# Magnetismo e indução Ampère, forças em fios, momentos magnéticos, Faraday, Lenz e transformadores. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/magnetismo-inducao/ Uma bobina pode receber energia de outra sem contacto elétrico. A corrente no primeiro circuito cria um campo magnético; a variação do fluxo que atravessa o segundo induz uma força eletromotriz. Um campo constante pode exercer força sobre cargas em movimento, mas não induz corrente numa espira fixa só por estar presente. ## Ampère e simetria Em magnetostática no vazio, $\oint_C\vec B\cdot d\vec\ell=\mu_0I_{\rm int}$. Para um fio retilíneo infinito com corrente no sentido $+z$, o campo é azimutal, $\vec B=B(r)\hat e_\varphi$. Uma circunferência centrada no fio dá $$ B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}. $$ A mão direita dá o sentido, com o polegar no sentido da corrente. Num fio com $I=2\,\mathrm A$, a $r=1\,\mathrm{cm}$, temos $B=40\,\mathrm{\mu T}$. Dois fios paralelos com correntes iguais criam campos opostos no ponto médio, que se anulam. Não somes módulos antes de fixar sentidos. Para uma bobina longa, com $n$ espiras por metro e longe das extremidades, Ampère dá $B\simeq\mu_0nI$ no interior. O campo exterior é pequeno nesta aproximação. Uma espira circular de raio $a$ tem no centro $B=\mu_0I/(2a)$, mas essa expressão não vale para qualquer ponto do plano. ## Forças e momento magnético Num elemento de fio, $d\vec F=I\,d\vec\ell\times\vec B$. Para um segmento retilíneo em campo uniforme, $\vec F=I\vec\ell\times\vec B$. Um fio de $0{,}20\,\mathrm m$, com $3\,\mathrm A$, perpendicular a $0{,}50\,\mathrm T$, sente $0{,}30\,\mathrm N$. Uma espira num campo uniforme tem força resultante zero, mas pode rodar. O seu momento magnético é $\vec m=IA\hat n$, em $\mathrm{A\,m^2}$; $\hat n$ é orientado pela corrente. Para $N$ espiras iguais, multiplica por $N$. O torque é $\vec\tau=\vec m\times\vec B$ e a energia potencial $U=-\vec m\cdot\vec B$. A posição alinhada tem energia mínima. Materiais diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos respondem de formas diferentes. Nos ferromagnéticos, saturação e histerese impedem tratar sempre $B$ como proporcional à corrente. A sobreposição exige um modelo linear do meio. ## Lei de Faraday e Lenz O fluxo magnético por uma espira é $\Phi_B=\int_S\vec B\cdot d\vec A$, em webers, $\mathrm{Wb}=\mathrm{V\,s}$. Para campo uniforme, $\Phi_B=BA\cos\theta$. A força eletromotriz induzida, na orientação escolhida, é $$ \mathcal E=-\frac{d\Phi_B}{dt}. $$ Para $N$ espiras iguais, $\mathcal E=-N\,d\Phi_B/dt$. Pode variar $B$, a área ou a orientação. Fixa primeiro a normal $\hat n$ e o sentido positivo do contorno pela mão direita; o sinal de $\mathcal E$ refere-se a essa escolha. Sem essa escolha prévia, o sinal não tem leitura física. Se $B$ varia no tempo com o circuito parado, a circulação de $\vec E$ explica a força eletromotriz. Se uma barra se move num campo estacionário, as cargas sentem $\vec v\times\vec B$ no referencial do laboratório; no referencial da barra aparece um campo elétrico induzido equivalente. Não uses apenas a circulação de $\vec E$ num contorno fixo para explicar uma barra móvel. O sinal de **Lenz** diz que a corrente induzida cria um campo que contraria a variação do fluxo. Para uma espira fixa e resistiva, com autoindução desprezável, escolhe a normal para fora da página. O sentido positivo é anti-horário e um campo exterior para dentro dá fluxo negativo. | Módulo de B | dΦ/dt | Fem | Corrente | | --- | --- | --- | --- | | Aumenta | Negativa | Positiva | Anti-horária | | Diminui | Positiva | Negativa | Horária | A normal aponta para fora. Fem positiva corresponde ao sentido anti-horário; o sinal depende da variação do fluxo. Na primeira linha, o fluxo fica mais negativo e o campo induzido aponta para fora. Na segunda, o fluxo aproxima-se de zero e o campo induzido aponta para dentro para contrariar essa diminuição; o que se contraria é a mudança, não o campo exterior em si. ### Exemplo: uma bobina num campo crescente Uma bobina de $N=50$ espiras, cada uma com área $A=20\,\mathrm{cm^2}=0{,}002\,\mathrm{m^2}$, está perpendicular a um campo para fora da página. O campo cresce de $0{,}10$ para $0{,}30\,\mathrm T$ em $0{,}040\,\mathrm s$. Escolhemos normal para fora e contorno anti-horário. Então $$ \mathcal E=-50(0{,}002)\frac{0{,}30-0{,}10}{0{,}040} =-0{,}50\,\mathrm V. $$ Com resistência total $5\,\Omega$ e autoindução desprezável, $I=-0{,}10\,\mathrm A$ nessa orientação. A corrente real é horária e cria campo para dentro. Uma bobina com autoindução relevante exige incluir também $L\,dI/dt$. ### Fluxo de um campo não uniforme Uma espira retangular está no plano $xz$, à direita de um fio longo que coincide com o eixo $z$. A espira vai de $x=d$ a $x=d+a$ e tem comprimento $b$ paralelo ao fio. A corrente $I(t)$ no fio aponta para $+z$ quando positiva. Pela mão direita, o campo na espira aponta para $+y$ e varia com a distância ao fio. Escolhe a normal $+y$. Na aproximação quase-estática de fio infinito, sem incluir o campo produzido pela própria espira, $$ \Phi_B(t)=\int_d^{d+a}\frac{\mu_0I(t)}{2\pi x}\,b\,dx=\frac{\mu_0bI(t)}{2\pi}\ln\frac{d+a}{d}. $$ A faixa de largura $dx$ e comprimento $b$ tem campo aproximadamente constante; somar as faixas produz o integral. Usar $B(d)ab$ trataria toda a espira como estando na distância menor e sobrestimaria o módulo do fluxo. Só se $a\ll d$ essa aproximação se torna boa. Como a geometria é fixa, $$ \mathcal E(t)=-\frac{\mu_0b}{2\pi}\ln\frac{d+a}{d}\,I'(t). $$ Se a corrente exterior positiva aumenta, o fluxo positivo aumenta e a força eletromotriz é negativa no contorno orientado pela normal $+y$. Numa espira resistiva com autoindução desprezável, isso produz campo induzido para $-y$. O cálculo combina a variação temporal com o campo espacialmente não uniforme; não são alternativas a escolher. ## Geradores e transformadores Uma espira a rodar com velocidade angular $\omega$ em campo uniforme tem $\Phi_B=BA\cos(\omega t)$, logo $\mathcal E=NBA\omega\sin(\omega t)$. A fonte mecânica fornece a energia elétrica; a reação magnética exige trabalho para manter a rotação sob carga. Num transformador ideal, o mesmo fluxo atravessa primário e secundário, por isso Faraday dá $|U_2/U_1|=N_2/N_1$. A conservação da potência dá $|I_2/I_1|=N_1/N_2$. Se $N_1=500$, $N_2=100$ e $U_1=230\,\mathrm V$ eficazes, obtemos $U_2=46\,\mathrm V$ eficazes. Fornecer $2\,\mathrm A$ no secundário requer $0{,}40\,\mathrm A$ no primário no modelo ideal. A polaridade depende da orientação dos enrolamentos. Uma tensão contínua não mantém a transformação em regime estacionário. ## Autoindução Numa bobina linear de geometria fixa, a ligação de fluxo é $N\Phi_B=LI$. A força eletromotriz própria é $-L\,dI/dt$. Como queda de tensão na convenção passiva, a mesma relação escreve-se $u_L=L\,dI/dt$. Os sinais descrevem orientações distintas, não leis diferentes. A energia é $W_L=LI^2/2$. Sem impulsos ideais de tensão, a corrente numa bobina não muda instantaneamente. É esta condição inicial que vais usar nos [transitórios](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/circuitos-reativos/). ## Exercícios Sobreposição de campos de dois fios Dois fios retilíneos infinitos e paralelos passam por $x=0$ e $x=4\,\mathrm{cm}$, ambos com $y=0$. Cada um conduz $3\,\mathrm A$ no sentido $+z$. Usa $\mu_0\simeq4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}$. Calcula o campo total no ponto médio. Repete quando só a corrente do fio da direita inverte o sentido. Indica vetores, não apenas módulos. Pista Marca de que lado de cada fio está o ponto antes de usar a mão direita. Solução O ponto médio está a $0{,}02\,\mathrm m$ de cada fio. Ampère dá o mesmo módulo para cada contribuição: $$ B_0=\frac{\mu_0I}{2\pi r}=30\,\mathrm{\mu T}. $$ Com as duas correntes em $+z$, o campo do fio esquerdo aponta para $+y$ e o do direito para $-y$, pela mão direita. A soma é zero. Ao inverter a corrente direita, o seu campo também inverte. Ambos apontam para $+y$ e $\vec B=60\,\mathrm{\mu T}\,\hat e_y$. A distância não mudou; mudou o sentido de uma parcela. Confere a tua resposta: * Obtém campos opostos de 30 µT no ponto médio. * Obtém campo nulo para correntes iguais em +z. * Obtém 60 µT para +y ao inverter a corrente direita. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/magnetismo-inducao/#amp%C3%A8re-e-simetria) Um campo exterior a diminuir O campo exterior aponta para fora da página e o seu módulo diminui. Uma espira resistiva fixa está no plano da página, com autoindução desprezável. Qual o sentido da corrente induzida? Justifica com Lenz e com a orientação do fluxo. Pista O campo induzido deve contrariar a diminuição, não necessariamente o campo exterior. Solução $d\Phi_B/dt<0$, logo $\mathcal E>0$ na referência anti-horária. A corrente é anti-horária e cria campo para fora, ajudando a manter o fluxo que está a diminuir. Confere a tua resposta: * Mantém a normal para fora da página. * Identifica derivada do fluxo negativa. * Obtém corrente anti-horária e campo induzido para fora. Erros frequentes Contrariar sempre o sentido do campo daria a resposta errada neste caso. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/magnetismo-inducao/#lei-de-faraday-e-lenz) A espira está a várias distâncias do fio Um fio retilíneo infinito coincide com $z$ e transporta $I(t)=(5\,\mathrm{A/s})t$ para $+z$, num intervalo com $t>0$. Uma espira retangular fixa está no plano $xz$: $0{,}05\le x\le0{,}15\,\mathrm m$ e tem comprimento $b=0{,}20\,\mathrm m$ paralelo ao fio. Usa $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}$ e normal $+y$. Na aproximação quase-estática, calcula a força eletromotriz do campo exterior. Explica por que usar o campo na aresta mais próxima vezes a área daria outro resultado. Se a espira for resistiva e de autoindução desprezável, qual o sentido do campo que induz? Pista Parte da faixa de área $b\,dx$ antes de aplicar Faraday. Solução Na região da espira, $\vec B=\mu_0I(t)\hat e_y/(2\pi x)$. O fluxo na normal escolhida é $$ \Phi_B=\frac{\mu_0bI(t)}{2\pi}\int_{0{,}05}^{0{,}15}\frac{dx}{x}=\frac{\mu_0bI(t)}{2\pi}\ln3. $$ Faraday dá $$ \mathcal E=-\frac{\mu_0b}{2\pi}(5)\ln3=-(0{,}2\ln3)\,\mathrm{\mu V}\simeq-0{,}2197\,\mathrm{\mu V}. $$ O campo mais próximo é o maior dentro da espira. Usá-lo por toda a área daria $-\mu_0b(5)(0{,}10)/(2\pi(0{,}05))=-0{,}40\,\mathrm{\mu V}$, sobrestimando o módulo. A largura não é pequena face à distância, pelo que essa aproximação não é adequada aqui. O fluxo exterior para $+y$ aumenta. A corrente induzida cria campo para $-y$, contrariando essa variação. O sinal negativo da força eletromotriz usa o contorno associado à normal $+y$, não um valor negativo do módulo do campo. Confere a tua resposta: * Integra B pela largura e obtém um fator ln 3. * Obtém força eletromotriz de −(0,2 ln 3) µV na orientação dada. * Explica a sobrestimação por B na aresta próxima e o sentido de Lenz. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/magnetismo-inducao/#fluxo-de-um-campo-n%C3%A3o-uniforme)