# Medir oscilações amortecidas Estimar período, amortecimento e comprimento equivalente a partir de picos, com unidades e limites do modelo. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/medir-oscilacoes/ Três máximos positivos de um sinal de aceleração ocorrem de dois em dois segundos. Os valores diminuem por um fator de $0{,}80$ em cada ciclo. Estes padrões permitem estimar o período e o amortecimento, mas primeiro temos de medir as amplitudes desde a linha de base correta. O exemplo usa dados sintéticos, com linha de base nula: | Pico | $t$ em segundos | leitura em $\mathrm{m/s^2}$ | amplitude desde a base | | --- | --- | --- | --- | | 0 | $0{,}00$ | $1{,}00$ | $1{,}00$ | | 1 | $2{,}00$ | $0{,}80$ | $0{,}80$ | | 2 | $4{,}00$ | $0{,}64$ | $0{,}64$ | As amplitudes estão na mesma unidade da leitura, medidas desde a linha de base. ## O que mede o sensor Uma posição harmónica tem aceleração $\ddot x=-\omega_0^2x$. Num oscilador amortecido, derivar a solução conserva o fator exponencial e a frequência, mas muda a amplitude e a fase. Por isso, picos da aceleração podem permitir estimar o mesmo período e a mesma taxa de decaimento, depois de retirares uma linha de base adequada. Um acelerómetro parado mede uma aceleração para cima de cerca de $g$, porque assinala a força de contacto que impede a queda. Em queda livre ideal, marcaria zero. O canal bruto pode ter uma linha de base que depende da orientação; uma aplicação que já remove a gravidade pode apresentar outro valor de referência. Rotação do dispositivo, gravidade projetada, movimento do suporte e seleção do canal podem modificar o sinal. Não identifiques uma coluna com a aceleração tangencial do pêndulo sem analisar a orientação e o significado do canal. Guarda os dados originais e as unidades, porque podes precisar de rever essa escolha. ![Sinal oscilatório com linha de base horizontal. Dois máximos consecutivos têm setas desde a linha de base até ao pico, indicando as amplitudes usadas no ajuste.](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/medir-oscilacoes/figura-1.svg) ## Período e amplitude Usa máximos do mesmo sinal, medidos relativamente à linha de base. Se os tempos forem $t_0,t_1,\ldots,t_N$, estima $T_d=(t_N-t_0)/N$. Usar vários ciclos reduz o efeito da leitura de cada extremo: se cada tempo tiver uma incerteza de leitura independente, a incerteza do intervalo total cresce mais devagar do que $N$, por isso a incerteza do período médio diminui. Um erro sistemático do relógio não se corrige desta forma. Um máximo positivo e o mínimo seguinte estão separados aproximadamente por meio período. Nos três picos da tabela, há dois ciclos completos. Temos $T_d=(4-0)/2=2{,}00\ \mathrm s$. Os fatores de decaimento iguais são coerentes com uma envolvente exponencial. ## Ajustar o decaimento A envolvente satisfaz $A(t)=A_0e^{-\gamma t}$. Para dois picos separados por $N$ períodos, $$ \gamma=\frac{\ln(A_n/A_{n+N})}{NT_d}. $$ No exemplo, $\gamma=\ln(1/0{,}64)/4\approx0{,}1116\ \mathrm{s^{-1}}$. O decremento por ciclo é $\delta=\ln(1/0{,}80)\approx0{,}2231$. Assim, o tempo para reduzir a amplitude para metade é $\ln2/\gamma\approx6{,}21\ \mathrm s$. Com muitos picos, aplica o logaritmo à envolvente: $\ln(A_n/A_\mathrm{ref})=-\gamma t_n+\text{constante}$, usando uma amplitude de referência na mesma unidade. O argumento do logaritmo é adimensional. Representa esses logaritmos em função de $t_n$ e ajusta uma reta. Calcula depois os resíduos, isto é, a diferença entre cada ponto e a reta. Resíduos espalhados sem padrão apoiam o modelo linear. Uma curvatura sistemática indica amortecimento não linear ou linha de base errada. Com $A_\mathrm{ref}=1\ \mathrm{m/s^2}$, os três logaritmos são $0$, $-0{,}2231$ e $-0{,}4463$. Cada intervalo de $2\ \mathrm s$ reduz o logaritmo por $0{,}2231$, portanto o declive é $-0{,}2231/2\approx-0{,}1116\ \mathrm{s^{-1}}$. Estes dados sintéticos dão resíduos nulos antes de arredondar. Numa medição real, o desvio de cada ponto deve ser comparado com a sua incerteza. Picos próximos do ruído têm incerteza relativa maior. Não os trates como medições tão precisas como os primeiros picos. Com apenas três pontos, como neste exemplo, há pouca informação para distinguir um bom ajuste de uma coincidência. ## Comparar dois decaimentos Um período menor não significa um amortecimento maior. Considera dois pêndulos que partem da mesma amplitude em repouso: o pêndulo A tem $T_d=1{,}0\ \mathrm s$ e perde $10\%$ de amplitude por ciclo; o B tem $T_d=2{,}0\ \mathrm s$ e perde metade por ciclo. As taxas são $\gamma_A=\ln(1/0{,}90)/1{,}0\approx0{,}105\ \mathrm{s^{-1}}$ e $\gamma_B=\ln2/2{,}0\approx0{,}347\ \mathrm{s^{-1}}$. O pêndulo A é mais curto, $\ell_A=g(T_d/2\pi)^2\approx0{,}25\ \mathrm m$ contra $\ell_B\approx0{,}99\ \mathrm m$, mas o seu amortecimento é menor: a meia amplitude demora cerca de $6{,}6\ \mathrm s$ em A e $2{,}0\ \mathrm s$ em B. Esta é a comparação que o exame de recurso de 26 de junho de 2023 testa ao contrário: o pêndulo com período menor pode ser o que decai mais devagar. Lê o período na posição dos picos e o amortecimento na envolvente, sem misturar as duas leituras. ## Frequência natural e comprimento Do período medido obtemos $\omega_d=2\pi/T_d$. Para amortecimento linear subcrítico, $$ \omega_0=\sqrt{\omega_d^2+\gamma^2},\qquad \tau=\frac1{2\gamma},\qquad Q=\frac{\omega_0}{2\gamma}. $$ Aqui, $\omega_d=\pi\ \mathrm{rad/s}$ e $\omega_0\approx3{,}1436\ \mathrm{rad/s}$. Portanto $\tau\approx4{,}481\ \mathrm s$ e $Q\approx14{,}09$. Este $\tau$ corresponde ao decaimento médio da energia; a constante de tempo da amplitude é $1/\gamma=2\tau$. Se o sistema for um pêndulo simples de pequenos ângulos, o comprimento equivalente é $\ell=g/\omega_0^2\approx0{,}993\ \mathrm m$. A aproximação que despreza o amortecimento dá $\ell=g(T_d/2\pi)^2\approx0{,}994\ \mathrm m$. A diferença pequena é coerente com amortecimento fraco. Num dispositivo extenso suspenso por fios, as dimensões e a inércia podem exigir um pêndulo físico; não compares com o comprimento de um fio sem essa análise. ## Incerteza e conclusão Se o modelo de pêndulo simples valer e o amortecimento for desprezável, $\ell=gT^2/(4\pi^2)$. Para pequenas incertezas e $g$ fixo, $\Delta\ell/\ell\approx2\Delta T/T$. Uma incerteza de $0{,}02\ \mathrm s$ num período de $2{,}00\ \mathrm s$ produz cerca de $2\%$ no comprimento inferido. Escreve o resultado com a mesma casa decimal no valor e na incerteza e com um ou dois algarismos significativos na incerteza. A propagação só contabiliza a incerteza do período neste modelo. Uma escolha incorreta da geometria não é corrigida por diminuir essa incerteza. Prevê e verifica: com $\gamma\approx0{,}1116\ \mathrm{s^{-1}}$, a meia amplitude é $\ln2/\gamma\approx6{,}21\ \mathrm s$, cerca de três períodos. Verifica se os picos observados estão perto dessa previsão dentro da incerteza. Ao concluir, apresenta o intervalo de dados, o número de ciclos, as unidades, o método de estimativa e os resíduos. Compara a previsão de meia amplitude com os picos observados. Uma concordância dentro da incerteza apoia o modelo nesse intervalo, mas não prova que ele descreve todos os regimes ou amplitudes. Uma discrepância pode vir da geometria, de resistência não linear, de erro temporal ou do canal escolhido. Indica que causas verificaste e que hipóteses ainda precisam de outra medição. ## Exercícios Período menor, amortecimento menor Dois pêndulos partem da mesma amplitude em repouso. O pêndulo A tem período de 1,0 s e perde 10% de amplitude por ciclo; o B tem período de 2,0 s e perde metade por ciclo. I: ℓA é maior que ℓB. II: ambos descrevem movimento harmónico amortecido. III: o amortecimento de A é superior ao de B. Modela a questão 20 do exame de recurso de 26 de junho de 2023. Pista Lê o comprimento no período e o amortecimento na envolvente, sem misturar. Solução I é falsa: período menor dá pêndulo mais curto. II é verdadeira: há oscilação com decaimento exponencial nos dois. III é falsa: γA = ln(1/0,90)/1,0 ≈ 0,106 s⁻¹ é menor que γB = ln 2/2,0 ≈ 0,347 s⁻¹. Só II vale. * **Só II: ambos descrevem movimento harmónico amortecido..** Os dois oscilam com envolvente exponencial; I e III invertem as comparações de período e decaimento. * **I e II: o pêndulo A é mais comprido..** A tem período de 1,0 s contra 2,0 s de B, logo ℓA ≈ 0,25 m é menor que ℓB ≈ 0,99 m. * **II e III: o amortecimento de A é superior..** A perde 10% por ciclo (γ ≈ 0,106 s⁻¹) e B perde metade (γ ≈ 0,347 s⁻¹): A decai mais devagar. * **Todas verdadeiras..** I e III são ambas falsas; o período e o amortecimento leem-se em partes diferentes do gráfico. Erros frequentes Concluir amortecimento maior de período menor, ou ler o comprimento na rapidez do decaimento. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/medir-oscilacoes/#comparar-dois-decaimentos) Contar ciclos completos Cinco máximos positivos consecutivos ocorrem de t = 1 s a t = 7 s. Qual o período médio, em segundos? Pista Cinco picos delimitam quatro intervalos, ou seja conta os ciclos entre picos. Solução T = 1,5 s. Divide pelo número de ciclos entre os picos, que é um a menos do que o número de picos. Erros frequentes Dividir o intervalo total por cinco ou misturar máximos e mínimos como ciclos completos. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/medir-oscilacoes/#per%C3%ADodo-e-amplitude) Estimar a taxa de decaimento Dois picos do mesmo sinal, separados por 4 s, têm amplitudes 1,00 e 0,64 na mesma unidade. Qual a taxa γ da envolvente exp(−γt), em s⁻¹? Pista Usa a razão das amplitudes, não a diferença, porque o decaimento é exponencial. Mais uma pista γ = ln(1,00/0,64)/4. Solução γ ≈ 0,11157 s⁻¹. O argumento do logaritmo é adimensional e γ tem unidade de inverso do tempo. Erros frequentes Tomar a diferença de amplitudes como taxa exponencial ou inverter a razão e obter γ negativo. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/medir-oscilacoes/#ajustar-o-decaimento) Propagar a incerteza do período No modelo de pêndulo simples sem correção de amortecimento, T = 2,00 ± 0,02 s e g é fixo. Qual a incerteza relativa aproximada de ℓ, em percentagem? Pista O comprimento depende do quadrado do período, por isso duplica a incerteza relativa. Solução 2 × 0,02/2,00 = 0,02, ou 2%. É uma aproximação para pequenas incertezas sob o modelo escolhido. Erros frequentes Usar 1% sem contabilizar o quadrado ou escrever 0,02% em vez de 2%. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/medir-oscilacoes/#incerteza-e-conclus%C3%A3o) Retirar o desvio do sensor Um sinal tem linha de base constante de 3 m/s². Dois máximos positivos consecutivos, separados por 2 s, têm valores lidos de 7 e 5 m/s². Admitindo amortecimento linear, qual a taxa γ do decaimento da amplitude? Pista As amplitudes são medidas desde a linha de base, não desde zero. Mais uma pista Os afastamentos são 7 − 3 = 4 e 5 − 3 = 2 m/s². Calcula ln(4/2)/2. Solução γ = ln 2/2 ≈ 0,3466 s⁻¹. Usar os valores brutos daria ln(7/5)/2 ≈ 0,1682 s⁻¹, que mede uma razão alterada pelo desvio do sensor. Erros frequentes Tomar a razão 7/5 sem subtrair a linha de base ou confundir dois máximos consecutivos com meio período. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/medir-oscilacoes/#ajustar-o-decaimento) Distinguir erro sistemático Um relógio atrasa-se sempre 1% e medes o período com 20 ciclos. A média elimina esse erro? Pista Distingue leitura independente de calibração. Mais uma pista O erro relativo de 1% passa para o período médio. Solução Não. Os resíduos podem até parecer bons, mas o período fica 1% abaixo do real. É um erro sistemático: exige recalibrar ou corrigir o fator. * **Não: o erro de calibração do relógio não se elimina com mais ciclos..** A média reduz leituras independentes, não uma calibração errada. * **Sim: basta medir mais ciclos..** Mais ciclos não corrigem um erro sistemático. * **Sim: basta retirar a linha de base..** A linha de base corrige o desvio do sensor, não o relógio. Erros frequentes Tratar todo o erro como se diminuísse com o número de ciclos. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/medir-oscilacoes/#per%C3%ADodo-e-amplitude) Ler resíduos do ajuste Os logaritmos das amplitudes afastam-se da reta sempre para o mesmo lado nas extremidades. O que suspeitas? Pista Examina os resíduos, não só o declive. Mais uma pista Curvatura sistemática não é ruído aleatório. Solução Suspeita de linha de base errada ou amortecimento não linear. Revê a base, exclui picos junto ao ruído e compara a previsão de meia amplitude com os dados. * **Linha de base errada ou amortecimento não linear..** Um padrão sistemático indica modelo incompleto. * **Nada: só o declive interessa..** Os resíduos testam o modelo. * **Prova de que o modelo está correto..** A curvatura sistemática pede revisão do modelo. Erros frequentes Ajustar a reta sem olhar para os resíduos. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f1/medir-oscilacoes/#ajustar-o-decaimento)