# Exercícios MT1

Questões de testes antigos de AM1, com resolução.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/exercicios-mt1/

## Limites e derivadas

Limite com logaritmo no numerador

Teste modelo 1, 2016/17

Calcule, se existir, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x^3-5)}{x^2}$.

Solução

$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x^3-5)}{x^2}=0$.

É uma indeterminação $\infty/\infty$. Pela regra de L'Hôpital, deriva-se numerador e denominador: $\frac{3x^2/(x^3-5)}{2x}=\frac{3}{2x(x^3-5)/x^2}\to 0$, pois o numerador tende para 0 e o denominador para $+\infty$.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/teoremas-valor-medio/#teorema-de-cauchy-e-regra-de-lh%C3%B4pital)

Limite de potência com expoente variável

Teste modelo 1, 2016/17

Calcule, se existir, $\lim_{x\to0^+}(\operatorname{sen} x)^{\operatorname{tg} x}$.

Solução

$\lim_{x\to0^+}(\operatorname{sen} x)^{\operatorname{tg} x}=1$.

Escreve-se $(\operatorname{sen} x)^{\operatorname{tg} x}=e^{\operatorname{tg} x\ln(\operatorname{sen} x)}$. Quando $x\to0^+$, $\operatorname{tg} x\sim x$ e $\ln(\operatorname{sen} x)\sim\ln x$, logo o expoente tende para $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$. Assim o limite é $e^0=1$.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/teoremas-valor-medio/#teorema-de-cauchy-e-regra-de-lh%C3%B4pital)

Derivada da função arco seno pelo conceito de inversa

Teste modelo 1, 2016/17

Usando o conceito de derivada da inversa de uma função, calcule $\frac{dy}{dx}$ para $y=\operatorname{arcsen}(x)$.

Solução

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, para $|x|<1$.

Se $y=\operatorname{arcsen}(x)$, então $x=\operatorname{sen} y$ e $\frac{dx}{dy}=\cos y$. Logo $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\operatorname{sen}^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, com $\cos y>0$ para $y\in(-\pi/2,\pi/2)$.

Confere a tua resposta:

*   A resposta escreve a derivada da inversa como $1/f'(y)$.
*   A resposta indica $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/derivadas/#derivadas-das-fun%C3%A7%C3%B5es-trigonom%C3%A9tricas-e-inversas)

## Primitivas

Primitiva por substituição com logaritmo

Teste modelo 1, 2016/17

Calcule $\int\frac{dx}{x\ln x}$.

Solução

$\int\frac{dx}{x\ln x}=\ln|\ln x|+C$.

Com $u=\ln x$, tem-se $du=\frac{dx}{x}$, logo o integral fica $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|\ln x|+C$.

Confere a tua resposta:

*   A resolução usa a substituição $u=\ln x$.
*   A resposta indica $\ln|\ln x|+C$.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/primitivas/#primitiva%C3%A7%C3%A3o-por-substitui%C3%A7%C3%A3o)

Primitiva de expressão irracional

Teste modelo 1, 2016/17

Calcule $\int\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}\,dx$.

Solução

$\int\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}\,dx=\sqrt{x^2-4}-2\operatorname{arcsec}\frac{x}{2}+C$.

Com $x=2\sec\theta$, $dx=2\sec\theta\operatorname{tg}\theta\,d\theta$ e $\sqrt{x^2-4}=2\operatorname{tg}\theta$. O integral transforma-se em $\int2\operatorname{tg}^2\theta\,d\theta=\int2(\sec^2\theta-1)\,d\theta=2\operatorname{tg}\theta-2\theta+C$, que se reescreve na variável $x$.

Confere a tua resposta:

*   A resolução usa a sustitución trigonométrica $x=2\sec\theta$.
*   A resposta indica $\sqrt{x^2-4}-2\operatorname{arcsec}(x/2)+C$.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/primitivas-avancadas/#express%C3%B5es-irracionais)

Primitiva de produto de potências trigonométricas

Teste modelo 2, 2016/17

Calcule $\int\cos^3 x\,\operatorname{sen}^4 x\,dx$.

Solução

$\int\cos^3 x\,\operatorname{sen}^4 x\,dx=\frac{\operatorname{sen}^5 x}{5}-\frac{\operatorname{sen}^7 x}{7}+C$.

$\cos^3 x=\cos x(1-\operatorname{sen}^2 x)$. Com $u=\operatorname{sen} x$, $du=\cos x\,dx$, o integral fica $\int(u^4-u^6)\,du=\frac{u^5}{5}-\frac{u^7}{7}+C$.

Confere a tua resposta:

*   A resolução separa um fator $\cos x$ e usa $u=\operatorname{sen} x$.
*   A resposta indica $\frac{\operatorname{sen}^5 x}{5}-\frac{\operatorname{sen}^7 x}{7}+C$.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/primitivas-avancadas/#pot%C3%AAncias-e-produtos-trigonom%C3%A9tricos)

Primitiva por frações racionais

Teste modelo 2, 2016/17

Calcule $\int\frac{2x^2+4}{x(x^2+4)}\,dx$.

Solução

$\int\frac{2x^2+4}{x(x^2+4)}\,dx=\ln|x|+\frac{1}{2}\ln(x^2+4)+C$.

Escreve-se $\frac{2x^2+4}{x(x^2+4)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}$. Igualando, $2x^2+4=(A+B)x^2+Cx+4A$, logo $A=1$, $C=0$ e $B=1$. O integral fica $\int\frac{dx}{x}+\int\frac{x}{x^2+4}\,dx=\ln|x|+\frac{1}{2}\ln(x^2+4)+C$.

Confere a tua resposta:

*   A decomposição é $\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2+4}$.
*   A resposta indica $\ln|x|+\frac{1}{2}\ln(x^2+4)+C$.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/primitivas-avancadas/#fra%C3%A7%C3%B5es-racionais)

## Integrais

Integral definido com secante ao quadrado

Teste modelo 1, 2016/17

Qual o valor do integral $\int_0^{\pi/4}[1+\sec^2(x)]\,dx$?

Solução

$\int_0^{\pi/4}[1+\sec^2(x)]\,dx=1+\frac{\pi}{4}$.

A primitiva de $1+\sec^2 x$ é $x+\operatorname{tg} x$. Nos extremos, $\frac{\pi}{4}+\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}-(0+\operatorname{tg}0)=\frac{\pi}{4}+1$.

*   **$1$.** Esquece o termo $\tan x$.
*   **$2-\pi/4$.** Sinal trocado no resultado de $\tan x$.
*   **$1+\pi/4$.** $[x+\tan x]_0^{\pi/4}=\pi/4+1-0=1+\pi/4$.
*   **$2$.** O limite superior foi mal substituído.

Área de região limitada por um cúbico

Teste modelo 1, 2016/17

Esboce a região $Q$ do plano limitada horizontalmente pelos gráficos de $y=0$ e $y=(x+1)^3$ e verticalmente pelas retas $x=0$ e $x=1$. Determine a área da região $Q$.

Solução

A área é $\frac{15}{4}$.

Na tira $0\le x\le1$ tem-se $(x+1)^3\ge0$, logo a área é $\int_0^1(x+1)^3\,dx=\left[\frac{(x+1)^4}{4}\right]_0^1=\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}$.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/integral-definido/#%C3%A1reas-entre-curvas)

Taxa de rotação de um holofote

Teste 1, 2016/17

Um homem anda ao longo de um caminho retilíneo a uma velocidade de $1{,}2\,\mathrm{m/s}$. Um holofote no chão, a $6\,\mathrm{m}$ do caminho, focaliza o homem. A que taxa de variação instantânea gira o holofote quando o homem está a $4{,}5\,\mathrm{m}$ do ponto do caminho mais próximo da luz? (Se $x$ designa essa distância e $\theta$ o ângulo do holofote, determine $\frac{d\theta}{dt}$.)

Solução

$\frac{d\theta}{dt}=0{,}128\ \mathrm{rad/s}$.

Do triângulo retângulo, $\operatorname{tg}\theta=\frac{x}{6}$. Derivando em ordem ao tempo, $\sec^2\theta\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{6}\frac{dx}{dt}$. Para $x=4{,}5$, $\sec^2\theta=1+\frac{4{,}5^2}{36}=\frac{25}{16}$ e $\frac{dx}{dt}=1{,}2$, logo $\frac{d\theta}{dt}=\frac{1{,}2}{6}\cdot\frac{16}{25}=0{,}128\ \mathrm{rad/s}$.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/teoremas-valor-medio/#taxas-relacionadas)

## Séries

Classificação da série dos fatoriais

Teste 4, 2014/15

Classifique a série $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{4^n}$.

Solução

A série diverge.

Pelo critério da razão, $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{4}\to+\infty>1$. Em particular, $a_n\to+\infty\neq0$, logo a série diverge pelo teste do termo geral.

Confere a tua resposta:

*   A resposta aplica o critério da razão.
*   A resposta conclui que a série diverge porque o termo geral não tende para zero.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/series-numericas/#o-teste-do-termo-geral-e-as-s%C3%A9ries-geom%C3%A9tricas)

Soma de uma série telescópica com logaritmos

Teste 4, 2014/15

Calcule a soma da série $\sum_{n=1}^{\infty}\ln\frac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2}$.

Solução

A soma da série é $\ln\frac{2}{3}$.

O termo geral é $\ln(n+1)-2\ln(n+2)+\ln(n+3)$. A soma parcial até $N$ cancela quase tudo: $S_N=\ln2-\ln3+\ln\frac{N+3}{N+2}$. Quando $N\to\infty$, $\ln\frac{N+3}{N+2}\to0$, logo a soma é $\ln2-\ln3=\ln\frac{2}{3}$.

Confere a tua resposta:

*   A resposta decompõe o logaritmo e escreve a soma parcial.
*   A resposta indica a soma $\ln\frac{2}{3}$.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/series-numericas/#s%C3%A9ries-telesc%C3%B3picas-somar-por-cancelamento)

## Taylor

Série de Taylor de (x-1)e^x em torno de x=1

Teste 4, 2014/15

Seja $f(x)=(x-1)e^x$ e $x_0=1$. Calcule a expressão geral da série de Taylor de $f(x)$ em torno de $x_0$.

Solução

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e\,(x-1)^n}{(n-1)!}=e\,(x-1)\,e^{x-1}$.

Com $u=x-1$, $f(x)=u\,e^{u+1}=e\,u\,e^u=e\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u^{k+1}}{k!}$. Fazendo $n=k+1$, obtém-se $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e\,(x-1)^n}{(n-1)!}$.

Confere a tua resposta:

*   A resposta usa a mudança $u=x-1$ e a série de $e^u$.
*   A resposta indica $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e\,(x-1)^n}{(n-1)!}$.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/taylor/#da-f%C3%B3rmula-%C3%A0-s%C3%A9rie-de-taylor)

Polinómio de Taylor de √x no centro 4

Teste modelo 3, 2016/17

Escreva o polinómio de Taylor de grau $n$ que aproxima $f(x)=\sqrt{x}$ na vizinhança do ponto $a=4$, incluindo os quatro primeiros termos.

Solução

$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\binom{1/2}{k}4^{1/2-k}(x-4)^k=2+\frac{x-4}{4}-\frac{(x-4)^2}{64}+\frac{(x-4)^3}{512}-\cdots$

As derivadas em $a=4$ são $f^{(k)}(4)=\binom{1/2}{k}k!\,4^{1/2-k}$, pelo que os coeficientes são $\binom{1/2}{k}4^{1/2-k}$. Os primeiros quatro termos resultam de $k=0,1,2,3$.

Confere a tua resposta:

*   A resposta apresenta os quatro primeiros termos $2+\frac{x-4}{4}-\frac{(x-4)^2}{64}+\frac{(x-4)^3}{512}$.
*   A resposta indica o termo geral $\binom{1/2}{k}4^{1/2-k}(x-4)^k$.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/taylor/#polin%C3%B3mio-de-taylor)

## Equações diferenciais e Laplace

Equação linear de segunda ordem com termo e^x

Teste modelo 2, 2016/17

Calcule a solução geral da equação diferencial $y''-2y'+2y=e^x$.

Solução

$y=e^x(C_1\cos x+C_2\operatorname{sen} x)+e^x$.

A característica é $r^2-2r+2=0$, com raízes $r=1\pm i$, logo $y_h=e^x(C_1\cos x+C_2\operatorname{sen} x)$. Para a particular, tenta-se $y_p=Ae^x$: substituindo, $A-2A+2A=A=1$, logo $y_p=e^x$.

Confere a tua resposta:

*   A solução homogénea é $e^x(C_1\cos x+C_2\operatorname{sen} x)$.
*   A solução particular é $e^x$ e a geral é $y=e^x(C_1\cos x+C_2\operatorname{sen} x+1)$.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/equacoes-segunda-ordem/#coeficientes-indeterminados-e-resson%C3%A2ncia)

Transformada de Laplace inversa com translação

Teste 3, 2014/15

Calcule a transformada de Laplace inversa de $\frac{e^{-\pi s}}{s^2+4s+8}$.

Solução

\\mathcal{L}^{-1}\\left\\{\\frac{e^{-\\pi s}}{s^2+4s+8}\\right}=\\frac{1}{2}e^{-2(t-\\pi)}\\operatorname{sen}(2(t-\\pi))\\,u(t-\\pi).

Tem-se \\mathcal{L}^{-1}\\left\\{\\frac{1}{(s+2)^2+4}\\right}=\\frac{1}{2}e^{-2t}\\operatorname{sen}(2t). O fator $e^{-\pi s}$ desloca a função em $\pi$ unidades, pelo segundo teorema do deslocamento, dando o resultado com o degrau $u(t-\pi)$.

Confere a tua resposta:

*   A resposta completa o quadrado: $s^2+4s+8=(s+2)^2+4$.
*   A resposta indica $\frac{1}{2}e^{-2(t-\pi)}\operatorname{sen}(2(t-\pi))\,u(t-\pi)$.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/laplace/#transla%C3%A7%C3%B5es-e-degrau-unit%C3%A1rio)