# Potencial, condutores e capacidade Trabalho elétrico, equipotenciais, blindagem, condensadores e energia armazenada. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/potencial-capacidade/ Um eletrão libertado entre dois pontos com diferença de potencial de $100\,\mathrm V$ pode ganhar energia cinética. Para calcular essa energia, basta conhecer a diferença de potencial; não precisamos de reconstruir o campo em cada ponto da trajetória. Em eletrostática, o trabalho da força elétrica depende apenas dos extremos. O potencial permite expressá-lo por unidade de carga. A referência escolhida altera os valores de $V$, mas não as diferenças que entram no trabalho. ## Potencial e energia O gradiente $\nabla V=(\partial_xV,\partial_yV,\partial_zV)$ aponta para o aumento mais rápido do potencial. Em eletrostática, o campo aponta no sentido oposto, $\vec E=-\nabla V$, e $$ V_B-V_A=-\int_A^B\vec E\cdot d\vec\ell. $$ Escolhemos uma referência para $V$, por exemplo $V(\infty)=0$ para cargas localizadas. O trabalho da força elétrica numa carga $q$ é $W_{A\to B}=q(V_A-V_B)$; a variação da energia potencial é $\Delta U=q(V_B-V_A)=-W$. Volt é joule por coulomb. Para cargas pontuais no vazio, $V(\vec r)=\sum_i kq_i/|\vec r-\vec r_i|$. Mantém o sinal das cargas. Uma carga negativa cria potencial negativo com a referência no infinito, mas a energia de outra carga depende também do sinal desta. Na configuração do dipolo da [página de carga](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/carga-campo/#sobreposi%C3%A7%C3%A3o), as distâncias a $P$ são iguais. O potencial é zero, porque $kq/r+k(-q)/r=0$. O campo continua a apontar para a carga negativa. Uma superfície **equipotencial** tem $V$ constante. O campo é perpendicular a ela e aponta para potenciais menores. Mover uma carga ao longo da superfície não realiza trabalho elétrico. Um ponto crítico do potencial tem $\nabla V=0$, logo $\vec E=0$; isso não garante equilíbrio estável. Uma sela pode ter gradiente zero e descer numa direção enquanto sobe noutra. ### Exemplo: acelerar um eletrão Um eletrão, inicialmente em repouso, passa de $V_A=0$ para $V_B=100\,\mathrm V$, sem outras forças. Temos $\Delta U=-e\times100\,\mathrm V=-1{,}60\times10^{-17}\,\mathrm J$. A energia cinética aumenta pelo mesmo módulo. Com $m_e=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$, $$ v=\sqrt{\frac{2e(100\,\mathrm V)}{m_e}} =5{,}93\times10^6\,\mathrm{m/s}. $$ A conservação de energia dá $\Delta K=-\Delta U$. Como $q=-e$, aumentar o potencial diminui a energia potencial do eletrão e aumenta a sua rapidez. Uma carga positiva inicialmente em repouso não faria espontaneamente o mesmo percurso só sob a força elétrica. A rapidez é aproximadamente $2\%$ de $c$, pelo que a aproximação não relativista é adequada. ## Condutores em equilíbrio Num condutor em equilíbrio eletrostático, o campo no material é zero. Se não fosse, as cargas livres mover-se-iam e o estado não seria de equilíbrio. Por isso, o potencial é constante no material e a carga em excesso fica nas superfícies. O campo imediatamente exterior é normal à superfície. Uma esfera condutora isolada, de raio $R$ e carga $Q$, tem $$ V(r)=\begin{cases}kQ/R,&r\le R,\\kQ/r,&r\ge R.\end{cases} $$ O potencial é contínuo; o campo salta na superfície por causa da carga superficial. Esferas muito afastadas ligadas por um fio ficam ao mesmo potencial. Assim, $Q_1/R_1=Q_2/R_2$ e $\sigma_{Q,1}/\sigma_{Q,2}=R_2/R_1$. A esfera menor tem campo superficial maior. É uma aproximação do efeito das pontas, não uma fórmula universal para qualquer objeto pontiagudo. ## Terra e blindagem A terra ideal é um reservatório de carga a potencial fixo. Ligar um condutor à terra fixa o seu potencial e permite trocar carga; não obriga a carga total a ser zero. Uma cavidade fechada e vazia dentro de um condutor em equilíbrio fica sem campo elétrico, mesmo com campo exterior. Se colocares uma carga $q$ na cavidade, surge $-q$ na superfície interior. Num condutor inicialmente neutro e isolado, fica $+q$ na superfície exterior. Se o condutor for ligado à terra, na ausência de outras fontes exteriores pode receber a carga necessária para eliminar o campo exterior. Estas conclusões são eletrostáticas e dependem de a cavidade estar fechada. Blindagem de campos variáveis depende do material, da frequência e das aberturas. Um condutor com corrente não está em equilíbrio eletrostático: pode ter campo interior e queda de potencial. ## Capacidade A capacidade de um condutor isolado é $C=Q/V$, com a referência do potencial fixada. Para a esfera, $C=4\pi\varepsilon_0R$. Uma esfera de raio $0{,}10\,\mathrm m$ tem $C\simeq11{,}1\,\mathrm{pF}$. Um **condensador** separa cargas $+q$ e $-q$ em duas armaduras. Define-se $C=q/u$, onde $u=V_+-V_-$. Farad é coulomb por volt. Para duas placas paralelas de área $A$, distância $d$ pequena face às dimensões das placas e dielétrico linear uniforme, $$ C=\frac{\varepsilon A}{d},\qquad E\simeq\frac ud. $$ A capacidade depende da geometria e do meio. Aumentar $u$ aumenta a carga, mas não muda $C$ neste modelo. O dielétrico real tem uma tensão de rotura que limita a utilização. ## Associações e energia Em paralelo, a tensão é igual e as cargas somam: $C_{\rm eq}=\sum C_i$. Em série, com nós intermédios inicialmente neutros e isolados, os módulos de carga são iguais e as tensões somam: $1/C_{\rm eq}=\sum1/C_i$. Um condensador menor em série recebe maior tensão. A energia armazenada resulta do trabalho necessário para carregar as armaduras: $$ W_C=\int_0^q\frac{q'}C\,dq'=\frac{q^2}{2C} =\frac12Cu^2=\frac12qu. $$ Com $C=100\,\mathrm{\mu F}$ e $u=12\,\mathrm V$, $q=1{,}20\,\mathrm{mC}$ e $W_C=7{,}20\,\mathrm{mJ}$. Dois condensadores de $2$ e $3\,\mathrm{\mu F}$ em série dão $1{,}20\,\mathrm{\mu F}$. A $10\,\mathrm V$, ambos têm $12\,\mathrm{\mu C}$; as tensões são $6$ e $4\,\mathrm V$, cuja soma recupera a fonte. Ao afastar as placas de $d$ para $2d$, mantendo área e dielétrico e desprezando bordos, a capacidade passa de $C$ para $C/2$. Compara duas montagens que partem dos mesmos valores $C,q,u,W_C$: | Montagem durante o afastamento | Carga final | Tensão final | Energia final | | --- | --- | --- | --- | | Fonte desligada, armaduras isoladas | $q$ | $2u$ | $2W_C$ | | Fonte ideal mantém a tensão | $q/2$ | $u$ | $W_C/2$ | Com isolamento, usa $W_C=q^2/(2C)$: o trabalho de separar as placas aumenta a energia do campo. Com tensão constante, usa $W_C=Cu^2/2$: a fonte recebe carga e energia durante o afastamento lento. O balanço da montagem inclui a fonte e o trabalho mecânico, não apenas o condensador. ## Tensões máximas em série A tensão suportada por uma associação depende da repartição por cada componente. Com nós intermédios neutros, condensadores ideais em série têm a mesma carga $q$. Cada limite $U_{k,\max}$ impõe $q\le C_kU_{k,\max}$, logo $$ q_{\max}=\min_k(C_kU_{k,\max}),\qquad U_{\max}=q_{\max}\sum_k\frac1{C_k}. $$ Por exemplo, $2\,\mathrm{\mu F}$ com limite $100\,\mathrm V$ admite até $200\,\mathrm{\mu C}$; $3\,\mathrm{\mu F}$ com limite $80\,\mathrm V$ admite até $240\,\mathrm{\mu C}$. O primeiro limita a série. Com $q=200\,\mathrm{\mu C}$, as tensões são $100$ e $66{,}67\,\mathrm V$: o limite da associação é $166{,}67\,\mathrm V$, inferior à soma das tensões nominais $180\,\mathrm V$. Isto descreve a repartição ideal de carga. Fugas e tolerâncias em componentes reais podem alterar a divisão de tensão; os valores nominais não autorizam operar precisamente no limite deste modelo. ## Exercícios Carga e energia em dois condensadores em série Dois condensadores ideais, $C_1=2\,\mathrm{\mu F}$ e $C_2=3\,\mathrm{\mu F}$, são ligados em série a $10\,\mathrm V$. O nó intermédio é inicialmente neutro e isolado. Calcula a carga de cada condensador, as duas tensões e a energia total. Confirma a energia usando a capacidade equivalente. Pista Decide qual grandeza é igual nos dois condensadores e qual se soma. Solução O nó intermédio conserva carga total nula, logo os módulos das cargas dos dois condensadores são iguais. As tensões somam-se: $$ C_{\rm eq}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}=1{,}2\,\mathrm{\mu F},\qquad q=C_{\rm eq}U_s=12\,\mathrm{\mu C}. $$ Assim, $u_1=q/C_1=6\,\mathrm V$ e $u_2=q/C_2=4\,\mathrm V$. O menor condensador precisa de maior tensão para guardar a mesma carga; $6+4=10$ verifica a fonte. As energias são $C_1u_1^2/2=36\,\mathrm{\mu J}$ e $C_2u_2^2/2=24\,\mathrm{\mu J}$. A soma dá $60\,\mathrm{\mu J}$, igual a $C_{\rm eq}U_s^2/2$. Confere a tua resposta: * Obtém capacidade equivalente 1,2 µF e carga 12 µC. * Obtém 6 V e 4 V, explicando qual recebe mais tensão. * Soma energias e verifica 60 µJ pelo equivalente. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/potencial-capacidade/#associa%C3%A7%C3%B5es-e-energia) Potencial nulo, campo não nulo No ponto médio entre cargas pontuais $+q$ e $-q$, com $q>0$ e referência no infinito, justifica por que $V=0$ mas $\vec E\ne0$. Pista As distâncias são iguais, mas os campos não têm sentidos opostos nesse ponto. Solução Os potenciais $kq/r$ e $-kq/r$ cancelam-se. Os dois campos apontam da carga positiva para a negativa e somam-se. Campo depende do gradiente de V, não de V ser zero. Confere a tua resposta: * Soma os potenciais escalares com sinais. * Obtém campo no sentido da carga negativa. * Distingue valor do potencial e gradiente. Erros frequentes Potencial zero é uma referência de energia, não ausência de força. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/potencial-capacidade/#potencial-e-energia) Afastar placas depois de desligar a fonte Carregamos um condensador de placas paralelas e desligamos a fonte, deixando cada armadura isolada. Duplicamos a distância entre as placas, mantendo a área e desprezando os bordos. Como mudam capacidade, carga, tensão e energia? De onde vem a energia adicional? Pista Primeiro decide se a montagem conserva a carga ou a tensão. Solução Desliga a fonte antes de afastar: a capacidade cai para $C/2$. A carga de cada armadura mantém-se porque o condensador está isolado, logo a tensão duplica e a energia duplica. As armaduras atraem-se: o trabalho mecânico necessário para as separar aumenta a energia eletrostática. Se a fonte continuasse ligada, a tensão manter-se-ia e a carga mudaria, dando outro resultado. Confere a tua resposta: * Conserva q porque as armaduras estão isoladas. * Obtém C/2, tensão 2u e energia 2W. * Relaciona o aumento de energia com trabalho mecânico exterior. Erros frequentes Não mantenhas carga e tensão constantes quando a capacidade muda. A fórmula $Cu^2/2$ exige também atualizar $u$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/potencial-capacidade/#associa%C3%A7%C3%B5es-e-energia) Qual condensador limita a tensão? Ligam-se em série dois condensadores ideais: $C_1=2\,\mathrm{\mu F}$, com tensão máxima $80\,\mathrm V$, e $C_2=3\,\mathrm{\mu F}$, com tensão máxima $100\,\mathrm V$. O nó intermédio é neutro e isolado; despreza fugas e tolerâncias. Qual é a maior tensão DC total que respeita os dois limites? Por que não podes simplesmente somar $80+100$? Pista O limite comum é uma carga, porque as tensões não são iguais. Solução O primeiro admite $C_1U_{1,\max}=160\,\mathrm{\mu C}$ e o segundo $300\,\mathrm{\mu C}$. A carga comum não pode ultrapassar $160\,\mathrm{\mu C}$. Nessa carga, $u_1=80\,\mathrm V$ e $u_2=160/3\simeq53{,}33\,\mathrm V$. A soma é $133{,}33\,\mathrm V$. O primeiro está no limite e o segundo ainda abaixo dos $100\,\mathrm V$. A $180\,\mathrm V$, a capacidade equivalente $1{,}2\,\mathrm{\mu F}$ daria $q=216\,\mathrm{\mu C}$, logo $u_1=108\,\mathrm V$: ultrapassaria o limite de $80\,\mathrm V$. A soma das classificações não respeita a repartição da tensão. Confere a tua resposta: * Obtém limites de carga de 160 µC e 300 µC. * Identifica o primeiro condensador como limitante. * Obtém tensão total máxima de 133,33 V e verifica os dois limites. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/potencial-capacidade/#tens%C3%B5es-m%C3%A1ximas-em-s%C3%A9rie)