# Exercícios MT2 Questões de testes antigos de Análise Matemática I, com resolução. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/exercicios-mt2/ ## Primitivas avançadas Primitiva de produto trigonométrico com ângulo triplo 2º Mini-Teste modelo, 2016/17 Calcule $\int\cos(3x)\,\operatorname{sen}^4 x\,dx$. Solução $\int\cos(3x)\operatorname{sen}^4 x\,dx=\frac{\operatorname{sen}^5 x}{5}-\frac{4\operatorname{sen}^7 x}{7}+C$. Como $\cos(3x)=4\cos^3 x-3\cos x=\cos x\,(1-4\operatorname{sen}^2 x)$, o integral fica $\int\operatorname{sen}^4 x\,(1-4\operatorname{sen}^2 x)\cos x\,dx$. Com $u=\operatorname{sen} x$, $du=\cos x\,dx$, obtém-se $\int(u^4-4u^6)\,du=\frac{u^5}{5}-\frac{4u^7}{7}+C$. Confere a tua resposta: * A resolução usa a identidade $\cos(3x)=\cos x\,(1-4\operatorname{sen}^2 x)$. * A resposta indica $\frac{\operatorname{sen}^5 x}{5}-\frac{4\operatorname{sen}^7 x}{7}+C$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/primitivas-avancadas/#pot%C3%AAncias-e-produtos-trigonom%C3%A9tricos) Primitiva de expressão irracional com raiz quadrada 2º Mini-Teste modelo, 2016/17 Calcule $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-4}}$. Solução $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-4}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2-4}\right|+C$. Com $x=2\sec\theta$, tem-se $\sqrt{x^2-4}=2\operatorname{tg}\theta$ e $dx=2\sec\theta\operatorname{tg}\theta\,d\theta$, logo o integral fica $\int\sec\theta\,d\theta=\ln|\sec\theta+\operatorname{tg}\theta|+C$, que se reescreve como $\ln\left|x+\sqrt{x^2-4}\right|+C$. Confere a tua resposta: * A resolução usa a substituição trigonométrica $x=2\sec\theta$ (ou hiperbólica). * A resposta indica $\ln\left|x+\sqrt{x^2-4}\right|+C$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/primitivas-avancadas/#express%C3%B5es-irracionais) Primitiva por substituição com raiz de quartic 2º Mini-Teste modelo, 2016/17 Calcule $\int x^7\sqrt{1-x^4}\,dx$. Solução $\int x^7\sqrt{1-x^4}\,dx=-\frac{2+3x^4}{30}(1-x^4)^{3/2}+C$. Com $u=1-x^4$, tem-se $du=-4x^3\,dx$ e $x^4=1-u$, logo $x^7\,dx=x^4\cdot x^3\,dx=-\frac{1-u}{4}\,du$. O integral fica $-\frac14\int(u^{1/2}-u^{3/2})\,du=-\frac16 u^{3/2}+\frac1{10}u^{5/2}+C$, que se simplifica para $-\frac{2+3x^4}{30}(1-x^4)^{3/2}+C$. Confere a tua resposta: * A resolução usa a substituição $u=1-x^4$. * A resposta indica $-\frac{2+3x^4}{30}(1-x^4)^{3/2}+C$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/primitivas/#primitiva%C3%A7%C3%A3o-por-substitui%C3%A7%C3%A3o) ## Integrais e aplicações geométricas Área interior à cardioide r = 2 + cos θ 2º Mini-Teste modelo, 2016/17 Considere a curva $C$ de equação polar $r=2+\cos\theta$. Identifique a área da região do plano interior à curva $C$ e calcule-a. Solução A área interior à curva é $\frac{9\pi}{2}\approx 14{,}137\ \mathrm{u.a.}$ A área em coordenadas polares é $A=\frac12\int_0^{2\pi}(2+\cos\theta)^2\,d\theta=\frac12\int_0^{2\pi}(4+4\cos\theta+\cos^2\theta)\,d\theta=\frac12(8\pi+0+\pi)=\frac{9\pi}{2}$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/volumes-polares/#%C3%A1reas-em-coordenadas-polares) Volume do sólido de rotação de uma região triangular 2º Mini-Teste modelo, 2016/17 Esboce o sólido obtido pela rotação da região do plano limitada por $y=x$, $y=0$ e $x=2$ em torno do eixo $y=0$. Calcule o volume do sólido gerado. Solução O volume do sólido é $\frac{8\pi}{3}\approx 8{,}378\ \mathrm{u.v.}$ Pelo método dos discos, o raio da secção em $x$ é $y=x$, logo $V=\pi\int_0^2 x^2\,dx=\pi\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8\pi}{3}$. O sólido é um cone de raio $2$ e altura $2$, donde $V=\frac13\pi r^2 h=\frac{8\pi}{3}$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/volumes-polares/#sec%C3%A7%C3%B5es-transversais-discos-e-arandelas) Identidade de mudança de variável no integral definido 2º Mini-Teste modelo, 2016/17 Usando as propriedades do integral definido, demonstre a igualdade $\int_a^b f(x)\,dx=(a-b)\int_1^0 f\bigl(a-(a-b)x\bigr)\,dx$, justificando os passos e citando as propriedades usadas. Solução Com $u=a-(a-b)x$, tem-se $du=-(a-b)\,dx$. Quando $x=1$, $u=b$; quando $x=0$, $u=a$. Logo $(a-b)\int_1^0 f(a-(a-b)x)\,dx=\int_b^a f(u)\,(-du)=\int_a^b f(u)\,du$. A propriedade da mudança de variável dá $dx=-\frac{du}{a-b}$; os extremos invertem-se e o sinal negativo compensa a inversão, pelo que o integral transforma-se no integral de $f$ de $a$ a $b$. Confere a tua resposta: * A resolução faz a substituição $u=a-(a-b)x$. * A resposta justifica a troca dos extremos $x=1\mapsto u=b$ e $x=0\mapsto u=a$ e o sinal de $dx$. * A resposta conclui que os dois integrais são iguais. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/integral-definido/#propriedades-e-sinal) ## Equações diferenciais de primeira ordem Equação de Bernoulli com termo em x² ln x 2º Mini-Teste modelo, 2016/17 Calcule a solução geral da equação diferencial $x\frac{dy}{dx}+y\bigl[1-yx^2\ln x\bigr]=0$. Solução $y=\frac{1}{Cx+x^2(1-\ln x)}$. A equação escreve-se $y'+\frac{y}{x}=y^2x\ln x$. Dividindo por $y^2$ e pondo $z=1/y$, vem $z'-\frac{z}{x}=-x\ln x$. O fator integrante é $\frac1x$, logo $\left(\frac{z}{x}\right)'=-\ln x$, donde $\frac{z}{x}=-x\ln x+x+C$ e $z=Cx+x^2(1-\ln x)$. Confere a tua resposta: * A resposta identifica a equação como de Bernoulli e usa a substituição $z=1/y$. * A resposta indica $y=\frac{1}{Cx+x^2(1-\ln x)}$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/equacoes-diferenciais/#lineares-de-primeira-ordem-e-bernoulli) Equação homogénea (y − x)/(x + y) 2º Mini-Teste modelo, 2016/17 Calcule a solução geral da equação diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{y-x}{x+y}$. Solução $\operatorname{arctg}\frac{y}{x}+\frac12\ln(x^2+y^2)=C$. Com $y=vx$, $v+xv'=\frac{v-1}{1+v}$, logo $\frac{1+v}{1+v^2}\,dv=-\frac{dx}{x}$. Integrando, $\operatorname{arctg} v+\frac12\ln(1+v^2)=-\ln|x|+C$, que em $x$ e $y$ dá $\operatorname{arctg}\frac{y}{x}+\frac12\ln(x^2+y^2)=C$. Confere a tua resposta: * A resolução usa a substituição $y=vx$. * A resposta indica a solução na forma implícita $\operatorname{arctg}\frac{y}{x}+\frac12\ln(x^2+y^2)=C$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/equacoes-diferenciais/#equa%C3%A7%C3%B5es-homog%C3%A9neas-de-primeira-ordem) Equação homogénea x²y′ − y² + 2xy = 0 3º Mini-Teste, 2014/15 Calcule a solução geral da equação diferencial $x^2y'-y^2+2xy=0$, sem recorrer a transformadas de Laplace. Solução $y=\frac{3x}{1-Cx^3}$. A equação escreve-se $y'=\left(\frac{y}{x}\right)^2-2\frac{y}{x}$. Com $v=y/x$, $xv'=v^2-3v=v(v-3)$. Separando, $\frac{dv}{v(v-3)}=\frac{dx}{x}$; por frações parciais, $\frac13\ln\left|\frac{v-3}{v}\right|=\ln|x|+C$, donde $v=\frac{3}{1-Cx^3}$. Confere a tua resposta: * A resolução usa a substituição $y=vx$ e separa as variáveis em $v$. * A resposta indica $y=\frac{3x}{1-Cx^3}$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/equacoes-diferenciais/#equa%C3%A7%C3%B5es-homog%C3%A9neas-de-primeira-ordem) ## Equações de segunda ordem e Laplace Equação de segunda ordem com termo e^x sen x cos x 3º Mini-Teste, 2014/15 Calcule a solução geral da equação diferencial $y''-2y'+2y=e^x\operatorname{sen}x\cos x$, sem recorrer a transformadas de Laplace. Solução $y=e^x(C_1\cos x+C_2\operatorname{sen}x)-\frac16 e^x\operatorname{sen}(2x)$. A característica é $r^2-2r+2=0$, com raízes $1\pm i$. Com $y=e^xu$, a equação reduz-se a $u''+u=\operatorname{sen}x\cos x=\frac12\operatorname{sen}(2x)$. Tentando $u=A\operatorname{sen}(2x)$, $-4A+A=\frac12$, logo $A=-\frac16$. Confere a tua resposta: * A solução homogénea é $e^x(C_1\cos x+C_2\operatorname{sen}x)$. * A solução particular é $-\frac16 e^x\operatorname{sen}(2x)$ e a geral é $y=e^x(C_1\cos x+C_2\operatorname{sen}x)-\frac16 e^x\operatorname{sen}(2x)$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/equacoes-segunda-ordem/#coeficientes-indeterminados-e-resson%C3%A2ncia) Problema de valores iniciais com Laplace e termo e^x 3º Mini-Teste, 2014/15 Usando as transformadas de Laplace, resolva o problema de valores iniciais $y''+4y=4e^x$, com $y(0)=1$ e $y'(0)=5$. Solução $y=\frac15\cos(2x)+\frac{21}{10}\operatorname{sen}(2x)+\frac45 e^x$. A homogénea é $C_1\cos(2x)+C_2\operatorname{sen}(2x)$ e a particular é $\frac45 e^x$, pois $A+4A=4$. Impondo $y(0)=1$ dá $C_1=\frac15$ e $y'(0)=5$ dá $2C_2+\frac45=5$, logo $C_2=\frac{21}{10}$. Confere a tua resposta: * A resposta aplica a transformada e usa as condições iniciais: $s^2Y-s+4Y=\frac{4}{s-1}$. * A resposta indica $y=\frac15\cos(2x)+\frac{21}{10}\operatorname{sen}(2x)+\frac45 e^x$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/laplace/#resolver-edos-com-laplace) Transformada de Laplace de função por partes com degraus 3º Mini-Teste, 2014/15 Considere a função $f(t)=t\,[1-u(t-4)]+(t-6)^2\,[u(t-4)-u(t-6)]$, para $t\ge0$, onde $u(t)$ é a função degrau unitário. Esboce a função e calcule a sua transformada de Laplace. Solução $\mathcal{L}\{f\}=\frac{1}{s^2}+\left(\frac{2}{s^3}-\frac{5}{s^2}\right)e^{-4s}-\frac{2}{s^3}e^{-6s}$. Escrevendo $t\,u(t-4)=[(t-4)+4]u(t-4)$ e $(t-6)^2=[(t-4)^2-4(t-4)+4]$, a função decompõe-se em $f(t)=t+(t-4)^2u(t-4)-5(t-4)u(t-4)-(t-6)^2u(t-6)$. Pelo segundo teorema do deslocamento, $\mathcal{L}\{g(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}G(s)$, donde resultam os termos com $e^{-4s}$ e $e^{-6s}$. Confere a tua resposta: * O esboço mostra $f(t)=t$ em $[0,4[$, $f(t)=(t-6)^2$ em $[4,6[$ e $f(t)=0$ para $t\ge6$. * A resposta reescreve $f$ com translações: $f(t)=t+[(t-4)^2-5(t-4)]u(t-4)-(t-6)^2u(t-6)$. * A resposta indica $\mathcal{L}\{f\}=\frac{1}{s^2}+\left(\frac{2}{s^3}-\frac{5}{s^2}\right)e^{-4s}-\frac{2}{s^3}e^{-6s}$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/laplace/#transla%C3%A7%C3%B5es-e-degrau-unit%C3%A1rio) ## Séries e Fourier Convergência absoluta de série com cos(nx) 4º Mini-Teste, 2014/15 Classifique a série $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cos(nx)}{n^2+1}$, justificando convenientemente. Solução A série é absolutamente convergente para todo o $x$, pois $\sum\frac{1}{n^2}$ converge. Como $|\cos(nx)|\le1$, o termo geral em módulo é majorado por $\frac{1}{n^2+1}\le\frac{1}{n^2}$. A série $\sum\frac{1}{n^2}$ é uma série de potências $p=2>1$, convergente, logo a série dada converge absolutamente pelo critério de comparação. Confere a tua resposta: * A resposta aplica o critério de comparação em valor absoluto: $\left|\frac{(-1)^n\cos(nx)}{n^2+1}\right|\le\frac{1}{n^2+1}\le\frac{1}{n^2}$. * A resposta conclui que a série é absolutamente convergente (logo convergente) para todo o $x$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am1/series-numericas/#crit%C3%A9rios-de-converg%C3%AAncia) Série geométrica com razão 3/e² 3º Mini-Teste modelo, 2016/17 Investigue a convergência da série $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{e^{2n}}$, justificando. Se for convergente, calcule a sua soma. Solução A série é geométrica de razão $\frac{3}{e^2}\approx0{,}406<1$, logo converge, e a soma é $\frac{3}{e^2-3}\approx0{,}684$. $\frac{3^n}{e^{2n}}=\left(\frac{3}{e^2}\right)^n$. Como $e^2\approx7{,}389>3$, a razão satisfaz $0