# Calor e séries de Fourier Equação do calor com Dirichlet e Neumann, séries de senos e cossenos e dados por troços. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am2/calor-series-fourier/ A barra $00$, $u(0,t)=u(L,t)=0$ e $u(x,0)=f(x)$, procura $u=X(x)T(t)$. A separação dá $T'/kT=X''/X=-\lambda$. Com $X(0)=X(L)=0$, os valores próprios são $\lambda_n=(n\pi/L)^2$ e $X_n=\sin(n\pi x/L)$, $n=1,2,\ldots$. Cada modo é $$ u_n=e^{-k(n\pi/L)^2t}\sin\frac{n\pi x}{L}. $$ Por linearidade, soma modos: $$ u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n e^{-k(n\pi/L)^2t}\sin\frac{n\pi x}{L}. $$ Em $t=0$, os coeficientes são a série de senos de $f$: $$ B_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx. $$ Multiplica a série inicial por $\sin(m\pi x/L)$ e integra. A ortogonalidade elimina todos os termos com $n\ne m$: $$ \int_0^L\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi x}{L}\,dx =\begin{cases}0,&n\ne m,\\L/2,&n=m.\end{cases} $$ Resta $B_mL/2$, o que explica o fator $2/L$. Para dados de classe $C^1$ por troços, a série recupera o valor nos pontos interiores de continuidade e a média dos limites laterais nos saltos. Para $t>0$, o decaimento exponencial permite derivar a série no interior e verificar a EDP. Um dado incompatível com a fronteira não produz uma solução contínua no canto $t=0$ dessa fronteira. ## Dado não modal Com $L=\pi$, $k=1$ e $f(x)=x(\pi-x)$, o dado é uma parábola, não um seno. Os coeficientes são $$ B_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x(\pi-x)\sin(nx)\,dx. $$ Seja $I_n=\int_0^\pi x(\pi-x)\sin(nx)\,dx$. O termo de fronteira da primeira integração por partes é zero, porque a parábola se anula nas extremidades: $$ I_n=\frac1n\int_0^\pi(\pi-2x)\cos(nx)\,dx =\frac2{n^2}\int_0^\pi\sin(nx)\,dx =\frac{2(1-(-1)^n)}{n^3}. $$ Na segunda passagem, o termo com $\sin(nx)$ também se anula nas extremidades. Assim, $B_n=2I_n/\pi$ vale $8/(\pi n^3)$ para $n$ ímpar e $0$ para $n$ par. Em particular, $$ B_1=8/\pi\approx2{,}546,\qquad B_3=8/(27\pi)\approx0{,}094. $$ A solução é $$ u(x,t)=\frac{8}{\pi}\sum_{m\ge0}\frac{e^{-(2m+1)^2t}}{(2m+1)^3}\sin((2m+1)x). $$ Cada modo satisfaz a EDP e as fronteiras; em $t=0$ a série reproduz a parábola. Um só modo erraria o dado inicial: o primeiro modo excede a parábola no centro, e o modo $n=3$, negativo aí, corrige parte da diferença. A taxa de decaimento do modo $n$ é $n^2$: o modo 3 decai 9 vezes mais depressa que o fundamental. Por isso, os detalhes finos do dado inicial desaparecem primeiro e o perfil fica suave depressa, mesmo quando o dado tem um salto. O gráfico compara o dado com o primeiro modo, nas mesmas escalas. Depois de alguns instantes, o primeiro modo já aproxima bem o perfil, porque os termos seguintes decaíram quase por completo. A parábola e o primeiro modo de FourierEntre zero e pi, o dado x vezes pi menos x e o primeiro modo oito sobre pi vezes seno de x têm extremos nulos. No centro, o modo vale cerca de 2,546 e excede o dado, cerca de 2,467.Temperatura01230π/2π Dado: x(π − x). Primeiro modo: (8/π) sin(x).No centro: π²/4 ≈ 2,467 e 8/π ≈ 2,546. ## Neumann e o modo constante Com extremidades isoladas, $u_x(0,t)=u_x(L,t)=0$, os modos são cossenos, incluindo $n=0$: $$ u(x,t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-k(n\pi/L)^2t}\cos\frac{n\pi x}{L}, $$ $$ a_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx. $$ Ideia-chave Numa barra isolada, o termo $a_0/2=(1/L)\int_0^L f(x)\,dx$ é a temperatura média e não decai: o calor não sai pelas extremidades. Os modos não constantes decaem, mas o perfil tende a esta média, não necessariamente a zero. Para $L=2$ e $f(x)=x$ em $00$, o perfil fica suave e tende à média $1/4$ quando $t\to\infty$. A conservação da média confirma o modo constante: $$ \frac d{dt}\int_0^L u(x,t)\,dx =k\bigl(u_x(L,t)-u_x(0,t)\bigr)=0. $$ Os cossenos impõem derivada nula nas extremidades, enquanto os senos imporiam valor nulo. São problemas físicos diferentes. ## Exercícios Calor com dado não modal Resolve $u_t=u_{xx}$ em $0\lt x\lt\pi$, com $u(0,t)=u(\pi,t)=0$ e $u(x,0)=x(\pi-x)$. Pista Usa $u=\sum B_n e^{-n^2t}\sin(nx)$. Solução A ortogonalidade dá $$ B_n=2/\pi\int_0^\pi x(\pi-x)\sin(nx)\,dx. $$ Por partes, os termos de fronteira anulam-se e $$ I_n=\frac1n\int_0^\pi(\pi-2x)\cos(nx)\,dx =\frac2{n^2}\int_0^\pi\sin(nx)\,dx =\frac{2(1-(-1)^n)}{n^3}. $$ Assim, $B_n=8/(\pi n^3)$ nos ímpares e zero nos pares. Fica $$ u=8/\pi\sum_{m\ge0}e^{-(2m+1)^2t}\sin((2m+1)x)/(2m+1)^3. $$ Em $t=0$ recupera o dado; cada modo decai com $e^{-n^2t}$. Confere a tua resposta: * Escrevi o dado como série de senos. * Calculei os coeficientes por ortogonalidade. * Verifiquei EDP, fronteiras e t=0. Erros frequentes Um só modo não reproduz esta parábola. Sem a série, o dado inicial falha. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am2/calor-series-fourier/#dado-n%C3%A3o-modal) Uma barra isolada conserva a média Resolve $u_t=u_{xx}$ em $00$, com $u_x(0,t)=u_x(2,t)=0$. O dado inicial é $f(x)=x$ em $0