# Exercícios MT2 Questões de testes antigos de Física I, com resolução. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/exercicios-mt2/ ## Trabalho e energia Trabalho da força de atrito num plano inclinado Teste 2, 2015/16 Um bloco de massa $3\ \mathrm{kg}$ desce deslizando sobre a superfície de um plano inclinado, partindo do ponto $A$ com velocidade de valor $3\ \mathrm{m/s}$ e parando completamente no ponto $B$. As alturas dos pontos $A$ e $B$, medidas na vertical desde a base horizontal do plano, são $h_A = 100\ \mathrm{cm}$ e $h_B = 10\ \mathrm{cm}$. Use $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$. Calcule o trabalho realizado pela força de atrito, desde $A$ até $B$. Solução $W_{\text{atrito}} = -39{,}96\ \mathrm{J} \approx -40{,}0\ \mathrm{J}$. Pelo teorema da energia cinética, $W_{\text{atrito}} + W_{\text{peso}} = \Delta E_c$. O trabalho do peso é $mg(h_A - h_B) = 3\cdot9{,}8\cdot0{,}90 = 26{,}46\ \mathrm{J}$ e $\Delta E_c = 0 - \tfrac{1}{2}\cdot3\cdot3^2 = -13{,}5\ \mathrm{J}$. Logo $W_{\text{atrito}} = -13{,}5 - 26{,}46 = -39{,}96\ \mathrm{J}$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/trabalho-energia/#trabalho-de-uma-for%C3%A7a) Trabalho do atrito com velocidade inicial não nula Teste 2, 2019/20 Um bloco de massa $5\ \mathrm{kg}$ desce deslizando sobre a superfície de um plano inclinado, partindo do ponto $A$ com velocidade de valor $7\ \mathrm{m/s}$ e parando completamente no ponto $B$. As alturas dos pontos $A$ e $B$, medidas na vertical desde a base horizontal do plano, são $h_A = 60\ \mathrm{cm}$ e $h_B = 10\ \mathrm{cm}$. Use $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$. Calcule o trabalho realizado pela força de atrito, desde $A$ até $B$. Solução $W_{\text{atrito}} = -147{,}0\ \mathrm{J}$. $W_{\text{atrito}} = \Delta E_c - W_{\text{peso}} = \left(0 - \tfrac{1}{2}\cdot5\cdot7^2\right) - 5\cdot9{,}8\cdot(0{,}60 - 0{,}10) = -122{,}5 - 24{,}5 = -147{,}0\ \mathrm{J}$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/trabalho-energia/#trabalho-de-uma-for%C3%A7a) Trabalho mínimo para subir uma caixa por uma rampa Teste 2, 2015/16 Para subir uma caixa de massa $60\ \mathrm{kg}$, desde o chão até um camião com altura $115\ \mathrm{cm}$, um homem empurra a caixa ao longo de uma rampa inclinada $30^\circ$ em relação à horizontal. Determine o trabalho mínimo que o homem deve realizar, desprezando o atrito e a resistência do ar. Use $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$. Solução $W_{\min} = 676{,}2\ \mathrm{J} \approx 676\ \mathrm{J}$. O trabalho mínimo realiza-se quando a caixa chega ao camião em repouso, ou seja, quando toda a energia fornecida fica como energia potencial: $W_{\min} = mgh = 60\cdot9{,}8\cdot1{,}15 = 676{,}2\ \mathrm{J}$. O ângulo da rampa não entra no resultado porque o trabalho mínimo depende apenas da variação de altura. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/trabalho-energia/#teorema-da-energia-cin%C3%A9tica) ## Rotação e rolamento Energia cinética de uma esfera em rolamento Teste 2, 2015/16 Uma esfera de massa $m$ e raio $R$ rola sobre uma superfície plana, sem deslizar. O momento de inércia da esfera em relação ao centro de massa é $\tfrac{2}{5}mR^2$. Determine a expressão da energia cinética total da esfera em função da velocidade $v$ do centro de massa. Solução $E_c = \tfrac{7}{10}mv^2$. $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2 = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}mR^2\cdot\tfrac{v^2}{R^2} = \left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{5}\right)mv^2 = \tfrac{7}{10}mv^2$. Confere a tua resposta: * A resposta escreve a energia cinética como soma das parcelas de translação e de rotação. * A resposta usa a condição de rolamento $v = \omega R$. * A resposta indica $E_c = \tfrac{7}{10}mv^2$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/rotacao/#rolamento-sem-deslizamento) Velocidade de um cilindro no fim de uma rampa Teste 2, 2019/20 Um cilindro desce uma rampa com $49\ \mathrm{cm}$ de altura, partindo do repouso e rolando à volta do seu eixo sem deslizar. Despreze a resistência do ar. O momento de inércia do cilindro de massa $m$ e raio $r$, à volta do seu eixo, é $\tfrac{1}{2}mr^2$. Use $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$. Determine a velocidade do centro de massa do cilindro quando chega ao fim da rampa. Solução $v = 2{,}53\ \mathrm{m/s}$. A energia mecânica conserva-se: $mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2 = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}mr^2\cdot\tfrac{v^2}{r^2} = \tfrac{3}{4}mv^2$. Logo $v = \sqrt{\tfrac{4gh}{3}} = \sqrt{\tfrac{4\cdot9{,}8\cdot0{,}49}{3}} = 2{,}53\ \mathrm{m/s}$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/rotacao/#rolamento-sem-deslizamento) ## Forças e leis de Newton Componente tangencial da força resultante Teste 2, 2015/16 Quando uma partícula passa por um ponto $P$, a sua velocidade é $\vec{v} = 4\,\hat{\imath} + 2\,\hat{\jmath}$ (SI) e a força resultante é $\vec{F} = 6\,\hat{\imath} + 6\,\hat{\jmath}$ (SI). Calcule o valor da componente tangencial da força resultante nesse ponto. Solução $F_t = 8{,}05\ \mathrm{N}$. A componente tangencial é a projeção da força na direção da velocidade: $F_t = \vec{F}\cdot\vec{v}/|\vec{v}| = (6\cdot4 + 6\cdot2)/\sqrt{4^2+2^2} = 36/\sqrt{20} = 8{,}05\ \mathrm{N}$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/leis-newton/#leis-de-newton) Componente tangencial da força num instante Teste 2, 2019/20 Quando uma partícula passa por um ponto $P$, a sua velocidade é $\vec{v} = 3\,\hat{\imath} + 2\,\hat{\jmath}$ (SI) e a força resultante é $\vec{F} = 4\,\hat{\imath} + 6\,\hat{\jmath}$ (SI). Calcule o valor da componente tangencial da força resultante nesse ponto. Solução $F_t = 6{,}66\ \mathrm{N}$. $F_t = \vec{F}\cdot\vec{v}/|\vec{v}| = (4\cdot3 + 6\cdot2)/\sqrt{3^2+2^2} = 24/\sqrt{13} = 6{,}66\ \mathrm{N}$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/leis-newton/#leis-de-newton) ## Equilíbrio e espaço de fase Ponto de equilíbrio instável de uma força tangencial Teste 2, 2015/16 Num sistema que se desloca no eixo dos $x$, a força tangencial resultante é $F_t = x^2 + x - 2$ (SI). Qual dos seguintes valores corresponde à posição $x$ de um ponto de equilíbrio instável? Solução $x = 1$. Os pontos de equilíbrio são as raízes de $F_t = (x+2)(x-1) = 0$, ou seja $x = -2$ e $x = 1$. Um equilíbrio é instável quando a força afasta a partícula dele, o que acontece quando $\mathrm{d}F_t/\mathrm{d}x > 0$. Como $\mathrm{d}F_t/\mathrm{d}x = 2x+1$, só $x = 1$ (derivada $3 > 0$) é instável. * **$x = 1$.** Os equilíbrios são $x = -2$ e $x = 1$. Como $\mathrm{d}F_t/\mathrm{d}x = 2x + 1$, em $x = 1$ a derivada é positiva, logo o equilíbrio é instável. * **$x = -1$.** $F_t(-1) = -2 \neq 0$, logo não é ponto de equilíbrio. * **$x = 3$.** $F_t(3) = 10 \neq 0$, logo não é ponto de equilíbrio. * **$x = 2$.** $F_t(2) = 4 \neq 0$, logo não é ponto de equilíbrio. * **$x = -2$.** É ponto de equilíbrio, mas $\mathrm{d}F_t/\mathrm{d}x = -3 < 0$ nesse ponto, logo é estável. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/trabalho-energia/#equil%C3%ADbrio-e-estabilidade) Órbita homoclínica e ponto de equilíbrio instável Teste 2, 2019/20 A força tangencial resultante sobre um objeto é $F_t = -s^2 + 2s + 3$, onde $s$ é a posição na trajetória. Sabendo que o retrato de fase do sistema tem uma órbita homoclínica que se aproxima assimptoticamente do ponto $(a, 0)$, determine o valor de $a$. Solução $a = -1$. Os equilíbrios são $s = -1$ e $s = 3$. A estabilidade dada por $\mathrm{d}F_t/\mathrm{d}s = -2s + 2$: em $s = -1$ é $4 > 0$ (instável) e em $s = 3$ é $-4 < 0$ (estável). Uma órbita homoclínica parte e regressa ao mesmo ponto de equilíbrio instável, logo $a = -1$. * **$a = -1$.** A órbita homoclínica liga um ponto de equilíbrio instável a ele próprio; $s = -1$ é o único equilíbrio instável de $F_t = -(s-3)(s+1)$. * **$a = 3$.** Em $s = 3$ a derivada de $F_t$ é negativa, logo o equilíbrio é estável. * **$a = -2$.** $F_t(-2) = -5 \neq 0$, logo não é ponto de equilíbrio. * **$a = 2$.** $F_t(2) = 3 \neq 0$, logo não é ponto de equilíbrio. * **$a = 1$.** $F_t(1) = 4 \neq 0$, logo não é ponto de equilíbrio. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/trabalho-energia/#equil%C3%ADbrio-e-estabilidade) Equilíbrios e órbitas homoclínicas de um potencial Teste 2, 2019/20 Uma partícula de massa $m = 2$ desloca-se no eixo dos $x$ sob uma força resultante conservativa de energia potencial $U = 2x^2 e^{-x}$. Qual das seguintes afirmações é correta? Solução Há 2 pontos de equilíbrio ($x = 0$ e $x = 2$) e uma órbita homoclínica. $\mathrm{d}U/\mathrm{d}x = (4x - 2x^2)e^{-x} = 2x(2-x)e^{-x}$, que se anula em $x = 0$ e $x = 2$. A segunda derivada é positiva em $x = 0$ (mínimo, equilíbrio estável) e negativa em $x = 2$ (máximo, equilíbrio instável, com $U = 8e^{-2}$). Uma trajetória com energia igual à do máximo parte do ponto instável e regressa a ele: é uma órbita homoclínica. * **Há 2 pontos de equilíbrio e nenhuma órbita homoclínica..** Há 2 pontos de equilíbrio, mas existe uma órbita homoclínica associada ao equilíbrio instável. * **Há 3 pontos de equilíbrio e uma órbita homoclínica..** Só há 2 pontos de equilíbrio, $x = 0$ e $x = 2$. * **Há 2 pontos de equilíbrio e uma órbita homoclínica..** $\mathrm{d}U/\mathrm{d}x = 2x(2-x)e^{-x}$ anula-se em $x = 0$ (mínimo, estável) e $x = 2$ (máximo, instável); a energia do máximo gera uma órbita homoclínica. * **Há 3 pontos de equilíbrio e uma órbita heteroclínica..** Só há 2 pontos de equilíbrio e a órbita é homoclínica, não heteroclínica. * **Há 2 pontos de equilíbrio e uma órbita heteroclínica..** A órbita que parte do máximo de potencial regressa ao mesmo ponto, logo é homoclínica. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/trabalho-energia/#equil%C3%ADbrio-e-estabilidade) Número de pontos de equilíbrio instáveis Teste 2, 2019/20 A força tangencial resultante sobre um corpo é $F_t = s(s+1)(s+2)(s-1)(s-2)$. Quantos pontos de equilíbrio instáveis tem este sistema mecânico? Solução 3 pontos de equilíbrio instáveis: $s = -2$, $s = 0$ e $s = 2$. Os equilíbrios são as raízes $s = -2, -1, 0, 1, 2$. Como o polinómio muda de sinal em cada raiz simples, a derivada de $F_t$ é positiva nas raízes de índice par a contar de $-2$: $s = -2$, $s = 0$ e $s = 2$. Nesses pontos a força afasta a partícula, logo são instáveis. * **3.** Os equilíbrios são $s = -2, -1, 0, 1, 2$ e os instáveis são $s = -2, 0, 2$, onde a derivada de $F_t$ é positiva. * **1.** Há mais de um ponto instável. * **2.** Há três pontos instáveis, não dois. * **4.** Só três dos cinco equilíbrios são instáveis. * **5.** Nem todos os equilíbrios são instáveis. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/trabalho-energia/#equil%C3%ADbrio-e-estabilidade) Ciclo limite em coordenadas polares Teste 2, 2019/20 As equações de um sistema dinâmico em coordenadas polares $(r, \theta)$ são $\dot{\theta} = -2$ e $\dot{r} = r^2 - 3r$. Como tal, o sistema tem um ciclo limite. Indique o seu raio e o seu tipo. Solução Ciclo limite repulsivo com $r = 3$. Os ciclos limite são os círculos em que $\dot{r} = 0$ com $\dot{\theta} \neq 0$: $r(r-3) = 0$ dá $r = 0$ (equilíbrio) e $r = 3$. Para $2 < r < 3$, $\dot{r} < 0$, e para $r > 3$, $\dot{r} > 0$, logo as trajetórias afastam-se de $r = 3$: o ciclo é repulsivo. * **Atrativo com $r = 2$.** $\dot{r}$ não se anula em $r = 2$. * **Repulsivo com $r = 3$.** $\dot{r} = r(r-3)$ anula-se em $r = 3$; para $r < 3$ é negativa e para $r > 3$ é positiva, logo as trajetórias se afastam do ciclo. * **Atrativo com $r = 0$.** $r = 0$ é o ponto de equilíbrio da origem, não um ciclo limite. * **Atrativo com $r = 3$.** O ciclo em $r = 3$ é repulsivo, pois $\dot{r} > 0$ para $r > 3$. * **Repulsivo com $r = 2$.** $\dot{r}$ não se anula em $r = 2$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/trabalho-energia/#equil%C3%ADbrio-e-estabilidade) Quantos ciclos limite tem o sistema polar Teste 2, 2019/20 O espaço de fase de um sistema dinâmico é o plano $xy$. Em coordenadas polares, as equações de evolução são $\dot{\theta} = -3$ e $\dot{r} = r^3 - 2r^2 + r$. Quantos ciclos limite tem o sistema? Solução 1 ciclo limite, em $r = 1$. $\dot{r} = r(r-1)^2$ anula-se em $r = 0$ e $r = 1$. Como $\dot{\theta} = -3 \neq 0$, o círculo $r = 1$ é um ciclo limite (semi-estável, pois $\dot{r} \geq 0$ nas proximidades). $r = 0$ é o ponto de equilíbrio da origem. * **2.** Só há um círculo em que $\dot{r} = 0$ com $\dot{\theta} \neq 0$. * **0.** Existe o ciclo limite $r = 1$. * **4.** Só há um ciclo limite. * **1.** $\dot{r} = r(r-1)^2$ anula-se em $r = 1$ (além de $r = 0$, que é equilíbrio). * **3.** Só há um ciclo limite. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/trabalho-energia/#equil%C3%ADbrio-e-estabilidade) ## Linearização de sistemas Linearização de um sistema não linear Teste 2, 2015/16 O sistema dinâmico não linear $\dot{x} = xy - 4x + y - 4$, $\dot{y} = xy + x - y - 1$ tem um ponto de equilíbrio em $x = 1$, $y = 4$. Qual é o sistema linear que aproxima o sistema não linear na vizinhança desse ponto de equilíbrio? Solução $\dot{x} = 2y$, $\dot{y} = 5x$. Fatorando, $\dot{x} = (x+1)(y-4)$ e $\dot{y} = (x-1)(y+1)$. A jacobiana é $J = \begin{pmatrix}y-4 & x+1\\ y+1 & x-1\end{pmatrix}$, que em $(1,4)$ vale $\begin{pmatrix}0&2\\5&0\end{pmatrix}$. O sistema linearizado é $\dot{x} = 2y$, $\dot{y} = 5x$. * **$\dot{x} = 2y$, $\dot{y} = 5x$.** A jacobiana em $(1,4)$ é $\begin{pmatrix}0&2\\5&0\end{pmatrix}$. * **$\dot{x} = 5y$, $\dot{y} = -2x$.** Troca as entradas da jacobiana e muda o sinal. * **$\dot{x} = -5y$, $\dot{y} = -2x$.** Os sinais não correspondem à jacobiana em $(1,4)$. * **$\dot{x} = 5y$, $\dot{y} = 2x$.** Só a segunda linha tem o sinal correto. * **$\dot{x} = -2y$, $\dot{y} = 5x$.** Só a segunda coluna tem o valor correto. Linearização em torno de outro ponto de equilíbrio Teste 2, 2019/20 O sistema dinâmico não linear $\dot{x} = xy - 2x + y - 2$, $\dot{y} = xy + x - 5y - 5$ tem um ponto de equilíbrio em $x = 5$, $y = 2$. Qual é o sistema linear que aproxima o sistema não linear na vizinhança desse ponto de equilíbrio? Solução $\dot{x} = 6y$, $\dot{y} = 3x$. Fatorando, $\dot{x} = (x+1)(y-2)$ e $\dot{y} = (x-5)(y+1)$. A jacobiana é $J = \begin{pmatrix}y-2 & x+1\\ y+1 & x-5\end{pmatrix}$, que em $(5,2)$ vale $\begin{pmatrix}0&6\\3&0\end{pmatrix}$. O sistema linearizado é $\dot{x} = 6y$, $\dot{y} = 3x$. * **$\dot{x} = 6y$, $\dot{y} = 3x$.** A jacobiana em $(5,2)$ é $\begin{pmatrix}0&6\\3&0\end{pmatrix}$. * **$\dot{x} = -3y$, $\dot{y} = -6x$.** Os sinais não correspondem à jacobiana em $(5,2)$. * **$\dot{x} = 3y$, $\dot{y} = 6x$.** Troca as entradas da jacobiana. * **$\dot{x} = 3y$, $\dot{y} = -6x$.** Só a primeira linha está correta. * **$\dot{x} = -6y$, $\dot{y} = 3x$.** Só a segunda linha está correta. Matriz jacobiana do sistema equivalente Teste 2, 2015/16 Qual das seguintes matrizes é a matriz jacobiana do sistema dinâmico equivalente à equação diferencial $\ddot{x}\,x - 4x^2\dot{x} + 2x^2 = 0$? Solução $J = \begin{pmatrix}0&1\\4y-2&4x\end{pmatrix}$. Fazendo $y = \dot{x}$, a equação $\ddot{x}\,x - 4x^2\dot{x} + 2x^2 = 0$ equivale ao sistema $\dot{x} = y$, $\dot{y} = 4xy - 2x$. As derivadas parciais de $(y,\, 4xy-2x)$ são $\partial\dot{x}/\partial x = 0$, $\partial\dot{x}/\partial y = 1$, $\partial\dot{y}/\partial x = 4y-2$ e $\partial\dot{y}/\partial y = 4x$. * **$\begin{pmatrix}0&1\\0&2\end{pmatrix}$.** Ignora a dependência em $x$ e em $y = \dot{x}$. * **$\begin{pmatrix}0&1\\-2&2\end{pmatrix}$.** Não corresponde às derivadas parciais de $\dot{y} = 4xy - 2x$. * **$\begin{pmatrix}0&1\\4y-2&4x\end{pmatrix}$.** Com $y = \dot{x}$, $\dot{x} = y$ e $\dot{y} = 4xy - 2x$, logo a jacobiana é $\begin{pmatrix}0&1\\4y-2&4x\end{pmatrix}$. * **$\begin{pmatrix}0&1\\y-4x&x\end{pmatrix}$.** Não corresponde às derivadas parciais do sistema equivalente. * **$\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}$.** Ignora a dependência em $x$ e em $y = \dot{x}$. Matriz de um sistema linear de duas variáveis Teste 2, 2015/16 As equações de evolução de um sistema linear são $\dot{x} = 3(x-2) - 4(x-y)$ e $\dot{y} = 2(y-2) + 2(x-y)$. Qual das seguintes matrizes é a matriz do sistema? Solução $A = \begin{pmatrix}-1&4\\2&0\end{pmatrix}$. Simplificando, $\dot{x} = 3x - 6 - 4x + 4y = -x + 4y - 6$ e $\dot{y} = 2y - 4 + 2x - 2y = 2x - 4$. Os termos independentes não fazem parte da matriz do sistema, que é $\begin{pmatrix}-1&4\\2&0\end{pmatrix}$. * **$\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}$.** Não corresponde aos coeficientes de $x$ e $y$ após simplificar. * **$\begin{pmatrix}-1&4\\2&0\end{pmatrix}$.** $\dot{x} = -x + 4y - 6$ e $\dot{y} = 2x - 4$, logo a matriz é $\begin{pmatrix}-1&4\\2&0\end{pmatrix}$. * **$\begin{pmatrix}-3&5\\-1&4\end{pmatrix}$.** Não corresponde aos coeficientes de $x$ e $y$ após simplificar. * **$\begin{pmatrix}-3&5\\-1&3\end{pmatrix}$.** Não corresponde aos coeficientes de $x$ e $y$ após simplificar. * **$\begin{pmatrix}2&0\\-2&4\end{pmatrix}$.** Troca linhas e não corresponde aos coeficientes.