# Ondas e vibração

Equação das ondas com fronteiras fixas, dois dados iniciais e modos que oscilam.

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Uma corda ideal, sem amortecimento e fixa nas extremidades, pode partir da posição de equilíbrio e ainda assim mover-se, se tiver velocidade inicial. Por isso, resolver $u_{tt}=c^2u_{xx}$ exige tanto o deslocamento $f(x)$ como a velocidade $g(x)$, com $c>0$.

## Separação com dois dados

Em $0<x<L$, $u_{tt}=c^2u_{xx}$, com $u(0,t)=u(L,t)=0$, $u(x,0)=f(x)$ e $u_t(x,0)=g(x)$, o ensaio $u=X(x)T(t)$ dá $T''/c^2T=X''/X=-\lambda$. Os modos espaciais são os mesmos do calor: $\sin(n\pi x/L)$ com $\lambda_n=(n\pi/L)^2$. No tempo, cada modo oscila:

$$
T_n=A_n\cos\frac{n\pi c t}{L}+B_n\sin\frac{n\pi c t}{L}.
$$

A solução é

$$
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{n\pi x}{L}\left(A_n\cos\frac{n\pi c t}{L}+B_n\sin\frac{n\pi c t}{L}\right).
$$

Em $t=0$, o cosseno vale 1 e o seno vale 0, logo $f$ escolhe $A_n$. Ao derivar no tempo, o seno introduz a frequência $\omega_n=n\pi c/L$, logo $g$ escolhe $\omega_n B_n$:

$$
A_n=\frac2L\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx,\qquad B_n=\frac{2}{L\omega_n}\int_0^L g(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.
$$

O fator $1/\omega_n$ distingue a amplitude do deslocamento da amplitude da velocidade. A soma é uma solução clássica quando os dados têm regularidade e compatibilidade suficientes para derivar a série; dados por troços podem exigir uma interpretação mais fraca.

## Velocidade inicial

Com $L=\pi$, $c=1$, $f=0$ e $g(x)=\sin x$, só o primeiro modo aparece. Então $A_1=0$ e $B_1\cdot1=1$, logo

$$
u(x,t)=\sin x\sin t.
$$

Confere: $u_{tt}=-\sin x\sin t=u_{xx}$; as fronteiras são nulas; $u(x,0)=0$ e $u_t(x,0)=\sin x$. A energia oscila entre cinética e potencial sem decair, ao contrário do calor.

t = 01−10πxt = π/21−10πxt = π1−10πxt = 3π/21−10πx

u(x, t) = sin(x) sin(t). A corda parte da posição de equilíbrio, sobe, volta à posição de equilíbrio e desce. Em t = 0 e t = π tem a mesma posição, mas velocidades opostas.

## Deslocamento e velocidade juntos

Com $L=1$, $c=1$ e $f(x)=g(x)=x(1-x)$, a conta de Fourier da parábola dá

$$
A_n=\frac{4(1-(-1)^n)}{n^3\pi^3},\qquad B_n=\frac{A_n}{n\pi}.
$$

Portanto, a solução soma estes modos com os dois dados,

$$
u(x,t)=\sum_{\substack{n\ge1\\n\text{ ímpar}}}\frac8{n^3\pi^3}\sin(n\pi x) \left(\cos(n\pi t)+\frac{\sin(n\pi t)}{n\pi}\right).
$$

Em $t=0$ recuperamos $f$; a derivada temporal cancela o denominador $n\pi$ e recupera $g$. Cada modo satisfaz $u_{tt}=u_{xx}$ e os dois extremos fixos.

Um dado como $0{,}01\sin(3\pi x)$ é um modo puro em $(0,1)$, mas não em $(0,\pi)$: os modos dependem do comprimento. Confere o argumento do seno e o intervalo antes de reduzir uma série a um termo.

Sem a velocidade inicial, os $B_n$ ficam indeterminados.

## Exercícios

Onda com velocidade inicial

Resolve $u_{tt}=u_{xx}$ em $0\lt x\lt\pi$, com fronteiras nulas, $u(x,0)=0$ e $u_t(x,0)=\sin(2x)$.

Pista

Escolhe o modo espacial compatível com $\sin(2x)$ e calcula a sua frequência.

Solução

A condição de deslocamento dá $A=0$. Como $u_t(x,0)=2B\sin(2x)$, temos $B=1/2$:

$$
u(x,t)=\tfrac12\sin(2x)\sin(2t).
$$

As segundas derivadas são ambas $-4u$, os extremos são nulos e $u_t(x,0)=\sin(2x)$. Sem dividir pela frequência 2, duplicaríamos a velocidade inicial.

Confere a tua resposta:

*   Separei os coeficientes do deslocamento e da velocidade.
*   Apliquei as duas condições em t=0.
*   Verifiquei a EDP e as fronteiras.

Erros frequentes

A equação das ondas precisa dos dois dados. Com só um, infinitas soluções partilham o mesmo deslocamento inicial.

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