# Exercícios MT1 Questões de testes antigos de Física I, com resolução. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/exercicios-mt1/ ## Cinemática Vetor posição a partir da velocidade Teste 1, 2015/16 O vetor velocidade de uma partícula, em função do tempo, é $\vec{v}=2t^2\,\hat{\imath}+t^4\,\hat{\jmath}$ (unidades SI). Sabendo que a posição da partícula em $t=0$ é $\vec{r}_0=2\,\hat{\imath}+3\,\hat{\jmath}$, determine o vetor posição em $t=1$ s. Solução $\vec{r}(1)=2{,}67\,\hat{\imath}+3{,}2\,\hat{\jmath}$ m. Integra-se a velocidade: $\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\int_0^t\vec{v}\,dt$. Assim, $x(1)=2+\int_0^1 2t^2\,dt=2+\frac{2}{3}=2{,}67$ m e $y(1)=3+\int_0^1 t^4\,dt=3+\frac{1}{5}=3{,}2$ m. Confere a tua resposta: * A componente segundo $\hat{\imath}$ da resposta é $2{,}67$ m. * A componente segundo $\hat{\jmath}$ da resposta é $3{,}2$ m. Aceleração tangencial em função da posição Teste 1, 2015/16 A velocidade de um ponto é dada pela expressão $v=3s^2$ (unidades SI), em que $s$ é a posição na trajetória. Determine a expressão para a aceleração tangencial, $a_t$, em função de $s$. Solução $a_t=18s^3$ (unidades SI). Como $a_t=\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{ds}$ e $\frac{dv}{ds}=6s$, obtém-se $a_t=3s^2\cdot 6s=18s^3$. Confere a tua resposta: * A resolução usa $a_t=v\,\frac{dv}{ds}$. * A resposta indica $a_t=18s^3$. Distância percorrida com inversão de sentido Teste 1, 2015/16 A posição de um ponto ao longo de um percurso, em função do tempo, é dada por $s=42t-3t^2$ (SI). Determine a distância percorrida pelo ponto entre $t=0$ e $t=10{,}5$ s. Solução $183{,}75$ m. A velocidade é $v=42-6t$, que se anula em $t=7$ s. Até aí, $s(7)=42\cdot7-3\cdot49=147$ m. Depois, o ponto recua até $s(10{,}5)=441-330{,}75=110{,}25$ m. A distância total é $147+(147-110{,}25)=183{,}75$ m. Aceleração tangencial num instante Teste 1, 2015/16 A velocidade de uma partícula, em função do tempo, é dada por $\vec{v}=2t^2\,\hat{\imath}+(t^4+1)\,\hat{\jmath}$ (unidades SI). Determine o valor da aceleração tangencial $a_t$ em $t=1$ s. Solução $a_t=4\sqrt{2}\approx 5{,}66$ m/s². Em $t=1$: $\vec{v}=(2,2)$ e $\vec{a}=(4t,4t^3)=(4,4)$. Logo $a_t=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{4\cdot2+4\cdot2}{\sqrt{2^2+2^2}}=\frac{16}{2\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\approx 5{,}66$ m/s². Velocidade quando a aceleração depende da posição Teste 1, 2019/20 A aceleração tangencial de um objeto verifica a expressão $a_t=2s^4$ (unidades SI), em que $s$ é a posição na trajetória. Se o objeto parte do repouso em $s=1$ m, determine o valor absoluto da sua velocidade em $s=2$ m. Solução $|v|=\sqrt{24{,}8}\approx 4{,}98$ m/s. Usa-se $a_t=v\frac{dv}{ds}$, logo $\int_0^v v\,dv=\int_1^2 2s^4\,ds$. Assim, $\frac{v^2}{2}=\frac{2}{5}(2^5-1)=\frac{62}{5}$, donde $v^2=24{,}8$ e $v\approx 4{,}98$ m/s. ## Movimento circular Tempo de uma volta completa Teste 1, 2019/20 O movimento de um ponto no plano $xy$ é circular, não uniforme, com raio de 4 m. O vetor posição do ponto, em função do tempo, é $\vec{r}=4\cos(4t^2)\,\hat{\imath}+4\sin(4t^2)\,\hat{\jmath}$ (unidades SI). Determine o tempo que o ponto demora, desde $t=0$, até regressar à posição inicial, após uma volta completa. Solução $t=\sqrt{\pi/2}\approx 1{,}25$ s. O ângulo varrido é $\theta=4t^2$. Uma volta completa corresponde a $\theta=2\pi$, logo $4t^2=2\pi$ e $t=\sqrt{\pi/2}\approx 1{,}25$ s. Velocidade de um ponto de uma roda em rolamento Teste 1, 2015/16 Uma roda com 12 cm de raio roda sem deslizar sobre uma superfície plana horizontal. Num dado instante, a velocidade do ponto de contacto $O$ com o solo é nula e o módulo da velocidade do ponto $P$ no topo da roda é 30 cm/s. Determine o módulo da velocidade do ponto $Q$, que está à mesma altura do centro $C$ da roda. Solução $|\vec{v}_Q|=15\sqrt{2}\approx 21{,}2$ cm/s. Num rolamento sem deslizamento, o ponto do topo tem velocidade $2v_C$, logo $v_C=15$ cm/s. O ponto $Q$, à altura do centro, tem componentes horizontal $v_C$ e vertical $v_C$ (devido à rotação), donde $|\vec{v}_Q|=\sqrt{v_C^2+v_C^2}=v_C\sqrt{2}\approx 21{,}2$ cm/s. Aceleração centrípeta de Vénus Teste 1, 2015/16 Determine o módulo da aceleração de Vénus à volta do Sol, sabendo que a distância média entre o Sol e Vénus é $1{,}08\times10^{11}$ m e que Vénus demora 224,7 dias a completar uma volta (admita uma órbita circular). Solução $a_c\approx 1{,}13\times10^{-2}$ m/s². Com $T=224{,}7\times86400$ s, a velocidade angular é $\omega=2\pi/T$. A aceleração centrípeta é $a_c=\omega^2 r=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r\approx 1{,}13\times10^{-2}$ m/s². ## Leis de Newton Força entre dois blocos com atrito Teste 1, 2015/16 Uma força $\vec{F}$ horizontal, constante e de módulo 72 N, faz acelerar dois blocos sobre uma mesa horizontal. As massas dos blocos são $m_1=6$ kg e $m_2=18$ kg e o coeficiente de atrito cinético entre os blocos e a mesa é 0,25. Calcule o módulo da força que o bloco da esquerda exerce sobre o bloco da direita. Use $g=9{,}8$ m/s². Solução $54{,}0$ N. Para o conjunto, $72-\mu_k(m_1+m_2)g=(m_1+m_2)a$, logo $a=\frac{72-0{,}25\cdot24\cdot9{,}8}{24}=0{,}55$ m/s². Para o bloco da direita, $F_{12}-\mu_k m_2 g=m_2 a$, donde $F_{12}=18\cdot0{,}55+0{,}25\cdot18\cdot9{,}8=54{,}0$ N. Aceleração relativa entre dois objetos Teste 1, 2019/20 O vetor velocidade do objeto 1, em função do tempo, é $\vec{v}_1=(1-4t)\,\hat{\imath}+8t\,\hat{\jmath}$ (unidades SI) e o do objeto 2, no mesmo referencial, é $\vec{v}_2=3t\,\hat{\imath}+(1-7t)\,\hat{\jmath}$. Determine o vetor aceleração do objeto 1 em relação ao objeto 2. Solução $\vec{a}_{1/2}=-7\,\hat{\imath}+15\,\hat{\jmath}$ m/s². $\vec{a}_1=\frac{d\vec{v}_1}{dt}=-4\,\hat{\imath}+8\,\hat{\jmath}$ e $\vec{a}_2=3\,\hat{\imath}-7\,\hat{\jmath}$. A aceleração relativa é $\vec{a}_{1/2}=\vec{a}_1-\vec{a}_2=-7\,\hat{\imath}+15\,\hat{\jmath}$ m/s². Confere a tua resposta: * A componente segundo $\hat{\imath}$ é $-7$ m/s². * A componente segundo $\hat{\jmath}$ é $+15$ m/s². Aceleração do centro de massa Teste 1, 2019/20 Num objeto com massa de 0,4 kg atuam unicamente duas forças externas: $3\,\hat{\imath}-6\,\hat{\jmath}$ e $8\,\hat{\imath}+11\,\hat{\jmath}$ (ambas em newtons). Determine o módulo da aceleração do centro de massa do objeto. Solução $30{,}2$ m/s². A força resultante é $\vec{F}=11\,\hat{\imath}+5\,\hat{\jmath}$ N, com módulo $\sqrt{11^2+5^2}=\sqrt{146}\approx 12{,}08$ N. Pela segunda lei de Newton, $a=F/m=12{,}08/0{,}4\approx 30{,}2$ m/s². Resultante de duas forças em equilíbrio Teste 1, 2019/20 Sobre um objeto atuam unicamente 3 forças externas, com módulos $F_1=40$ N, $F_2=50$ N e $F_3=50$ N. Sabendo que o objeto se encontra em equilíbrio, calcule o módulo da soma das duas primeiras forças, $|\vec{F}_1+\vec{F}_2|$. Solução $|\vec{F}_1+\vec{F}_2|=50$ N. Em equilíbrio, a resultante é nula: $\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3=\vec{0}$. Logo $\vec{F}_1+\vec{F}_2=-\vec{F}_3$ e o módulo pedido é igual a $F_3=50$ N. Forças que atuam sobre um bloco Teste 1, 2015/16 Um homem empurra um bloco de madeira sobre uma superfície horizontal. Sobre o bloco está pousado um livro. Considere as forças: 1. Força de contacto entre as mãos do homem e o bloco; 2. Peso do livro; 3. Força de atrito produzida pela superfície horizontal. Quais dessas forças atuam sobre o bloco de madeira? Solução Atuam sobre o bloco as forças 1 e 3. Num diagrama de corpo livre representamse apenas as forças que atuam nesse corpo. As mãos do homem exercem contacto no bloco (força 1) e a superfície exerce atrito (força 3). O peso do livro (força 2) atua sobre o livro, não sobre o bloco. * **1 e 2.** O peso do livro atua sobre o livro, não sobre o bloco. * **1.** Falta a força de atrito da superfície sobre o bloco. * **1 e 3.** O homem e a superfície exercem força sobre o bloco; o peso do livro atua sobre o livro. * **1, 2 e 3.** O peso do livro não atua sobre o bloco de madeira. * **2 e 3.** A força das mãos atua sobre o bloco; o peso do livro não. ## Rotação e corpos rígidos Binário de atrito num eixo Teste 1, 2019/20 Para determinar o binário produzido pelo atrito no eixo de uma roda, foi encaixado na roda um volante, aumentando a massa da roda para 560 kg; o raio de giração da roda com o volante é 1,3 m. Foi comunicada à roda uma velocidade angular correspondente a uma frequência de 220 r.p.m. e, abandonada a própria sorte, acabou por parar após 10 minutos. Determine o binário do atrito, considerando-o constante. Solução $\approx 36{,}3$ N·m. O momento de inércia é $I=mk^2=560\cdot1{,}3^2=947{,}6$ kg·m². A velocidade angular inicial é $\omega=220\cdot\frac{2\pi}{60}\approx 23{,}04$ rad/s e a aceleração angular $\alpha=\omega/600\approx 0{,}0384$ s⁻². O binário é $\tau=I\alpha\approx 36{,}3$ N·m. Altura máxima antes de tombar Teste 1, 2015/16 Uma caixa cúbica homogénea, com arestas de 240 mm e peso total de 60 N, está em repouso sobre uma mesa horizontal. No lado direito da caixa aplica-se uma força horizontal $\vec{F}$ de módulo 50 N, a uma altura $h$ do solo. Se o coeficiente de atrito estático com a mesa for suficiente para evitar que a caixa deslize, determine o valor máximo que $h$ pode ter para que a caixa não rode (tombe). Solução $h_{\max}=144$ mm. A caixa tomba quando o momento da força aplicada em torno da aresta inferior iguala o momento do peso: $F\,h=P\cdot\frac{a}{2}$. Assim, $h=\frac{60\cdot0{,}12}{50}=0{,}144$ m $=144$ mm. Momento de inércia de uma esfera num eixo tangente Teste 1, 2015/16 Calcule o momento de inércia de uma esfera com raio de 3 centímetros e massa 452 gramas, que roda à volta de um eixo tangente à superfície da esfera, sabendo que o momento de inércia de uma esfera de raio $R$ e massa $m$ à volta do eixo que passa pelo centro é $\frac{2}{5}mR^2$. Solução $I=\frac{7}{5}mR^2\approx 5{,}70\times10^{-4}$ kg·m². Pelo teorema dos eixos paralelos, $I=I_{CM}+mR^2=\frac{2}{5}mR^2+mR^2=\frac{7}{5}mR^2$. Com $m=0{,}452$ kg e $R=0{,}03$ m: $I=1{,}4\cdot0{,}452\cdot0{,}03^2\approx 5{,}70\times10^{-4}$ kg·m². Confere a tua resposta: * A resolução aplica o teorema dos eixos paralelos. * A resposta indica $5{,}70\times10^{-4}$ kg·m².