# Laplace no retângulo

Equação de Laplace com Dirichlet, Neumann e Robin por separação e séries.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am2/laplace-retangulo/

Uma placa retangular em equilíbrio satisfaz $u_{xx}+u_{yy}=0$. Fixar a temperatura em três lados a zero e aquecer o quarto obriga cada modo a anular-se nos lados frios; o dado do lado quente escolhe os coeficientes.

## Um lado com dados

Em $0<x<a$, $0<y<b$, com $u_{xx}+u_{yy}=0$, impõe $u=0$ em $x=0$, $x=a$ e $y=0$, e $u(x,b)=f(x)$.

![Placa retangular: os lados verticais e a base têm u igual a zero; o topo tem u igual a f de x. A normal exterior da base aponta para baixo.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am2/laplace-retangulo/figura-1.svg)

O ensaio $u=X(x)Y(y)$ dá $X''/X=-Y''/Y=-\lambda$. Com $X(0)=X(a)=0$, $X_n=\sin(n\pi x/a)$. Em $y$, $Y''-\lambda Y=0$ com $Y(0)=0$ escolhe o seno hiperbólico:

$$
Y_n=\sinh\frac{n\pi y}{a}.
$$

A solução é

$$
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\frac{\sinh(n\pi y/a)}{\sinh(n\pi b/a)}\sin\frac{n\pi x}{a},
$$

Os coeficientes são a série de senos do dado do topo:

$$
B_n=2/a\int_0^a f(x)\sin(n\pi x/a)\,dx.
$$

Cada modo anula-se nos três lados homogéneos e vale $B_n\sin(n\pi x/a)$ em $y=b$.

Com $a=b=1$ e $f=1$,

$$
B_n=2(1-(-1)^n)/(n\pi),
$$

ou seja, $4/(n\pi)$ nos ímpares e $0$ nos pares. Fica

$$
u=\frac{4}{\pi}\sum_{m\ge0}\frac{\sinh((2m+1)\pi y)\sin((2m+1)\pi x)}{(2m+1)\sinh((2m+1)\pi)}.
$$

O cosseno hiperbólico não serviria aqui, porque vale $1$ em $y=0$.

O denominador $\sinh(n\pi b/a)$ normaliza o modo para ter fator vertical 1 no topo. No exemplo com $f=1$, os dados nos cantos superiores são incompatíveis: o lado vertical pede 0 e o superior pede 1. Entendemos os dados nos lados abertos. A solução é harmónica no interior, mas não pode prolongar-se continuamente a esses cantos.

## Dois lados com dados não nulos

Com lados verticais a zero, base $u(x,0)=g(x)$ e topo $u(x,b)=f(x)$, divide o problema em dois. Uma solução recebe o dado da base e vale zero no topo; a outra recebe o dado do topo e vale zero na base. A soma resolve o problema original porque a EDP é linear e homogénea.

Escreve as séries de senos dos dois dados, com $\omega_n=n\pi/a$: $G_n=\tfrac2a\int_0^a g(x)\sin(\omega_nx)\,dx$ para a base e $F_n=\tfrac2a\int_0^a f(x)\sin(\omega_nx)\,dx$ para o topo.

Para cada modo, o fator que vale 1 na base e 0 no topo é $\sinh(\omega_n(b-y))/\sinh(\omega_nb)$. O que vale 0 na base e 1 no topo é $\sinh(\omega_ny)/\sinh(\omega_nb)$. Soma as duas contribuições:

$$
u(x,y)=\sum_{n\ge1}Y_n(y)\sin(\omega_nx),
$$

 

$$
Y_n(y)=G_n\frac{\sinh(\omega_n(b-y))}{\sinh(\omega_nb)} +F_n\frac{\sinh(\omega_ny)}{\sinh(\omega_nb)}.
$$

No quadrado unitário com base a 100 e topo a 200, $G_n=400/(n\pi)$ e $F_n=800/(n\pi)$ para $n$ ímpar, sendo ambos zero para $n$ par. Cada termo recupera o seu coeficiente na respetiva fronteira e não altera a fronteira oposta. Os cantos voltam a ter dados incompatíveis com os lados verticais a zero, por isso interpretamos os dados nos lados abertos.

Substituir apenas o denominador da solução com três lados nulos não resolve dois dados independentes: são necessárias as duas famílias de contribuições.

## Neumann e o modo constante

Mantém os lados $x=0$ e $x=a$ a zero, mas troca a base por $u_y(x,0)=0$. Escrevendo $\omega_n=n\pi/a$, a equação vertical é $Y''-\omega_n^2Y=0$, logo

$$
Y=C\cosh(\omega_n y)+D\sinh(\omega_n y).
$$

A condição $Y'(0)=0$ dá $D=0$. Para o mesmo dado superior $f$, a solução passa a

$$
u(x,y)=\sum_{n\ge1}B_n\frac{\cosh(\omega_n y)}{\cosh(\omega_n b)}\sin(\omega_n x).
$$

Com os mesmos lados verticais a zero e o mesmo dado superior, compara as duas escolhas:

| Condição na base | Fator vertical normalizado | Na base |
| --- | --- | --- |
| $u(x,0)=0$ | $\sinh(\omega_n y)/\sinh(\omega_n b)$ | Valor zero |
| $u_y(x,0)=0$ | $\cosh(\omega_n y)/\cosh(\omega_n b)$ | Derivada zero |

Em ambos os casos, o fator vale 1 no topo. Mudou a função hiperbólica, não os coeficientes de senos do mesmo dado superior.

Se os lados verticais forem isolados, $u_x(0,y)=u_x(a,y)=0$, os modos espaciais passam a cossenos, incluindo o modo constante. Para $u(x,0)=x$ e $u(x,b)=0$, a série de cossenos do dado é

$$
x=\frac a2+\sum_{n\ge1}a_n\cos\frac{n\pi x}{a},\qquad a_n=\frac{2a\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^2\pi^2}.
$$

O modo $n=0$ satisfaz $Y''=0$, por isso interpola linearmente a média entre a base e o topo:

$$
u(x,y)=\frac a2\left(1-\frac yb\right)+ \sum_{n\ge1}a_n\frac{\sinh(\omega_n(b-y))}{\sinh(\omega_n b)}\cos(\omega_n x).
$$

Omitir o primeiro termo perderia a média do dado inferior. Cada modo não constante anula-se no topo e recupera o seu coeficiente na base.

## Robin e o sinal da derivada

Considera $a=b=1$, lados verticais a zero, $u_y(x,0)=u(x,0)$ e $u(x,1)=f(x)$. Os modos em $x$ continuam a ser $\sin(n\pi x)$. Para $\omega=n\pi$, a condição da base dá

$$
Y'(0)=Y(0)\quad\Longrightarrow\quad \omega D=C.
$$

Escolhe $C=1$ e $D=1/\omega$. Normalizando no topo, obtemos

$$
u(x,y)=\sum_{n\ge1}B_n \frac{\cosh(n\pi y)+\sinh(n\pi y)/(n\pi)} {\cosh(n\pi)+\sinh(n\pi)/(n\pi)}\sin(n\pi x),
$$

onde $B_n=2\int_0^1f(x)\sin(n\pi x)\,dx$. Na base, o fator vertical e a sua derivada são ambos o recíproco do denominador; no topo, o fator vale 1.

Uma condição de Robin relaciona valor e derivada normal. Na base, a normal exterior aponta para baixo, portanto $\partial_nu=-u_y$. A condição escrita $u_y=u$ equivale aqui a $\partial_nu+u=0$. Confundir $u_y$ com a derivada exterior troca o sinal e escolhe outro problema.

## Exercícios

Laplace com um lado não nulo

Resolve $u_{xx}+u_{yy}=0$ em $0\lt x,y\lt1$, com $u=0$ em $x=0$, $x=1$ e $y=0$, e $u(x,1)=1$ para $0<x<1$. Explica o que acontece nos cantos superiores.

Pista

Usa

$$
u=\sum B_n\sinh(n\pi y)\sin(n\pi x)/\sinh(n\pi).
$$

Solução

Cada modo anula-se nos três lados homogéneos e vale $B_n\sin(n\pi x)$ em $y=1$. A série do dado constante dá $B_n=2\int_0^1\sin(n\pi x)\,dx$. Fica $u=4/\pi\sum_{m\ge0}\sinh((2m+1)\pi y)\sin((2m+1)\pi x)/((2m+1)\sinh((2m+1)\pi))$.

Nos cantos superiores, os dados 0 e 1 são incompatíveis. A série resolve o problema no interior e recupera os dados nos lados abertos, mas não pode ter prolongamento contínuo nesses cantos.

Confere a tua resposta:

*   Separei e escolhi senos e seno hiperbólico.
*   Anulei os três lados homogéneos.
*   Expandi o dado do quarto lado.

Erros frequentes

O seno hiperbólico cresce a partir de zero em $y=0$; o cosseno hiperbólico não anularia esse lado.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am2/laplace-retangulo/#um-lado-com-dados)

Robin com derivada exterior para baixo

No quadrado $0<x,y<1$, resolve $u_{xx}+u_{yy}=0$ com $u(0,y)=u(1,y)=0$, $u(x,1)=\sin(\pi x)$ e $\partial_nu+u=0$ na base $y=0$, onde $n$ é a normal exterior.

Pista

Na base, $\partial_nu=-u_y$. Usa um único modo em $x$.

Solução

Na base, $u_y=u$. Escreve $u=\sin(\pi x)Y(y)$; a EDP dá $Y''=\pi^2Y$. Para $Y=C\cosh(\pi y)+D\sinh(\pi y)$, a base impõe $\pi D=C$. O topo impõe $Y(1)=1$, logo

$$
u(x,y)=\sin(\pi x)\frac{\cosh(\pi y)+\sinh(\pi y)/\pi}{\cosh(\pi)+\sinh(\pi)/\pi}.
$$

Os senos anulam os lados verticais. O fator vertical vale 1 no topo e a sua derivada coincide com o seu valor na base. As segundas derivadas em $x$ e $y$ cancelam-se.

Confere a tua resposta:

*   Traduzi a derivada exterior com o sinal correto.
*   Determinei a combinação hiperbólica.
*   Verifiquei os quatro lados e a equação.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am2/laplace-retangulo/#robin-e-o-sinal-da-derivada)

Sobrepor dois dados de fronteira

No quadrado $0<x,y<1$, resolve $u_{xx}+u_{yy}=0$ com $u(0,y)=u(1,y)=0$, $u(x,0)=100$ e $u(x,1)=200$, nos lados abertos. A solução com três lados a zero pode ser apenas multiplicada por uma constante para satisfazer estes dados?

Pista

Soma uma solução com base a 100 e topo a zero a outra com base a zero e topo a 200.

Solução

A série de senos de uma constante $c$ em $(0,1)$ tem coeficientes

$$
b_n=2c\int_0^1\sin(n\pi x)\,dx =\frac{2c(1-(-1)^n)}{n\pi}.
$$

Os coeficientes são zero nos pares. Nos ímpares, são $G_n=400/(n\pi)$ para a base e $F_n=800/(n\pi)$ para o topo. Define

$$
Y_n(y)=\frac{400\sinh(n\pi(1-y))+800\sinh(n\pi y)}{n\pi\sinh(n\pi)}.
$$

A solução é

$$
u(x,y)=\sum_{\substack{n\ge1\\n\text{ ímpar}}}Y_n(y)\sin(n\pi x).
$$

Os modos anulam os lados verticais. Em $y=0$, o primeiro seno hiperbólico recupera $400/(n\pi)$ e o segundo anula-se; em $y=1$, acontece o contrário, recuperando $800/(n\pi)$. Cada $Y_n$ satisfaz $Y_n''=(n\pi)^2Y_n$, enquanto a segunda derivada do seno é $-(n\pi)^2\sin(n\pi x)$. As parcelas cancelam-se na EDP; a série pode ser derivada no interior.

Há incompatibilidade nos quatro cantos entre o lado vertical a zero e os dados 100 ou 200. Não há prolongamento contínuo a esses cantos. Multiplicar uma solução com base a zero conserva esse zero, por isso nunca imporia os 100 pedidos. São necessárias as duas contribuições.

Confere a tua resposta:

*   Separei os problemas da base e do topo.
*   Calculei os dois conjuntos de coeficientes de senos.
*   Escolhi fatores que se anulam na fronteira oposta.
*   Conferi a EDP, os quatro lados abertos e os cantos.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/am2/laplace-retangulo/#dois-lados-com-dados-n%C3%A3o-nulos)