# Exercícios MT1

Questões de testes antigos de Física II, com resolução.

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## Campo elétrico e fluxo

Campo de um fio infinito carregado

Teste 1, 2021/22

Um fio retilíneo, muito comprido, com carga linear de $6\ \mu\mathrm{C/m}$, encontra-se sobre o eixo dos $z$. Calcule o módulo do campo elétrico no ponto $P$ de coordenadas $(x,y,z)=(1,9,12)$ m.

Solução

$|\vec E|\approx 11{,}9\ \mathrm{kN/C}$.

Para um fio infinito, $E=\frac{2k\lambda}{r}$, com $r=\sqrt{1^2+9^2}=\sqrt{82}\approx 9{,}06$ m. Assim, $E=\frac{2\cdot 8{,}99\times10^9\cdot 6\times10^{-6}}{9{,}06}\approx 1{,}19\times10^4\ \mathrm{N/C}=11{,}9\ \mathrm{kN/C}$.

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Carga desconhecida com potencial nulo

Teste 1, 2021/22

Duas cargas pontuais estão sobre o eixo dos $x$: uma carga de $+2$ nC em $x=-2$ cm e outra de valor desconhecido em $x=1$ cm. Arbitrando potencial nulo no infinito e sabendo que o potencial é também nulo no ponto $x=-1$ cm, calcule o valor da segunda carga.

Solução

$q_2=-4\ \mathrm{nC}$.

O potencial no ponto $x=-1$ cm é $V=k\left(\frac{2\ \mathrm{nC}}{1\ \mathrm{cm}}+\frac{q_2}{2\ \mathrm{cm}}\right)=0$, logo $q_2=-4$ nC.

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Campo de duas cargas no eixo dos x

Teste 1, 2021/22

Uma carga de $4\ \mu\mathrm{C}$ está em $x=-1{,}0$ m e outra de $-2\ \mu\mathrm{C}$ na origem. Calcule o módulo do campo elétrico no ponto $x=1{,}0$ m do eixo dos $x$.

Solução

$|\vec E|=8{,}99\ \mathrm{mN/\mu C}=8{,}99\times10^3\ \mathrm{N/C}$.

A carga de $4\ \mu\mathrm{C}$ produz em $x=1$ m um campo de $\frac{k\cdot4\times10^{-6}}{2^2}=8{,}99\times10^3$ N/C no sentido $+x$; a carga de $-2\ \mu\mathrm{C}$ produz $\frac{k\cdot2\times10^{-6}}{1^2}=1{,}798\times10^4$ N/C no sentido $-x$. O módulo do campo resultante é $|1{,}798\times10^4-8{,}99\times10^3|=8{,}99\times10^3$ N/C.

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Campo de dois planos carregados

Teste 1, 2015/16

Existe carga distribuída uniformemente em todo o plano $xy$, com carga superficial de $3{,}5$ nC/m², e uniformemente em todo o plano $xz$, com carga superficial de $4$ nC/m². Determine o módulo do campo elétrico no ponto $(x,y,z)=(1,1,1)$ m.

Solução

$|\vec E|\approx 300\ \mathrm{N/C}$.

Um plano infinito com carga superficial $\sigma$ produz um campo de módulo $\sigma/(2\varepsilon_0)$, perpendicular ao plano. As componentes devidas aos dois planos são $E_z=3{,}5\times10^{-9}/(2\varepsilon_0)\approx 198$ N/C e $E_y=4\times10^{-9}/(2\varepsilon_0)\approx 226$ N/C. O módulo do campo resultante é $\sqrt{198^2+226^2}\approx 300$ N/C.

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Fluxo através de um quadrado num campo uniforme

Teste 1, 2021/22

Um quadrado com $1$ cm de lado encontra-se numa região onde existe um campo elétrico uniforme de módulo $6$ kN/C, numa direção que faz um ângulo de $60°$ com o plano do quadrado. Calcule o valor absoluto do fluxo elétrico através do quadrado.

Solução

$|\Phi|=0{,}3\ \mathrm{N\cdot m^2/C}$.

$\Phi=\vec E\cdot\vec A=EA\cos\theta=6\times10^3\cdot(10^{-2})^2\cdot\cos 60°=6\times10^3\cdot10^{-4}\cdot0{,}5=0{,}3\ \mathrm{N\cdot m^2/C}$.

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## Potencial e capacidade

Capacidade equivalente de uma associação mista

Teste 1, 2015/16

Calcule a capacidade equivalente entre os pontos $A$ e $B$, sabendo que $C_1=2$ nF e $C_2=4$ nF estão em paralelo, esse conjunto em série com $C_4=6$ nF, e $C_3=8$ nF em paralelo com todo esse ramo.

Solução

$C_{eq}=11{,}0\ \mathrm{nF}$.

Em paralelo, $C_{12}=C_1+C_2=6$ nF. Em série com $C_4$, $C_s=\frac{6\cdot6}{6+6}=3$ nF. Em paralelo com $C_3$, $C_{eq}=C_3+C_s=8+3=11$ nF.

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Carga armazenada num condensador plano

Teste 1, 2015/16

Num condensador, sem dielétrico, de placas paralelas quadradas com $15{,}0$ cm de lado, a distância entre as placas é $0{,}2$ mm. Se o condensador é carregado até uma diferença de potencial de $15$ V, determine a carga armazenada.

Solução

$Q\approx 14{,}9\ \mathrm{nC}$.

$C=\varepsilon_0\frac{A}{d}=8{,}854\times10^{-12}\cdot\frac{(0{,}15)^2}{2\times10^{-4}}\approx 0{,}996$ nF e $Q=CV\approx 0{,}996\times10^{-9}\cdot15\approx 14{,}9\times10^{-9}$ C.

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Diferença de potencial em condensadores em série

Teste 1, 2021/22

Dois condensadores com capacidades $5\ \mu\mathrm{F}$ e $10\ \mu\mathrm{F}$ são ligados em série a uma fonte de $30$ V. Calcule a diferença de potencial no condensador de $5\ \mu\mathrm{F}$.

Solução

$V_5=20\ \mathrm{V}$.

Em série, a carga é comum: $Q=C_{eq}V=\frac{5\cdot10}{5+10}\ \mu\mathrm{F}\cdot30\ \mathrm{V}=100\ \mu\mathrm{C}$. A ddp no condensador de $5\ \mu\mathrm{F}$ é $V_5=Q/C_5=100/5=20$ V.

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Rigidez dielétrica de um condensador

Teste 1, 2015/16

Um condensador plano, de placas paralelas com área de $9\times10^{-4}$ m² e capacidade de $3{,}5$ nF, está preenchido com um dielétrico de constante dielétrica $3{,}7$. Sabendo que a voltagem máxima que o condensador suporta é $200$ V, determine a rigidez dielétrica do dielétrico.

Solução

$E_{max}\approx 23{,}8\ \mathrm{MV/m}$.

De $C=\kappa\varepsilon_0 A/d$ vem $d=\frac{3{,}7\cdot8{,}854\times10^{-12}\cdot9\times10^{-4}}{3{,}5\times10^{-9}}\approx 8{,}4\times10^{-6}$ m. A rigidez dielétrica é $E_{max}=V_{max}/d=200/(8{,}4\times10^{-6})\approx 2{,}38\times10^7$ V/m $=23{,}8$ MV/m.

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Energia armazenada ao reduzir a carga

Teste 1, 2021/22

Num condensador isolado e carregado com carga $Q$, a energia eletrostática armazenada é $U$. Se $Q$ for diminuída até $Q/2$, a energia passa a ser:

Solução

$U'=U/4$.

A energia armazenada num condensador é $U=\frac{Q^2}{2C}$. Reduzindo a carga a metade, $U'=\frac{(Q/2)^2}{2C}=\frac{Q^2}{8C}=\frac{U}{4}$.

*   **$4U$.** A energia não aumenta ao reduzir a carga.
*   **$2U$.** Esquece que a energia depende do quadrado da carga.
*   **$U/2$.** Confunde a proporcionalidade com a quadrática.
*   **$U/4$.** $U=Q^2/(2C)$; com $Q/2$, $U'=(Q/2)^2/(2C)=U/4$.
*   **a mesma $U$.** A energia armazenada muda com a carga.

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## Circuitos resistivos

Potência dissipada ao triplicar a corrente

Teste 1, 2021/22

Quando a intensidade da corrente numa resistência é $I$, a potência dissipada é $P$. Que potência dissipa a mesma resistência quando a intensidade da corrente muda para $3I$?

Solução

$P'=9P$.

Pela lei de Joule, $P=RI^2$. Triplicando a corrente, $P'=R(3I)^2=9RI^2=9P$.

*   **$P$.** A potência não fica igual.
*   **$3P$.** A potência depende do quadrado da corrente.
*   **$P/3$.** A potência aumenta com a corrente.
*   **$9P$.** $P=RI^2$; com $3I$, $P'=R(3I)^2=9RI^2=9P$.
*   **$P/9$.** O fator é $3^2=9$, não $1/9$.

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Potência máxima de duas resistências em série

Teste 1, 2015/16

Duas resistências de $18{,}0$ kΩ e $22{,}5$ kΩ suportam, cada uma, potência máxima de $0{,}5$ W sem se queimar. Determine a potência máxima que o sistema dessas duas resistências suporta quando ligadas em série.

Solução

$P_{max}\approx 0{,}9\ \mathrm{W}$.

Em série a corrente é comum. O limite é o da resistência de $22{,}5$ kΩ: $I_{max}=\sqrt{0{,}5/22500}\approx 4{,}71$ mA (nesse limite a de $18$ kΩ dissipa apenas $0{,}4$ W). A potência total máxima é $P_{max}=I_{max}^2(18000+22500)\approx 0{,}9$ W.

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Corrente num ramo por divisor de corrente

Teste 1, 2015/16

No circuito, a resistência de $8$ kΩ está em série com o paralelo de $3$ kΩ e $5$ kΩ. Sabendo que a corrente através da resistência de $8$ kΩ é $4$ mA, calcule a corrente na resistência de $5$ kΩ.

Solução

$I_{5k}=1{,}5\ \mathrm{mA}$.

A corrente de $4$ mA que chega ao paralelo divide-se entre $3$ kΩ e $5$ kΩ. Pelo divisor de corrente, a resistência de $5$ kΩ recebe $I_{5k}=4\cdot\frac{3}{3+5}=1{,}5$ mA.

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Ddp numa resistência em regime permanente

Teste 1, 2015/16

Uma fonte de $12$ V alimenta a associação em que a resistência de $6$ kΩ está em paralelo com o ramo série de $4$ kΩ e $2$ kΩ. Um condensador de $3\ \mu\mathrm{F}$, inicialmente descarregado, está ligado em paralelo com a resistência de $4$ kΩ. Calcule a diferença de potencial na resistência de $4$ kΩ muito tempo depois de o interruptor ter sido fechado.

Solução

$V_{4k}=8\ \mathrm{V}$.

Muito tempo depois de fechar o interruptor, o condensador está totalmente carregado e não passa corrente por ele, mas a corrente continua a percorrer as resistências. A ddp no ramo série de $4$ kΩ e $2$ kΩ é $12$ V, pelo que $V_{4k}=12\cdot\frac{4}{4+2}=8$ V.

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## Condução elétrica

Carga transportada por uma corrente variável

Teste 1, 2015/16

Se a corrente num fio varia segundo $I=1+7t^4$, com $I$ em amperes e $t$ em segundos, calcule a carga, em coulombs, que atravessa a secção transversal do fio entre $t=3$ s e $t=5$ s.

Solução

$Q=4036{,}8\ \mathrm{C}$.

$Q=\int_3^5 I\,dt=\int_3^5(1+7t^4)\,dt=\left[t+\frac{7t^5}{5}\right]_3^5=\left(5+\frac{7\cdot3125}{5}\right)-\left(3+\frac{7\cdot243}{5}\right)=4380-343{,}2=4036{,}8$ C.

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Grandeza medida em A·V·h

Teste 1, 2021/22

As unidades A·V·h (ampere vezes volt vezes hora) podem ser usadas para medir:

Solução

Energia.

O produto $\mathrm{A\cdot V}$ é potência (watt). Multiplicando pelo tempo em horas obtém-se energia: $1\ \mathrm{W\cdot h}=3600\ \mathrm{J}$.

*   **Potência.** A·V é potência, mas A·V·h já inclui o tempo.
*   **Corrente.** A corrente mede-se em amperes.
*   **Voltagem.** A voltagem mede-se em volts.
*   **Energia.** A·V = W e W·h é energia: 1 W·h = 3600 J.
*   **Carga.** A carga mede-se em coulombs (A·s).

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