# Medições e incertezas Multímetro, placa de protótipos, tolerâncias, propagação de incertezas e ajuste de dados. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/laboratorio/ Uma leitura do multímetro é uma estimativa. Para comparar com o modelo, precisamos de saber o circuito realmente montado, o efeito do instrumento e a incerteza da medição. ## Montar e medir Antes de alimentar uma placa de protótipos, identifica os contactos ligados internamente. Em placas comuns, cada grupo de cinco furos da mesma linha está ligado; a ranhura central separa os lados. Os carris de alimentação podem estar interrompidos a meio. Confirma continuidade com o circuito desligado, em vez de assumir que toda uma linha é um único nó. O voltímetro liga-se em paralelo. A sua resistência de entrada elevada reduz, mas não elimina, o efeito sobre o circuito. O amperímetro liga-se em série e tem resistência pequena. Ligá-lo em paralelo com uma fonte pode provocar um curto. Para medir resistência, desliga a alimentação, descarrega condensadores e isola a resistência quando outros caminhos alteram a leitura. Escolhe a grandeza, DC ou AC, os terminais de prova e uma escala adequada antes de ligar. Começa pela escala maior se desconheces o valor. Consulta os limites e a proteção de cada terminal no instrumento utilizado. Estes ensaios destinam-se a fontes de baixa tensão de laboratório; não experimentes ligações à rede elétrica. Para relacionar uma montagem na placa de protótipos com os nós e caminhos do esquema, podes consultar este vídeo sobre componentes e topologia de circuitos. As instruções de medição e segurança mantêm-se no texto acima. [Vídeo: Componentes e topologia de Circuitos](https://www.youtube.com/watch?v=Yg52Xhiwqo8) [Abrir no YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=Yg52Xhiwqo8) ### Exemplo: efeito do voltímetro Um divisor de $1\,\mathrm{M\Omega}+1\,\mathrm{M\Omega}$ alimentado a $10\,\mathrm V$ daria $5\,\mathrm V$ sem carga. Um voltímetro de $10\,\mathrm{M\Omega}$ em paralelo com o resistor inferior dá $R_2'=1\parallel10=10/11\,\mathrm{M\Omega}$. A leitura prevista é $$ u=10\frac{10/11}{1+10/11}=\frac{100}{21}=4{,}762\,\mathrm V. $$ O desvio de cerca de $4{,}8\%$ é efeito de carga, não necessariamente um instrumento avariado. ## Código de cores e tolerância Numa resistência de quatro bandas, as duas primeiras são dígitos, a terceira é o multiplicador $10^m$ e a quarta indica tolerância. Os dígitos preto, castanho, vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, violeta, cinzento e branco correspondem a $0$ até $9$. Dourado e prateado dão multiplicadores $10^{-1}$ e $10^{-2}$, ou tolerâncias de $5\%$ e $10\%$ quando são a última banda. Por exemplo, vermelho, violeta, castanho, dourado significa $27\times10^1=270\,\Omega$, com tolerância $5\%$, ou intervalo nominal de $256{,}5$ a $283{,}5\,\Omega$. Em cinco bandas, usam-se três dígitos antes do multiplicador. Tolerância de fabrico não é automaticamente uma incerteza padrão: se modelares o intervalo como uniforme com semilargura $a$, a incerteza padrão é $a/\sqrt3$. ## Média, dispersão e incerteza Para $n$ observações $x_i$, a média e o desvio padrão amostral são $$ \bar x=\frac1n\sum_i x_i,\qquad s=\sqrt{\frac{\sum_i(x_i-\bar x)^2}{n-1}}. $$ $s$ estima a dispersão de uma observação. Para observações independentes do mesmo valor, a incerteza padrão da média é $u_A(\bar x)=s/\sqrt n$. Não substituas uma pela outra sem dizer o que estás a apresentar. Incertezas de tipo A são avaliadas por observações estatísticas; as de tipo B usam outras informações, como calibração, resolução e especificações. A resolução não é toda a incerteza do aparelho. Para uma especificação de multímetro do tipo $\pm(a\%\text{ leitura}+n\text{ dígitos})$, calcula $a\%\times\text{leitura}$ e soma $n$ vezes a resolução da escala usada. Por exemplo, $3{,}300\,\mathrm V$ numa escala de $4\,\mathrm V$ com $\pm(0{,}5\%+2\text{ dígitos})$ e resolução $1\,\mathrm{mV}$ dá $0{,}0165+0{,}002=0{,}0185\,\mathrm V$. Distingue este intervalo de especificação da dispersão das tuas leituras. Uma diferença face ao valor de referência é um erro de medição. Um efeito sistemático pode deslocar todas as leituras e não desaparecer ao repetir. Pequena dispersão não prova exatidão. Uma incerteza padrão não garante que o valor está dentro de um intervalo; com modelo normal, o intervalo de uma incerteza padrão tem cobertura aproximada de $68\%$. ## Propagação de incertezas Para $y=f(x_1,\ldots,x_n)$, incertezas pequenas e entradas não correlacionadas, $$ u(y)^2=\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2u(x_i)^2. $$ Com correlação, acrescentam-se os termos de covariância. Derivadas trigonométricas usam ângulos em radianos. Para $P=RI^2$, as derivadas são $I^2$ e $2RI$, logo $$ \frac{u(P)}P=\sqrt{\left(\frac{u(R)}R\right)^2+ 4\left(\frac{u(I)}I\right)^2}. $$ Se $R=(100\pm1)\,\Omega$ e $I=(0{,}0200\pm0{,}0002)\,\mathrm A$, com incertezas padrão independentes, $P=0{,}0400\,\mathrm W$ e $u(P)/P=\sqrt{0{,}01^2+0{,}02^2}=0{,}0224$. Apresentamos $P=(40{,}0\pm0{,}9)\,\mathrm{mW}$, indicando que a incerteza é padrão. Reduzir a incerteza relativa da corrente pode ser mais útil, porque entra multiplicada por dois. ### Repartir o esforço de medição Para $P=RI^2$, compara **incertezas relativas**, não números absolutos em ohms e amperes, porque as unidades não se comparam. Se podes obter incertezas relativas de $1\%$ e $2\%$, há duas escolhas: | $u(R)/R$ | $u(I)/I$ | $u(P)/P$ | | --- | --- | --- | | $1\%$ | $2\%$ | $\sqrt{1^2+4(2^2)}\%=4{,}12\%$ | | $2\%$ | $1\%$ | $\sqrt{2^2+4(1^2)}\%=2{,}83\%$ | Neste cenário, vale mais atribuir a melhor precisão relativa à corrente. O expoente dois duplica a sua sensibilidade relativa. A escolha não elimina a contribuição da resistência e depende de os custos permitirem precisamente esta troca. Comparar $u(R)$ e $u(I)$ diretamente nem sequer compara grandezas com a mesma unidade. ## Ajustar uma reta Para $y=ax+b$, mínimos quadrados ordinários minimizam a soma dos quadrados dos resíduos verticais. O modelo estatístico simples assume incerteza em $x$ desprezável, dispersão de $y$ igual entre pontos e resíduos independentes. Se as incertezas em $y$ diferirem, considera pesos; se as de $x$ forem relevantes, o ajuste ordinário pode ser inadequado. As fórmulas sem pesos são $$ a=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2}, \qquad b=\bar y-a\bar x. $$ Medimos quatro pares de corrente e tensão. Ajustamos $U=RI+b$: o declive tem unidade $\mathrm{V/A}=\Omega$ e a ordenada $b$ mede-se em volts. | $I$ (mA) | $U$ (V) | Resíduo (V) | | --- | --- | --- | | $10$ | $1{,}020$ | $+0{,}010$ | | $20$ | $2{,}000$ | $-0{,}010$ | | $30$ | $3{,}000$ | $-0{,}010$ | | $40$ | $4{,}020$ | $+0{,}010$ | As médias são $\bar I=0{,}025\,\mathrm A$ e $\bar U=2{,}510\,\mathrm V$. Nas fórmulas do ajuste, o numerador vale $0{,}0500\,\mathrm{A\,V}$ e o denominador $0{,}000500\,\mathrm{A^2}$. Assim, $$ R=\frac{0{,}0500}{0{,}000500}=100\,\Omega,\qquad b=2{,}510-100(0{,}025)=0{,}010\,\mathrm V. $$ Resíduos do ajuste U = 100I + 0,010A 10 e 40 miliamperes, o resíduo é mais 0,010 volt. A 20 e 30 miliamperes, é menos 0,010 volt. Todos os pontos estão igualmente afastados da linha de resíduo zero.Resíduo (V)+0,0100−0,010I (mA)10203040 As barras ligam cada resíduo à linha zero. Representam o desvio observado, sem atribuir uma incerteza que estes dados não fornecem. O resíduo é $U_i-(RI_i+b)$. No gráfico, os dois pontos extremos ficam acima da reta e os dois centrais abaixo. Os desvios são pequenos, mas estes quatro pontos não bastam para decidir se a curvatura é física ou uma flutuação. A ordenada não nula pode sugerir um offset; também não prova a sua causa. Para a investigar, mede mais pontos e verifica o zero do instrumento. Num gráfico científico, identifica grandezas e unidades nos eixos, mostra uma gama útil e inclui incertezas quando disponíveis. Monte Carlo pode propagar modelos de incerteza gerando conjuntos sintéticos e repetindo o ajuste; a dispersão dos parâmetros ajustados estima a sua incerteza. Usa um número de simulações suficiente e explicita a distribuição assumida, em vez de tratar o resultado aleatório como exato. ## Medições magnéticas Um magnetómetro de telemóvel mede componentes no referencial do aparelho. Rodar o telemóvel muda as componentes mesmo se o campo exterior não mudar. Para comparar duas situações, mantém posição e orientação, afasta fontes magnéticas próximas e regista uma série de leituras. Um desvio de calibração não desaparece ao calcular a média. Para estimar a corrente num fio longo, compara o campo com e sem corrente e usa a componente devida ao fio. Se a diferença de campo tangencial for $20\,\mathrm{\mu T}$ a $0{,}50\,\mathrm m$, a aproximação de fio infinito dá $I=2\pi rB/\mu_0\simeq50\,\mathrm A$. A presença de retorno da corrente, outros fios e a orientação desconhecida podem impedir esta estimativa. Não uses diretamente o módulo total, que pode incluir o campo terrestre. ## Exercícios Propagar R e I Medimos $R=(100\pm1)\,\Omega$ e $I=(0{,}100\pm0{,}002)\,\mathrm A$, com incertezas padrão independentes. Calcula a incerteza padrão da potência $P=RI^2$, em watts. Pista Primeiro calcula P e as incertezas relativas. Solução $u(P)=1\sqrt{0{,}01^2+4(0{,}02)^2}=0{,}0412\,\mathrm W$. A contribuição da corrente tem peso duplo na incerteza relativa, devido ao expoente dois. Erros frequentes Não somes incertezas relativas diretamente para entradas independentes sob este modelo. Não esqueças o fator dois da corrente. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/laboratorio/#propaga%C3%A7%C3%A3o-de-incertezas) Uma leitura ou a média de leituras Dezasseis leituras independentes têm desvio padrão amostral $s=0{,}20\,\mathrm V$. Que incerteza de tipo A atribuis à média? Repetir elimina um offset constante do instrumento? Pista A média combina observações independentes; não é uma única observação. Solução A incerteza padrão de tipo A da média é $0{,}05\,\mathrm V$. O desvio das observações continua estimado por $0{,}20\,\mathrm V$. Um offset constante não desaparece na média e exige correção ou avaliação adicional. Confere a tua resposta: * Distingue desvio padrão de uma observação e incerteza da média. * Obtém s/√n = 0,05 V. * Explica que repetição não elimina desvios sistemáticos. Erros frequentes Não chames s e s/√n à mesma quantidade, nem uses pequena dispersão como prova de ausência de erro sistemático. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/laboratorio/#m%C3%A9dia-dispers%C3%A3o-e-incerteza) Incerteza pela especificação do multímetro Uma leitura $3{,}300\,\mathrm V$ usa escala de $4\,\mathrm V$ com especificação $\pm(0{,}5\%+2\text{ dígitos})$ e resolução $1\,\mathrm{mV}$. Calcula a parcela da especificação em volts. Pista Soma percentagem da leitura com dígitos vezes resolução. Solução Dá $0{,}0165+0{,}002=0{,}0185\,\mathrm V$. É a semilargura do intervalo de especificação, não ainda uma incerteza padrão. Se assumirmos uma distribuição uniforme nesse intervalo, a incerteza padrão de tipo B é $0{,}0185/\sqrt3\simeq0{,}0107\,\mathrm V$. Erros frequentes Usar só a resolução como incerteza total ignora a percentagem da leitura exigida pelo fabricante. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/laboratorio/#m%C3%A9dia-dispers%C3%A3o-e-incerteza) Onde compensa medir melhor? Pretendes estimar $P=RI^2$ com incertezas padrão pequenas e independentes. O equipamento permite uma de duas escolhas: $u(R)/R=1\%$ e $u(I)/I=2\%$, ou $u(R)/R=2\%$ e $u(I)/I=1\%$. Qual dá menor incerteza relativa na potência? Justifica com a propagação. Seria válido comparar diretamente $u(R)=1\,\Omega$ e $u(I)=0{,}01\,\mathrm A$ para decidir qual é menor? Pista Calcula a sensibilidade relativa de $P$ a cada entrada. Solução A relação é $u(P)/P=\sqrt{[u(R)/R]^2+4[u(I)/I]^2}$. A primeira escolha dá $\sqrt{1^2+4(2^2)}\%=\sqrt{17}\%\simeq4{,}12\%$. A segunda dá $\sqrt{2^2+4(1^2)}\%=\sqrt8\%\simeq2{,}83\%$. Compensa dar a melhor precisão relativa à corrente, cuja sensibilidade relativa tem fator dois. Isso só responde às duas escolhas apresentadas, não a todos os custos possíveis de uma medição. As incertezas absolutas em ohms e amperes têm unidades diferentes. Para usar a expressão relativa, teríamos ainda de conhecer $R$ e $I$ e formar as duas razões adimensionais. Confere a tua resposta: * Compara incertezas relativas, preservando a independência. * Obtém √17 % e √8 % para as duas escolhas. * Atribui 1 % à corrente e justifica pelo expoente dois. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/laboratorio/#repartir-o-esfor%C3%A7o-de-medi%C3%A7%C3%A3o)