# Equações diferenciais parciais EDP lineares, soluções gerais e particulares, dados iniciais, transporte e separação de variáveis. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am2/equacoes-diferenciais-parciais/ Na equação $u_t=u_{xx}$, a incógnita é a temperatura $u(x,t)$ de uma barra. A derivada $u_t$ mede a mudança no tempo; $u_{xx}$ mede a curvatura do perfil espacial. A igualdade impõe uma relação entre essas mudanças, sem escolher por si só uma temperatura inicial. Uma **equação diferencial parcial**, ou EDP, relaciona uma função de várias variáveis com as suas derivadas parciais. Para resolver um problema concreto, juntamos à equação os dados iniciais e de fronteira. ## Classificação em segunda ordem Para uma equação de segunda ordem com coeficientes constantes da forma $$ Au_{xx}+Bu_{xy}+Cu_{yy}+\text{(termos de ordem menor)}=0, $$ o discriminante $B^2-4AC$ decide o tipo: hiperbólica se $>0$, parabólica se $=0$, elíptica se $<0$. Aqui $B$ é o coeficiente de $u_{xy}$ na forma escrita sem fator $2$ à parte; se a equação aparecer como $Au_{xx}+2B'u_{xy}+Cu_{yy}$, usa $B=2B'$. Por exemplo, $3u_{xx}+5u_{xy}+u_{yy}=0$ tem $25-12=13>0$ e é hiperbólica; $u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}=0$ tem $1-4<0$ e é elíptica. A ficha 5.36 usa esta convenção. O tipo sugere o comportamento: propagação, difusão ou equilíbrio. ## Ordem, linearidade e dados A ordem é a maior ordem de derivação presente. $u_x+u_y=0$ é de primeira ordem; $u_t=\alpha u_{xx}$ é de segunda ordem. A EDP é **linear** quando $u$ e as suas derivadas aparecem à primeira potência, sem produtos entre elas, e os coeficientes dependem só das variáveis independentes. $xu_x+u_y=\sin x$ é linear; $uu_x=1$ e $(u_x)^2+u_y=0$ não são. Linear não significa que a solução tenha de ser uma função linear. Uma EDP linear é **homogénea** se o termo independente é zero. Combinações lineares de soluções de uma equação homogénea continuam a ser soluções. Numa equação não homogénea, a soma de duas soluções geralmente duplica o termo independente e deixa de ser solução. A solução geral pode escrever-se como uma solução particular mais a solução geral da equação homogénea associada. Os dados iniciais fixam a função num instante, como $u(x,0)=g(x)$. Os dados de fronteira fixam valores ou derivadas na fronteira espacial. A EDP sozinha pode ter infinitas soluções; os dados restringem a escolha. ## Integrar numa variável Trabalhamos num domínio retangular, para que cada corte na variável de integração seja um intervalo. Para $u_x=2xy$, integra em $x$, tratando $y$ como constante: $$ u(x,y)=x^2y+A(y). $$ A constante de integração pode depender de $y$, porque a derivada parcial em $x$ a elimina. Esta é a solução geral, com $A$ diferenciável quando necessário. Se $u(0,y)=\sin y$, então $A(y)=\sin y$, e obtemos a solução particular $u=x^2y+\sin y$. Para $u_{xy}=0$, primeiro $u_x=A(x)$ porque a derivada em $y$ é zero; integrar em $x$ dá $u=B(x)+C(y)$. Confirma derivando. Escrever só uma constante excluiria muitas soluções válidas. ## Transporte e características Na reta espacial $x\in\mathbb R$, considera $u_t+c u_x=0$, com velocidade constante $c$ e solução de classe $C^1$. Ao seguir uma linha $x(t)=x_0+ct$, a cadeia dá $$ \frac{d}{dt}u(x_0+ct,t)=c u_x+u_t=0. $$ Portanto, o valor permanece constante em cada linha característica. A solução geral é $u(x,t)=F(x-ct)$, e o dado inicial $u(x,0)=g(x)$ escolhe $F=g$. Com $c=2$ e $g(x)=e^{-x^2}$, a solução é $u(x,t)=e^{-(x-2t)^2}$. O máximo desloca-se de $x=0$ para $x=2t$ sem mudar de altura. Confere $u_t+2u_x=0$ derivando a expressão. O sinal $x-ct$ corresponde a deslocamento para a direita se $c>0$. [Animação: Um perfil que se desloca sem mudar de forma](https://resumos.rgo.pt/manim/am2-transporte/8a8a0f33a543657e/feup-light-red.mp4) **Um perfil que se desloca sem mudar de forma.** Entre t = 0 e t = 2, o perfil exp(−(x − 2t)²) desloca-se quatro unidades para a direita. O tracejado mantém o perfil inicial exp(−x²). O ponto que parte de x = 1 acompanha a curva até x = 5, sempre à altura exp(−1). Os eixos permanecem fixos. O tracejado mantém o perfil inicial. Para manter o mesmo argumento de $g$, temos de manter $x-2t$ constante, por isso $x$ aumenta quando $t$ aumenta. Segue o ponto que parte de $x_0=1$: na característica $x=1+2t$, $$ u(1+2t,t)=e^{-((1+2t)-2t)^2}=e^{-1}. $$ A altura não muda ao acompanhar esse ponto. Num $x$ fixo, pelo contrário, o valor de $u$ pode mudar à medida que o perfil passa. ## Separação de variáveis na equação do calor No intervalo $00$: a solução é $A\cos(\sqrt\lambda x)+B\sin(\sqrt\lambda x)$. A primeira fronteira dá $A=0$; a segunda exige $\sin(\sqrt\lambda\pi)=0$ para $B\ne0$. Assim, as condições $X(0)=X(\pi)=0$ admitem modos não nulos $X_n=\sin(nx)$, com $\lambda=n^2$ e $n=1,2,\ldots$. Então $$ u_n(x,t)=e^{-n^2t}\sin(nx). $$ Se $u(x,0)=\sin x$, o primeiro modo dá $u=e^{-t}\sin x$. Substituir confirma a EDP, os dados iniciais e as duas condições de fronteira. A amplitude diminui com o tempo. Uma combinação finita de modos também é solução. Quando o dado inicial não é um modo, como $x(\pi-x)$, é preciso somar infinitos modos com coeficientes de Fourier; esse passo fica na página do calor. O mesmo acontece nas ondas com dois dados iniciais e em Laplace no retângulo. ## Onda e equilíbrio Na equação da onda $u_{tt}=c^2u_{xx}$, o modo $u=\sin(nx)\cos(cnt)$ satisfaz fronteiras nulas em $0$ e $\pi$, deslocamento inicial $\sin(nx)$ e velocidade inicial zero. A amplitude oscila em vez de decair. Como há segunda derivada no tempo, precisas de dois dados iniciais. A resolução com deslocamento e velocidade gerais fica na página das ondas. Uma temperatura em equilíbrio satisfaz $u_{xx}+u_{yy}=0$, a **equação de Laplace**. A função $u=x^2-y^2$ satisfaz esta equação, porque as segundas derivadas são 2 e $-2$. Para determinar uma solução num domínio concreto, falta especificar condições de fronteira. A resolução no retângulo com Dirichlet, Neumann e Robin fica na página de Laplace. ## Verificar uma solução Para aceitar uma expressão candidata, verifica separadamente: 1. A regularidade necessária para as derivadas usadas. 2. A igualdade da EDP depois de substituir as derivadas. 3. Todos os dados iniciais e de fronteira, no domínio pedido. Uma expressão que resolve a equação mas falha uma condição de fronteira não resolve o problema completo. Uma família de soluções separadas não é, por si só, uma demonstração de que encontrámos todas as soluções. ## Exercícios A constante é uma função Resolve $u_x=2xy$ com $u(0,y)=\sin y$. Pista A derivada parcial em x elimina qualquer função que dependa só de y. Mais uma pista A solução geral é $x^2y+A(y)$. Solução O dado impõe A(y)=sin y. Portanto, $u=x^2y+\sin y$. Derivar em x e avaliar em x=0 confirma as duas condições. Confere a tua resposta: * Integrei em x mantendo y fixo. * Conservei uma função arbitrária de y. * Impus o dado e verifiquei. Erros frequentes Uma constante numérica excluiria a função sin y exigida pelo dado. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am2/equacoes-diferenciais-parciais/#integrar-numa-vari%C3%A1vel) O perfil desloca-se Em $u_t+2u_x=0$ com perfil inicial $e^{-x ^ 2}$, onde está o máximo em t=3? Responde com a coordenada x. Pista A solução é uma translação do perfil inicial. Solução O máximo ocorre quando x−2t=0. Em t=3 está em x=6. Erros frequentes O sinal em x−2t significa deslocamento para a direita, não para a esquerda. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am2/equacoes-diferenciais-parciais/#transporte-e-caracter%C3%ADsticas) Separar antes de impor dados Em $u_t=u_{xx}$, procura $u=X(x)T(t)$ não nula e escreve as equações para $X$ e $T$. Pista Divide $XT'=X''T$ por $XT$ nos pontos onde o produto não é zero. Mais uma pista Chama $-\lambda$ à constante comum. Solução Fica $T'/T=X''/X=-\lambda$, logo $T'+\lambda T=0$ e $X''+\lambda X=0$. As fronteiras escolhem depois os $\lambda$ admissíveis; a separação sozinha não impõe dados. Confere a tua resposta: * Escrevi o quociente igual a uma constante. * Separei as duas EDO. * Expliquei por que só dividi onde a solução não se anula. Erros frequentes Igualar uma função só de t a uma função só de x obriga ambas a ser constantes. Não dividas por uma solução identicamente nula. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am2/equacoes-diferenciais-parciais/#separa%C3%A7%C3%A3o-de-vari%C3%A1veis-na-equa%C3%A7%C3%A3o-do-calor) Classificar pelo discriminante Classifica $3u_{xx}+5u_{xy}+u_{yy}=0$ e $u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}=0$. Pista Usa $B^2-4AC$ com $B$ o coeficiente de $u_{xy}$. Mais uma pista $25-12=13$; $1-4=-3$. Solução A primeira tem discriminante $13\gt0$: hiperbólica. A segunda tem $-3\lt0$: elíptica. Com $2B'$ à parte, lembra que $B=2B'$ antes de aplicares a fórmula. Confere a tua resposta: * Identifiquei A, B e C na convenção da ficha. * Calculei o discriminante. * Classifiquei cada equação. Erros frequentes Se a equação escreve $2u_{xy}$, o $B$ da fórmula é $2$, não $1$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am2/equacoes-diferenciais-parciais/#classifica%C3%A7%C3%A3o-em-segunda-ordem) Verificar o problema completo Verifica que $u=e^{-4t}\sin(2x)$ resolve $u_t=u_{xx}$ em $0