# Exercícios MT2 Questões de testes antigos de Física II, com resolução. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/exercicios-mt2/ ## Carga e campo elétrico Carga total dentro de uma esfera equipotencial Teste 2, 2015/16 A esfera $E_1$ de equação $x^2+y^2+z^2=9$ é superfície equipotencial de potencial $V_1$ e a esfera $E_2$ de equação $x^2+y^2+z^2=16$ é superfície equipotencial de potencial $V_2$, com $V_1>V_2$. Entre as duas esferas não existe carga. Qual das seguintes afirmações é sempre verdadeira? Solução A carga total dentro de $E_1$ é positiva. Entre as esferas, $\vec E=-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r\,\hat r$ aponta no sentido de $-\hat r$ (para fora), porque o potencial decresce de $V_1$ para $V_2$. Assim, o fluxo de $\vec E$ através de $E_1$ é positivo e, pela lei de Gauss, $Q_{\mathrm{int}}=\varepsilon_0\Phi_E>0$. O sinal do campo entre equipotenciais esféricas fica determinado pela derivada do potencial: como $V$ decresce com $r$, $\vec E$ é radial para fora e a carga interior tem de ser positiva. * **A carga total dentro da esfera $E_1$ é negativa..** O potencial decresce para fora, logo o campo aponta para fora e o fluxo é positivo. * **A esfera $E_1$ é uma esfera condutora..** As equipotenciais esféricas não implicam que a superfície seja condutora. * **Existe uma carga pontual na origem..** A carga pode estar distribuída; só se conhece o fluxo total. * **A carga total dentro da esfera $E_1$ é positiva..** Como $V_1>V_2$, o campo entre as esferas aponta para fora, logo o fluxo através de $E_1$ é positivo e, pela lei de Gauss, a carga interior é positiva. * **A carga total dentro da esfera $E_1$ é nula..** Se a carga fosse nula, o potencial seria constante entre as esferas. Velocidade de um feixe de eletrões não desviado Teste 2, 2015/16 Um feixe de eletrões atravessa uma região onde existem campos elétrico e magnético uniformes e perpendiculares entre si. O módulo do campo elétrico é $3{,}4\times10^4\ \mathrm{V/m}$ e o do campo magnético é $20\ \mathrm{G}$. Calcule o módulo da velocidade dos eletrões, sabendo que o feixe não é desviado pelos campos. Solução $v=1{,}7\times10^7\ \mathrm{m/s}$. Para o feixe não ser desviado, a força elétrica e a força magnética têm de se anular: $eE=evB$, logo $v=E/B$. Com $B=20\ \mathrm{G}=2{,}0\times10^{-3}\ \mathrm{T}$, obtém-se $v=3{,}4\times10^4/(2{,}0\times10^{-3})=1{,}7\times10^7\ \mathrm{m/s}$. ## Potencial e capacidade Potencial entre duas esferas condutoras concêntricas Teste 2, 2015/16 Duas superfícies esféricas condutoras e concêntricas têm raios de $5\ \mathrm{cm}$ e $7\ \mathrm{cm}$. A superfície menor tem carga total de $6\ \mathrm{nC}$ e a superfície maior tem carga total de $3\ \mathrm{nC}$. Calcule o potencial num ponto a $6\ \mathrm{cm}$ do centro, arbitrando potencial nulo no infinito. Solução $V\approx1286\ \mathrm{V}$ (cerca de $1285\ \mathrm{V}$ com $k=8{,}99\times10^9$). O ponto a $6\ \mathrm{cm}$ está dentro da esfera exterior, logo esta contribui com o potencial na sua superfície: $k\cdot3\ \mathrm{nC}/0{,}07\ \mathrm{m}$. A esfera interior contribui com $k\cdot6\ \mathrm{nC}/0{,}06\ \mathrm{m}$. Com $k=9\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$: $V=9\times10^9(6\times10^{-9}/0{,}06+3\times10^{-9}/0{,}07)=900+386=1286\ \mathrm{V}$. Carga pontual a partir do potencial num ponto Teste 2, 2015/16 Uma carga pontual no ponto $(x,y,z)=(4,5,3)$ (distâncias em cm) produz um potencial de $6\ \mathrm{kV}$ no ponto $(x,y,z)=(3,7,4)$, arbitrando potencial nulo no infinito. Calcule o valor da carga, em nC. Solução $q\approx16{,}33\ \mathrm{nC}$. A distância entre os pontos é $r=\sqrt{(4-3)^2+(5-7)^2+(3-4)^2}=\sqrt6\ \mathrm{cm}\approx2{,}449\ \mathrm{cm}$. De $V=kq/r$ vem $q=Vr/k=(6000\times0{,}02449)/(8{,}99\times10^9)\approx1{,}633\times10^{-8}\ \mathrm{C}=16{,}33\ \mathrm{nC}$. Diferença de potencial num campo elétrico não uniforme Teste 2, 2015/16 Numa região do espaço, o campo elétrico é $\vec E=6x^2\,\hat\imath$ (unidades SI). Calcule a diferença de potencial $V(2)-V(1)$ entre os pontos $x=2\ \mathrm{m}$ e $x=1\ \mathrm{m}$ sobre o eixo dos $x$. Solução $V(2)-V(1)=-14\ \mathrm{V}$. $V(b)-V(a)=-\int_a^b\vec E\cdot\mathrm{d}\vec r=-\int_1^2 6x^2\,\mathrm{d}x=-[2x^3]_1^2=-(16-2)=-14\ \mathrm{V}$. ## Magnetismo e indução Binário magnético numa espira triangular Teste 2, 2015/16 O campo magnético numa região do espaço é $\vec B=2\,\hat\imath+3\,\hat\jmath+5\,\hat k$ (unidades SI). Determine o módulo do binário magnético numa espira triangular com vértices na origem, em $(3{,}2,0,0)$ e em $(0,4{,}8,0)$ (unidades SI), percorrida por uma corrente de $1\ \mathrm{A}$. Solução $|\vec\tau|\approx27{,}7\ \mathrm{N\cdot m}$. A área do triângulo é $A=\frac12\cdot3{,}2\cdot4{,}8=7{,}68\ \mathrm{m^2}$, com normal $\hat k$. O momento magnético é $\vec m=IA\,\hat k=7{,}68\,\hat k\ \mathrm{A\cdot m^2}$. O binário é $\vec\tau=\vec m\times\vec B=7{,}68\,\hat k\times(2\hat\imath+3\hat\jmath+5\hat k)=7{,}68(2\hat\jmath-3\hat\imath)$, cujo módulo é $7{,}68\sqrt{2^2+3^2}=7{,}68\sqrt{13}\approx27{,}7\ \mathrm{N\cdot m}$. Fluxo magnético através de uma bobina Teste 2, 2015/16 Uma bobina com $200$ espiras quadradas de aresta $6\ \mathrm{cm}$ encontra-se numa região com campo magnético uniforme de módulo $0{,}15\ \mathrm{T}$, perpendicular ao plano das espiras. Calcule o fluxo magnético através da bobina. Solução $\Phi_B=0{,}108\ \mathrm{T\cdot m^2}=108\ \mathrm{mT\cdot m^2}$. $\Phi_B= NBA\cos\theta=200\times0{,}15\times(0{,}06)^2\times1=200\times0{,}15\times0{,}0036=0{,}108\ \mathrm{Wb}$. Força eletromotriz média induzida numa bobina Teste 2, 2015/16 Uma bobina de indutância $4{,}2\ \mathrm{mH}$ é ligada a uma fonte ideal de $1{,}5\ \mathrm{V}$. Após $4{,}5\ \mathrm{s}$, a corrente na bobina é $2{,}8\ \mathrm{mA}$. Calcule o valor absoluto da força eletromotriz média induzida na bobina durante esse intervalo. Solução $|\varepsilon_{\mathrm{m\acute edia}}|\approx2{,}61\ \mathrm{\mu V}$. Pela lei de Faraday, $|\varepsilon|=L\,\dfrac{\Delta I}{\Delta t}=4{,}2\times10^{-3}\times\dfrac{2{,}8\times10^{-3}}{4{,}5}=2{,}61\times10^{-6}\ \mathrm{V}=2{,}61\ \mathrm{\mu V}$. A f.e.m. da fonte não entra no cálculo da f.e.m. induzida. Campo elétrico induzido num referencial em movimento Teste 2, 2015/16 O campo magnético produzido por um fio retilíneo com corrente $I$ é $\vec B=-\dfrac{2k_mIx}{z^2+x^2}\,\hat k+\dfrac{2k_mIz}{z^2+x^2}\,\hat\imath$, em que $k_m=\mu_0/(4\pi)$. Calcule o campo elétrico induzido num referencial que se desloca com velocidade $\vec v=v\,\hat\imath$ em relação ao fio. Solução $\vec E'=\vec v\times\vec B=\dfrac{2k_mIvx}{z^2+x^2}\,\hat\jmath$. No referencial do fio não há campo elétrico, logo no referencial que se desloca com $\vec v$ o campo elétrico é $\vec E'=\vec v\times\vec B$. Como $\hat\imath\times\hat k=-\hat\jmath$ e $\hat\imath\times\hat\imath=0$, apenas a componente $B_z$ contribui: $\vec E'=v\hat\imath\times\left(-\dfrac{2k_mIx}{z^2+x^2}\hat k\right)=\dfrac{2k_mIvx}{z^2+x^2}\hat\jmath$. Confere a tua resposta: * A resposta usa a transformação $\vec E'=\vec v\times\vec B$ num referencial em movimento. * A resposta indica $\vec E'=\dfrac{2k_mIvx}{z^2+x^2}\,\hat\jmath$. Propriedade dos pontos de equilíbrio de um campo magnético Teste 2, 2015/16 Qual das seguintes afirmações sobre um campo magnético é verdadeira? Solução Os pontos de equilíbrio de um campo magnético podem ser centros. Como $\nabla\cdot\vec B=0$, as linhas de campo magnético não podem começar nem acabar num ponto: não pode haver focos nem atrativos. Podem, no entanto, anular-se num ponto rodeado por linhas fechadas, ou seja, um centro. * **É um campo conservativo..** Em geral $\nabla\times\vec B\neq0$ onde há corrente, logo não é conservativo. * **Os seus pontos de equilíbrio podem ser centros..** Um ponto onde $\vec B=0$ pode ser um centro, com linhas de campo fechadas à sua volta; isto não acontece com o campo elétrico em regiões sem carga. * **Pode ter pontos de equilíbrio atrativos..** Um ponto de equilíbrio atrativo implicaria convergência das linhas de campo, impossível porque $\nabla\cdot\vec B=0$. * **As suas linhas de campo são sempre curvas; nunca podem ser retas..** Perto de um fio retilíneo longo, por exemplo, as linhas de campo são circunferências, mas noutras geometrias podem ser retas. * **Os seus pontos de equilíbrio podem ser focos..** Um foco implicaria divergência das linhas de campo, excluída por $\nabla\cdot\vec B=0$. Direção da força magnética sobre uma carga negativa Teste 2, 2015/16 Uma partícula com carga negativa desloca-se no sentido positivo do eixo dos $x$, numa região onde o campo elétrico é nulo e existe um campo magnético uniforme no sentido negativo do eixo dos $y$. Em que direção e sentido aponta a força magnética sobre a partícula? Solução A força aponta no sentido positivo do eixo dos $z$. $\vec v=v\hat\imath$ e $\vec B=-B\hat\jmath$, logo $\vec v\times\vec B=v\hat\imath\times(-B\hat\jmath)=-vB\hat k$. Como a carga é negativa, $\vec F=q(\vec v\times\vec B)=(-|q|)(-vB\hat k)=|q|vB\hat k$, ou seja, no sentido positivo de $z$. * **Sentido positivo do eixo dos z..** Com $q<0$, $\vec F=q\vec v\times\vec B$ inverte o sentido de $\vec v\times\vec B$. * **Sentido negativo do eixo dos x..** A força magnética é sempre perpendicular à velocidade. * **Sentido positivo do eixo dos x..** A força magnética é sempre perpendicular à velocidade. * **Sentido negativo do eixo dos z..** O sinal da carga inverte o resultado de $\vec v\times\vec B$. * **Sentido negativo do eixo dos y..** A força magnética é perpendicular ao campo magnético. ## Circuitos reativos Corrente num circuito RC durante o transitório Teste 2, 2015/16 A tensão da fonte num circuito série RC é $V_e=400e^{-2t}$ (unidades SI) em $t>0$ e nula em $t\le0$, e a capacidade do condensador é $C=2\ \mu\mathrm{F}$. O condensador encontrava-se descarregado em $t=0$. Determine a expressão da corrente no circuito em $t>0$ (unidades SI). Solução $i(t)=C\dfrac{\mathrm{d}V_e}{\mathrm{d}t}=2\times10^{-6}\times(-800e^{-2t})=-1{,}6\times10^{-3}e^{-2t}\ \mathrm{A}$. Num condensador, a corrente é $i=C\,\mathrm{d}V/\mathrm{d}t$. Derivando a tensão da fonte, $\mathrm{d}V_e/\mathrm{d}t=-800e^{-2t}$, logo $i=-1{,}6\times10^{-3}e^{-2t}\ \mathrm{A}$. O sinal negativo indica que a corrente descarrega o condensador no sentido oposto ao de carga. Confere a tua resposta: * A resposta usa $i=C\,\mathrm{d}V_e/\mathrm{d}t$. * A resposta indica $i(t)=-1{,}6\times10^{-3}e^{-2t}\ \mathrm{A}$ (módulo $0{,}0016e^{-2t}$ A no sentido de descarga). Tensão no indutor em regime permanente Teste 2, 2015/16 Um indutor de $3{,}6\ \mathrm{H}$ e uma resistência de $2{,}0\ \mathrm{k\Omega}$ ligam-se em série a uma fonte ideal com f.e.m. de $6\ \mathrm{V}$. Calcule a diferença de potencial no indutor no instante final, após a fonte ter estado ligada muito tempo. Solução $V_L=0\ \mathrm{V}$. Em regime permanente, a corrente é constante ($I=6\ \mathrm{V}/2{,}0\ \mathrm{k\Omega}=3\ \mathrm{mA}$) e a tensão no indutor é $V_L=L\,\mathrm{d}I/\mathrm{d}t=0$. Toda a tensão da fonte fica na resistência.