow\quad a_j\|u_j\|^2=0 \quad\Longrightarrow\quad a_j=0.
$$

Uma família **ortonormada** é ortogonal e cada vetor tem norma 1. Normaliza cada vetor por $q_i=u_i/\|u_i\|$.

O vetor zero é perpendicular a todos, mas não pode fazer parte de uma base nem ser normalizado.

## Gram-Schmidt passo a passo

O processo de Gram-Schmidt recebe vetores independentes $(v_1,\ldots,v_k)$ e produz uma base ortogonal do mesmo subespaço. A cada vetor, retira as componentes nas direções já obtidas:

$$
u_1=v_1,\qquad u_j=v_j-\sum_{i=1}^{j-1}\frac{v_j\cdot u_i}{u_i\cdot u_i}u_i.
$$

Os denominadores são normas ao quadrado, e as projeções usam sempre os vetores $u_i$ já ortogonalizados.

Parte de $v_1=(1,1,0)$, $v_2=(1,0,1)$ e $v_3=(0,1,1)$:

1.  Mantemos $u_1=(1,1,0)$.
2.  Como $v_2\cdot u_1=1$ e $u_1\cdot u_1=2$,

$$
u_2=(1,0,1)-\frac12(1,1,0)=(1/2,-1/2,1).
$$

3.  Para $v_3$, retiramos as duas projeções. Aqui $v_3\cdot u_1=1$ com $u_1\cdot u_1=2$, e $v_3\cdot u_2=1/2$ com $u_2\cdot u_2=3/2$.

Por isso, os coeficientes são $1/2$ e $1/3$:

$$
u_3=(0,1,1)-\frac12(1,1,0)-\frac13(1/2,-1/2,1) =(-2/3,2/3,2/3).
$$

Podes multiplicar cada vetor não nulo por um escalar para evitar frações. A base ortogonal fica

$$
(w_1,w_2,w_3)=((1,1,0),(1,-1,2),(-1,1,1)).
$$

Os três produtos escalares entre vetores distintos são zero. As normas são $\sqrt2,\sqrt6,\sqrt3$, logo a base ortonormada é $(w_1/\sqrt2,w_2/\sqrt6,w_3/\sqrt3)$.

Se um passo produzir o vetor zero, o vetor de entrada já estava no espaço gerado pelos anteriores. Não o normalizes. Retira-o e continua, se o objetivo for obter uma base a partir de geradores dependentes.

## Coordenadas numa base ortogonal

Se $v$ pertence ao espaço gerado por uma base ortogonal $(u_1,\ldots,u_k)$, as suas coordenadas são

$$
a_i=\frac{v\cdot u_i}{u_i\cdot u_i}.
$$

Numa base ortonormada, os denominadores são 1 e $a_i=v\cdot q_i$. Esta simplificação exige ortogonalidade: fazer produtos escalares com uma base qualquer não dá, em geral, as coordenadas.

Atenção ao domínio da fórmula: o vetor $v=(2,1,0)$ não pertence ao plano gerado por $u_1=(1,1,0)$ e $u_2=(1,-1,2)$, por isso os quocientes $3/2$ e $1/6$ são os coeficientes da sua **projeção** nesse plano, não coordenadas de $v$ nessa base.

## Projeção num subespaço

Para $W=\operatorname{span}(u_1,\ldots,u_k)$, com base ortogonal,

$$
\operatorname{proj}_W v=\sum_{i=1}^k \frac{v\cdot u_i}{u_i\cdot u_i}u_i.
$$

O vetor projetado pertence a $W$. O erro $v-\operatorname{proj}_Wv$ é perpendicular a todos os vetores de $W$.

![Um vetor v decompõe-se numa projeção p ao longo de uma reta W e num erro perpendicular e. O segmento do erro forma um ângulo reto com W.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/ortogonalidade/figura-1.svg)

Considera $W=\operatorname{span}((1,1,0),(1,-1,2))$ e $v=(2,1,0)$. Como os dois geradores são ortogonais,

$$
p=\frac32(1,1,0)+\frac16(1,-1,2)=(5/3,4/3,1/3).
$$

O erro é $e=v-p=(1/3,-1/3,-1/3)$. Os produtos $e\cdot(1,1,0)$ e $e\cdot(1,-1,2)$ são zero. A distância de $v$ ao plano $W$ é $\|e\|=1/\sqrt3$.

Porque é $p$ o ponto mais próximo? Para qualquer $w\in W$, escrevemos $v-w=e+(p-w)$. As duas parcelas são perpendiculares, logo

$$
\|v-w\|^2=\|e\|^2+\|p-w\|^2\geq\|e\|^2.
$$

A igualdade só acontece quando $w=p$: a projeção é o único ponto do plano à distância mínima.

## Reflexão num subespaço

Decompõe $v=p+e$, com $p=\operatorname{proj}_W v$ e $e$ perpendicular a $W$. Refletir conserva a parcela $p$ no subespaço e inverte a parcela perpendicular:

$$
R_W(v)=p-e=p-(v-p)=2p-v.
$$

O ponto médio de $v$ e $R_W(v)$ é $p$, e a diferença $v-R_W(v)=2e$ é perpendicular a $W$. No exemplo anterior,

$$
R_W(v)=2(5/3,4/3,1/3)-(2,1,0)=(4/3,5/3,2/3).
$$

Aqui $v-R_W(v)=(2/3,-2/3,-2/3)$ tem produto escalar zero com os dois geradores, e o ponto médio volta a ser $p$.

## Complemento ortogonal

O **complemento ortogonal** de $W$ é

$$
W^\perp=\{x:x\cdot w=0\text{ para todo }w\in W\}.
$$

Para o obter, basta exigir produto escalar nulo com os vetores de uma base de $W$. No exemplo,

$$
x+y=0,\qquad x-y+2z=0 \quad\Longrightarrow\quad W^\perp=\operatorname{span}((-1,1,1)).
$$

Em $\mathbb R^n$, $\dim W+\dim W^\perp=n$ e $\mathbb R^n=W\oplus W^\perp$. A decomposição $v=p+e$ acima é precisamente essa soma direta.

## O que costuma correr mal

*   Normalizar o vetor zero ou confundir norma 1 com ortogonalidade.
*   Projetar sobre os vetores originais em cada passo de Gram-Schmidt.
*   Somar projeções sobre uma base que não é ortogonal.
*   Entregar uma base ortogonal quando o pedido exige uma base ortonormada.

## Exercícios

Retirar a projeção

Aplica Gram-Schmidt a $(1,1,1),(1,1,0)$ e dá uma base ortonormada do espaço gerado.

Pista

Mantém o primeiro vetor.

Mais uma pista

O coeficiente da projeção do segundo é $2/3$.

Solução

O produto escalar do segundo vetor com o primeiro é 2, e a norma do primeiro ao quadrado é 3. Por isso, retiramos $\frac23(1,1,1)$ a $(1,1,0)$. O segundo vetor ortogonal é $(1/3,1/3,-2/3)$, que podemos substituir por $(1,1,-2)$. As normas de $(1,1,1),(1,1,-2)$ são $\sqrt3,\sqrt6$. Divide cada um pela sua norma. O produto escalar entre eles é zero.

Confere a tua resposta:

*   Obtém dois vetores ortogonais.
*   Normaliza ambos.

Erros frequentes

Retira a projeção antes de normalizar o segundo vetor. Os geradores originais não são ortogonais.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/ortogonalidade/#gram-schmidt-passo-a-passo)

Decompor num plano e na normal

Para $W=\{x+y+z=0\}$, encontra $W^\perp$ e decompõe $(3,0,0)$ nas duas parcelas.

Pista

A normal gera o complemento.

Mais uma pista

Projeta na direção (1,1,1).

Solução

$W^\perp=\operatorname{span}((1,1,1))$. A parcela perpendicular é $(1,1,1)$ e a parcela no plano é $(2,-1,-1)$. A soma dá o vetor inicial e as parcelas têm produto escalar zero.

Confere a tua resposta:

*   Obtém o complemento.
*   Verifica as duas parcelas e a soma.

Erros frequentes

O vetor normal gera o complemento ortogonal, mas só a sua projeção dá a parcela de $(3,0,0)$ nesse complemento.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/ortogonalidade/#complemento-ortogonal)

Base ortonormada, projeção e reflexão

Seja $W=\operatorname{span}((1,1,0),(1,0,1))$ e $w=(1,2,3)$. Obtém uma base ortonormada de $W$, calcula $\operatorname{proj}_Ww$, a distância de $w$ a $W$ e o vetor refletido em relação a $W$.

Pista

Aplica Gram-Schmidt e soma as projeções sobre os dois vetores ortogonais.

Mais uma pista

O segundo vetor de Gram-Schmidt pode ser multiplicado por 2 para obter $(1,-1,2)$.

Solução

Uma base ortonormada é

$$
e_1=\frac{(1,1,0)}{\sqrt2},\qquad e_2=\frac{(1,-1,2)}{\sqrt6}.
$$

Os coeficientes são $w\cdot e_1=3/\sqrt2$ e $w\cdot e_2=5/\sqrt6$. Assim,

$$
p=\frac32(1,1,0)+\frac56(1,-1,2)=\left(\frac73,\frac23,\frac53\right).
$$

O erro é $w-p=(-4/3,4/3,4/3)$. O seu produto escalar com cada gerador de $W$ é zero, confirmando a projeção. A distância é a sua norma, $4/\sqrt3$. O refletido é $2p-w=(11/3,-2/3,1/3)$; o ponto médio de $w$ e deste vetor é $p$.

Confere a tua resposta:

*   Normaliza a base e calcula a projeção completa.
*   Verifica a ortogonalidade do erro e usa-a na distância e reflexão.

Erros frequentes

Projetar só sobre o primeiro gerador não dá a projeção no plano inteiro. Somar projeções diretamente nos dois geradores iniciais também falha, porque eles não são ortogonais.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/ortogonalidade/#proje%C3%A7%C3%A3o-num-subespa%C3%A7o)

Estender mantendo um vetor prescrito

Estende $(1,1,1)$ a uma base ortogonal de $\mathbb R^3$ e normaliza-a.

Pista

Escolhe um segundo vetor perpendicular ao primeiro.

Solução

$(1,1,1)\cdot(1,-1,0)=0$ e $(1,1,1)\cdot(1,1,-2)=0$, com $(1,-1,0)\cdot(1,1,-2)=0$. São três vetores não nulos dois a dois ortogonais, logo uma base ortogonal. As normas são $\sqrt3,\sqrt2,\sqrt6$; dividir cada um pela sua norma dá a base ortonormada.

Confere a tua resposta:

*   Conserva o vetor dado.
*   Verifica a ortogonalidade dos três vetores.

Erros frequentes

Se usares Gram-Schmidt, começa pelo vetor prescrito: o processo conserva o primeiro vetor. A base ortogonal tem de conter $(1,1,1)$; só depois o divides pela norma para obter a base ortonormada.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/alga/ortogonalidade/#gram-schmidt-passo-a-passo)