# Séries e transformada de Fourier

Harmónicos, coeficientes complexos, transformada contínua e propriedades do espectro.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/fourier/

Para prever o que um filtro conserva, descrevemos o sinal por frequências. Um sinal periódico tem harmónicos separados pela frequência fundamental. Um sinal aperiódico pode precisar de um contínuo de frequências.

## Série complexa de Fourier

Para período fundamental $T_0$ e $\omega_0=2\pi/T_0$,

$$
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jk\omega_0t}, \qquad a_k=\frac1{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt.
$$

Integra qualquer período completo. $a_0$ é o valor médio. Para sinais reais, $a_{-k}=a_k^*$. Sob condições usuais de regularidade, a série converge para o sinal nos pontos contínuos e para a média dos limites laterais nos saltos. Não promete reproduzir o valor escolhido arbitrariamente no ponto de descontinuidade.

Por Euler, $A\cos(\omega_0t+\phi)$ tem $a_1=(A/2)e^{j\phi}$, $a_{-1}=(A/2)e^{-j\phi}$ e restantes zero. A amplitude $A$ divide-se entre frequências positiva e negativa. Não confundas esses coeficientes com o fasor de pico $Ae^{j\phi}$.

## Simetria e harmónicos

Para um sinal real e par, os coeficientes são reais e a forma trigonométrica só tem cossenos. Para um sinal real e ímpar, aparecem senos. Se $x(t+T_0/2)=-x(t)$, não há componente contínua nem harmónicos pares.

### Exemplo: onda quadrada

Uma onda de amplitude $\pm A$ é positiva em $0<t<T_0/2$ e negativa em $-T_0/2<t<0$. É ímpar e tem simetria de meia onda. Assim, $a_0=0$ e os harmónicos pares desaparecem.

Para obter os coeficientes dos senos, somamos as duas metades do período. Como $x(t)$ e $\sin(k\omega_0t)$ são ímpares, o produto é par:

$$
b_k=\frac{4A}{T_0}\int_0^{T_0/2}\sin(k\omega_0t)dt =\frac{2A}{k\pi}[1-(-1)^k].
$$

Para $k$ par, o resultado é zero. Para $k$ ímpar positivo, $b_k=4A/(k\pi)$. Pela identidade de Euler, $a_k=b_k/(2j)=2A/(jk\pi)$, e $a_{-k}=a_k^*$. A série fica

$$
x(t)=\frac{4A}{\pi}\left[ \sin(\omega_0t)+\frac13\sin(3\omega_0t)+\frac15\sin(5\omega_0t)+\cdots\right].
$$

O primeiro harmónico tem amplitude $4A/\pi$, maior que $A$. Os restantes corrigem a forma; não se somam todos como valores máximos simultâneos.

A soma truncada oscila junto dos saltos. Ao acrescentar termos, a região dessas oscilações estreita, mas a ultrapassagem de Gibbs não desaparece em amplitude relativa.

A demo usa $A=1$ num período normalizado. Compara uma soma de um termo com uma de quinze: a zona de oscilação junto do salto fica mais estreita, mas o máximo ainda ultrapassa $1$. O controlo conta termos ímpares; três termos correspondem aos harmónicos $1$, $3$ e $5$.

Parseval dá $P_x=\sum_k|a_k|^2$ para um sinal periódico com a convenção acima. Na onda quadrada, $P_x=A^2$, consistente com $|x|^2=A^2$ quase em todo o período.

## Transformada contínua

Fixamos a convenção angular

$$
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt, \qquad x(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega.
$$

O fator $1/(2\pi)$ pertence à inversa. Se mudares para frequência em hertz, mudam os fatores no exponencial. Para $x$ absolutamente integrável, a integral direta está definida; sinais de energia finita admitem a transformada no sentido de quadrado integrável. Sinais periódicos e impulsos exigem distribuições.

Para $x(t)=Ae^{-at}u(t)$, $a>0$,

$$
X(\omega)=A\int_0^\infty e^{-(a+j\omega)t}dt =\frac A{a+j\omega}.
$$

Para um pulso retangular de altura $A$, centrado em zero e duração $T$,

$$
X(\omega)=AT\,\operatorname{sinc}(\omega T/2), \qquad\operatorname{sinc}(z)=\frac{\sin z}{z},\quad\operatorname{sinc}(0)=1.
$$

Em $\omega=0$, a transformada vale $AT$, a área do pulso. Para $\omega\ne0$, o integral que produz a sinc é

$$
A\int_{-T/2}^{T/2}e^{-j\omega t}dt =\frac A{-j\omega}(e^{-j\omega T/2}-e^{j\omega T/2}) =\frac{2A}{\omega}\sin(\omega T/2).
$$

Os primeiros zeros ocorrem em $\omega=\pm2\pi/T$. Encurtar o pulso alarga o espectro. Esta definição de sinc usa radianos no argumento; outras convenções incluem $\pi$.

## Propriedades úteis

Com as integrais definidas, ou na interpretação apropriada de distribuições:

*   Linearidade: $ax_1+bx_2$ transforma-se em $aX_1+bX_2$.
*   Atraso: $x(t-t_0)$ transforma-se em $e^{-j\omega t_0}X(\omega)$. Altera fase, não módulo.
*   Escala: $x(at)$ transforma-se em $X(\omega/a)/|a|$ para $a\ne0$.
*   Derivada: $x'(t)$ transforma-se em $j\omega X(\omega)$, com as condições de fronteira adequadas.
*   Convolução: $x*h$ transforma-se em $XH$, um produto.
*   Produto temporal: $xh$ transforma-se em $(X*H)/(2\pi)$, uma convolução em frequência.

Para sinais reais, $X(-\omega)=X(\omega)^*$, logo o módulo é par. A energia satisfaz $E_x=(1/2\pi)\int|X(\omega)|^2d\omega$. A representação espectral não cria nem elimina energia; muda a forma de a calcular.

Um impulso tem transformada um. Uma constante unitária tem transformada $2\pi\delta(\omega)$. Uma sinusoide de frequência $\omega_0$ tem impulsos em $\pm\omega_0$, não um espectro contínuo ordinário.

## Exercícios

Coeficientes, fasor e potência de um sinal periódico

O sinal é $x(t)=2+6\cos(\omega_0t+\pi/3)\,\mathrm V$, com $\omega_0>0$.

Determina todos os coeficientes não nulos da série complexa de Fourier. Escreve também o fasor de pico da componente sinusoidal e calcula a potência média do sinal por dois métodos.

Pista

Começa por Euler e mantém a componente contínua ao elevar o sinal ao quadrado.

Solução

Euler separa o cosseno em duas frequências:

$$
x(t)=2+3e^{j\pi/3}e^{j\omega_0t}+3e^{-j\pi/3}e^{-j\omega_0t}.
$$

Assim, $a_0=2\,\mathrm V$, $a_1=3e^{j\pi/3}\,\mathrm V$ e $a_{-1}=3e^{-j\pi/3}\,\mathrm V$; os restantes são zero. O fasor de pico da componente sinusoidal é $6e^{j\pi/3}\,\mathrm V$, duas vezes $a_1$.

No tempo, $x^2=4+24\cos(\omega_0t+\pi/3)+36\cos^2(\omega_0t+\pi/3)$. As médias do cosseno e do seu quadrado são $0$ e $1/2$, logo $P_x=4+18=22\,\mathrm{V^2}$.

Parseval confirma $\sum_k|a_k|^2=2^2+3^2+3^2=22\,\mathrm{V^2}$. Para potência elétrica numa resistência de $R$ ohms, divide por $R$.

Confere a tua resposta:

*   Obtém a0 = 2 e a±1 = 3 exp(±jπ/3).
*   Distingue fasor de pico 6 exp(jπ/3) do coeficiente a1.
*   Verifica potência 22 V² no tempo e por Parseval.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/fourier/#s%C3%A9rie-complexa-de-fourier)

Espectro de um pulso deslocado

Um pulso de altura $2\,\mathrm V$ e duração $2\,\mathrm{ms}$ está centrado em $t=3\,\mathrm{ms}$. Usa $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ e $\operatorname{sinc}(z)=\sin(z)/z$.

Obtém a transformada a partir da do pulso centrado em zero. O atraso muda a posição do primeiro zero positivo do espectro?

Pista

Identifica separadamente a duração do pulso e o instante do seu centro.

Solução

O pulso centrado em zero tem $X_0(\omega)=AT\operatorname{sinc}(\omega T/2)=0{,}004\operatorname{sinc}(0{,}001\omega)$, em $\mathrm{V\,s}$. O pulso pedido é $x(t)=x_0(t-0{,}003)$, logo

$$
X(\omega)=0{,}004\operatorname{sinc}(0{,}001\omega)e^{-j0{,}003\omega}.
$$

O fator exponencial tem módulo um. Acrescenta fase $-0{,}003\omega$ onde $X_0\ne0$, mas mantém o módulo e os zeros. O primeiro zero continua em $\omega=1000\pi\,\mathrm{rad/s}$, ou $f=500\,\mathrm{Hz}$. O sinal mudou de posição no tempo, não de duração.

Confere a tua resposta:

*   Obtém 0,004 sinc(0,001ω) exp(−j0,003ω).
*   Mantém os zeros, com primeiro zero em 500 Hz.
*   Explica o atraso pela fase adicional.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/fourier/#propriedades-%C3%BAteis)

Primeiro harmónico da onda quadrada

Uma onda quadrada $\pm1$ de período $T_0$ é positiva em $0<t<T_0/2$ e negativa em $-T_0/2<t<0$. Integra $a_k$ num período para obter a amplitude do primeiro seno e indica esse valor com quatro casas decimais.

Pista

A simetria de meia onda anula pares e contínuo.

Solução

A simetria ímpar elimina cossenos. Para $\omega_0=2\pi/T_0$, o coeficiente do primeiro seno é

$$
b_1=\frac4{T_0}\int_0^{T_0/2}\sin(\omega_0t)dt =\frac4{T_0}\frac{1-\cos\pi}{\omega_0}=\frac4\pi.
$$

Por Euler, $a_1=b_1/(2j)=2/(j\pi)$ e a amplitude do seno é $2|a_1|=4/\pi\simeq1{,}2732$. É maior que $1$: os restantes harmónicos corrigem a forma e não atingem todos o máximo no mesmo instante.

Erros frequentes

Esperar que o primeiro harmónico seja menor que a amplitude confunde soma de máximos com soma de formas.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/fourier/#simetria-e-harm%C3%B3nicos)