# Condução elétrica Corrente, velocidade de deriva, resistividade, semicondutores, díodos e efeito Hall. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/conducao-eletrica/ A lâmpada acende rapidamente, mas os eletrões no fio têm uma velocidade média de deriva pequena. O campo eletromagnético estabelece-se ao longo do circuito; não é preciso um eletrão percorrer todo o fio para a energia chegar à lâmpada. ## Corrente e deriva A corrente convencional conta carga positiva por segundo, $I=dq/dt$. Num metal, os eletrões movem-se em média no sentido oposto. Para portadores com densidade numérica $n$, carga $q$ e velocidade de deriva $\vec v_d$, $\vec J=nq\vec v_d$. Num fio uniforme de secção $A$, $I=JA$ para a orientação escolhida. As velocidades microscópicas individuais variam; $\vec v_d$ é apenas a média que resta ao somar o movimento dos portadores. ## Lei de Ohm microscópica Num material óhmico, linear e isotrópico, $$ \vec J=\sigma\vec E,\qquad \rho=1/\sigma. $$ $\sigma$ é a condutividade, em $\mathrm{S/m}$; $\rho$ é a resistividade, em $\Omega\,\mathrm m$. Para um fio homogéneo de comprimento $\ell$ e secção constante $A$, $$ R=\rho\frac\ell A,\qquad u=RI. $$ Se o fio tiver secção variável, usa $R=\int\rho\,d\ell/A(\ell)$ nas condições de corrente aproximadamente unidimensional. Num fio com corrente estacionária, cargas superficiais distribuem-se para criar o campo que orienta a corrente. A condição $E=0$ só se aplica ao equilíbrio eletrostático. ### Exemplo: fio de cobre Tomamos $\rho=1{,}70\times10^{-8}\,\Omega\,\mathrm m$, $\ell=2{,}0\,\mathrm m$ e $A=0{,}50\,\mathrm{mm^2}=5{,}0\times10^{-7}\,\mathrm{m^2}$. Então $R=0{,}068\,\Omega$. Mantemos este fio e fazemos passar $I=2{,}0\,\mathrm A$. A corrente distribui-se uniformemente pela secção, logo $$ J=\frac IA=4{,}0\times10^6\,\mathrm{A/m^2},\qquad E=\rho J=0{,}068\,\mathrm{V/m}. $$ O campo aponta no sentido da corrente convencional. Ao percorrer o fio nesse sentido, o potencial diminui: a queda entre os extremos é $u=E\ell=0{,}136\,\mathrm V$. A potência dissipada pode verificar-se a duas escalas: | Cálculo | Resultado | | --- | --- | | Circuito: $I^2R$ | $0{,}272\,\mathrm W$ | | Local: $JE$ | $2{,}72\times10^5\,\mathrm{W/m^3}$ | | Local integrado: $(JE)(A\ell)$ | $0{,}272\,\mathrm W$ | A concordância mostra como a lei microscópica recupera o resultado do circuito. Com $n=8{,}5\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$ e portadores $-e$, o módulo da deriva é $J/(ne)=2{,}94\times10^{-4}\,\mathrm{m/s}$. Este cálculo distingue transporte de carga de propagação do sinal. ## Modelo de colisões No modelo de Drude, a aceleração elétrica entre colisões tem média que dá $\vec v_d=q\tau\vec E/m$, onde $\tau$ é o tempo médio de relaxação. Logo $\sigma=nq^2\tau/m$. Este modelo ajuda a relacionar deriva e condutividade, mas não descreve toda a física quântica de um metal. Em particular, não confundas $v_d\tau$ com a distância microscópica típica percorrida entre colisões: esta depende da velocidade microscópica, muito maior que a deriva. ## Condutores, isoladores e semicondutores A condução depende dos estados de energia acessíveis aos eletrões. Nos metais há estados disponíveis junto dos ocupados; num isolante, a separação para estados de condução é grande. Num semicondutor, temperatura e dopagem alteram a quantidade de portadores. Podem participar eletrões e lacunas, estas descritas como portadores positivos. A resistência de muitos metais cresce aproximadamente como $R(T)=R_0[1+\alpha(T-T_0)]$ num intervalo limitado. Semicondutores podem apresentar comportamento diferente. A lei de Ohm não se aplica automaticamente a todo o material ou a qualquer temperatura. Um supercondutor, abaixo de condições críticas de temperatura, campo e corrente, pode ter resistência contínua nula e expulsar campo magnético do seu interior no estado de Meissner. Não é apenas um metal com resistividade pequena; o comportamento magnético também muda. ## Díodos e fontes Um díodo semicondutor tem uma relação não linear entre corrente e tensão. Um modelo simplificado é $$ i_D=I_0\left(e^{u_D/u_0}-1\right). $$ A orientação direta favorece a corrente; a inversa limita-a até outros mecanismos, como a rotura, se tornarem relevantes. Uma queda fixa de $0{,}7\,\mathrm V$ é uma aproximação de certos díodos de silício, não uma lei universal. Num LED, a recombinação pode emitir luz; o material determina a energia e a cor dos fotões. Uma fonte de força eletromotriz fornece trabalho por carga através de processos químicos, mecânicos ou outros. A força eletromotriz $\mathcal E$ tem unidade volt, apesar do nome. Uma pilha real com resistência interna $r$ fornece tensão terminal $u=\mathcal E-rI$ quando entrega corrente. ### Díodo em série com uma resistência Liga uma fonte $x(t)$, uma resistência $R>0$ e um díodo em série, medindo $y(t)$ do ânodo para o cátodo. Kirchhoff e o modelo exponencial dão $$ x=y+RI_0(e^{y/u_0}-1),\qquad I_0,u_0>0. $$ A tensão no díodo fica definida por esta equação implícita: não é uma fração constante da tensão da fonte. Para uma fonte constante $x=1\,\mathrm V$, $R=1\,\mathrm{k\Omega}$, $I_0=1\,\mathrm{\mu A}$ e $u_0=0{,}10\,\mathrm V$, a solução é aproximadamente $y=0{,}5995\,\mathrm V$. A corrente é $(1-y)/1000\simeq0{,}4005\,\mathrm{mA}$. Somar a queda resistiva à tensão no díodo recupera a fonte. A função $g(y)=y+RI_0(e^{y/u_0}-1)$ é estritamente crescente, porque $g'(y)=1+(RI_0/u_0)e^{y/u_0}>0$. Neste modelo, cada tensão da fonte tem uma única tensão no díodo. Isso permite procurar a raiz numericamente, mas não torna o sistema linear. Duplicar a fonte para $2\,\mathrm V$ dá cerca de $0{,}7159\,\mathrm V$ no díodo, e não $2(0{,}5995)$. A lei exponencial não respeita homogeneidade. Neste modelo, a corrente inversa tende para $-I_0$. Se a aproximares por zero em polarização inversa, nesse ramo $y=x$, mas o ramo direto continua não linear. ### Emissão e modulação de luz nos ecrãs Num CRT, um feixe de eletrões varre um ecrã com fósforo e cada ponto emite luz quando é atingido. Num plasma, descargas em pequenas células excitam fósforos. Nos dois casos há emissão de luz nos pontos da imagem, mas o mecanismo de excitação é diferente. Num LCD, a tensão controla a transmissão de luz através de cristais líquidos e polarizadores. A luz vem de uma fonte por trás do painel. Para representar preto, o painel tenta bloquear essa luz; a qualidade do bloqueio e o controlo da retroiluminação limitam o resultado. Num ecrã emissivo de LED ou OLED, cada píxel produz luz por recombinação nos díodos e pode deixar de emitir localmente. Isso dispensa a modulação de uma fonte de luz comum. Um painel LCD com retroiluminação LED continua, porém, a ser LCD: a palavra LED pode identificar apenas a fonte de luz por trás. Antes de comparar dois ecrãs, identifica qual destes mecanismos forma a imagem. ## Efeito Hall Um campo magnético perpendicular à corrente desvia portadores. A acumulação lateral de carga cria um campo elétrico que pode equilibrar a força magnética: $\vec E_H=-\vec v_d\times\vec B$. Fixa a fita com corrente para $+x$, campo $B$ para $+z$ e contactos nas faces $+y$ e $-y$. Com eletrões, $\vec J=nq\vec v_d$ exige deriva para $-x$. Então $\vec v_d\times\vec B$ aponta para $+y$, mas a carga negativa inverte a força para $-y$. | Portador | Deriva | Força | Carga em −y | | --- | --- | --- | --- | | Eletrões | −x | −y | Negativa | | Lacunas | +x | −y | Positiva | A corrente e os contactos mantêm as referências. Trocar o sinal do portador inverte a deriva e a polaridade, mas a força inicial aponta para a mesma face. Os portadores acumulam-se na mesma face nos dois casos: ao trocar o sinal de $q$, a deriva também troca de sentido. O que inverte é a polaridade. Para os mesmos contactos, $V_{+y}-V_{-y}>0$ com eletrões e $V_{+y}-V_{-y}<0$ com lacunas. O campo de Hall aponta para $-y$ no primeiro caso e para $+y$ no segundo, como confirma $\vec E_H=-\vec v_d\times\vec B$. Para um único tipo de portador, corrente $I$, campo perpendicular $B$ e espessura $d$ na direção do campo, $$ |U_H|=\left|\frac{IB}{nqd}\right|. $$ A fórmula do módulo não determina a polaridade sem referências. O modelo também deixa de bastar quando vários tipos de portador contribuem significativamente para a condução. ## Exercícios Da geometria à dissipação num fio Um fio homogéneo e óhmico tem $\rho=1{,}7\times10^{-8}\,\Omega\,\mathrm m$, comprimento $1\,\mathrm m$ e secção $1\,\mathrm{mm^2}$. Transporta corrente uniforme de $2\,\mathrm A$. Calcula a resistência, a densidade de corrente, o campo e a queda de potencial. Verifica a potência total por $I^2R$ e por $JE$ vezes o volume. Pista Usa a mesma secção para corrente e volume. A potência por volume ainda não é a potência do fio. Solução A secção é $10^{-6}\,\mathrm{m^2}$, logo $R=\rho\ell/A=0{,}017\,\Omega$. A densidade de corrente é $J=I/A=2\times10^6\,\mathrm{A/m^2}$ e $E=\rho J=0{,}034\,\mathrm{V/m}$. A queda de potencial no sentido da corrente é $u=E\ell=0{,}034\,\mathrm V$, também igual a $RI$. Há campo no interior: o fio conduz corrente e não está em equilíbrio eletrostático. Nos terminais, $P=I^2R=0{,}068\,\mathrm W$. Localmente, $JE=68000\,\mathrm{W/m^3}$. O volume é $A\ell=10^{-6}\,\mathrm{m^3}$; multiplicar recupera $0{,}068\,\mathrm W$. Confere a tua resposta: * Converte a secção e obtém R = 0,017 Ω. * Obtém J = 2 × 10⁶ A/m², E = 0,034 V/m e queda 0,034 V. * Confirma potência 0,068 W localmente e nos terminais. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/conducao-eletrica/#lei-de-ohm-microsc%C3%B3pica) Desenhar o sentido de Hall antes da fórmula Uma fita conduz corrente para $+x$ com $B$ para $+z$ e contactos nas faces $+y$ e $-y$. Para o mesmo $J$ e o mesmo $B$, onde se acumulam eletrões e onde se acumulariam lacunas? O que revela a polaridade sobre o sinal dos portadores? Pista Fixa $\vec J=nq\vec v_d$ para obter o sentido da deriva em cada caso. Solução Eletrões têm deriva para $-x$: $\vec v_d\times\vec B$ aponta para $+y$ e $\vec F=-e\,\vec v_d\times\vec B$ aponta para $-y$, acumulando carga negativa na face $-y$. Lacunas têm deriva para $+x$: a força aponta também para $-y$, acumulando carga positiva na mesma face $-y$. A face $+y$ fica positiva com eletrões e negativa com lacunas, por isso $V_{+y}-V_{-y}$ troca de sinal com $q$. Confere a tua resposta: * Declara eixos: corrente +x, B +z, contactos em +y e -y. * Deriva a força para cada sinal de portador e nomeia a face -y. * Lê o sinal de q na polaridade entre os mesmos contactos. Erros frequentes Dizer que os portadores positivos se acumulam na face oposta ignora que a deriva também inverte; o que muda de lado é a polaridade, porque a carga acumulada na mesma face $-y$ tem sinal oposto. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/conducao-eletrica/#efeito-hall) A resistência limita a corrente do díodo Uma fonte constante $x$ alimenta uma resistência $R=1\,\mathrm{k\Omega}$ e um díodo em série. A saída $y$ é a tensão do ânodo para o cátodo. Usa $i_D=I_0(e^{y/u_0}-1)$, com $I_0=1\,\mathrm{\mu A}$ e $u_0=0{,}10\,\mathrm V$. Obtém a equação que define $y$. Mostra que a solução é única neste modelo. Para $x=1\,\mathrm V$, verifica que $y\simeq0{,}5995\,\mathrm V$ é uma aproximação e calcula a corrente. O valor $2y$ seria a saída para $x=2\,\mathrm V$? Pista A tensão da fonte reparte-se entre resistência e díodo. Testa a duplicação na equação completa. Solução Kirchhoff dá $x=Ri_D+y$, logo $x=y+0{,}001(e^{10y}-1)$, com tensões em volts. O segundo membro tem derivada $1+0{,}01e^{10y}>0$ e tende para $-\infty$ e $+\infty$ nos extremos: há uma única solução para cada $x$ real. Com $y=0{,}5995\,\mathrm V$, o segundo membro vale aproximadamente $0{,}9999\,\mathrm V$; a diferença resulta do arredondamento da aproximação. A corrente calculada pela resistência é $(1-0{,}5995)/1000=0{,}4005\,\mathrm{mA}$. Pela exponencial, dá aproximadamente $0{,}4004\,\mathrm{mA}$, compatível com esse arredondamento. Duplicar essa saída para $1{,}1990\,\mathrm V$ faria o segundo membro ultrapassar $160\,\mathrm V$, não dar $2\,\mathrm V$. Resolver a equação para a nova fonte dá cerca de $0{,}7159\,\mathrm V$. A transformação não respeita homogeneidade e portanto não é linear. Confere a tua resposta: * Obtém x = y + RI0 (exp(y/u0) − 1). * Mostra unicidade pela derivada positiva. * Verifica y ≈ 0,5995 V e corrente ≈ 0,4005 mA, e refuta homogeneidade. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/conducao-eletrica/#d%C3%ADodo-em-s%C3%A9rie-com-uma-resist%C3%AAncia)