# Sinais e propriedades de sistemas Tempo contínuo e discreto, energia, potência, memória, causalidade, linearidade e estabilidade. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/sinais/ A tensão de $5\,\mathrm V$ aplicada durante $1\,\mathrm{ms}$ ao RC é um sinal de entrada $x(t)$. A tensão no condensador é o sinal de saída $y(t)$ e continua a mudar depois de a fonte voltar a zero. O circuito transforma um sinal noutro e guarda memória no condensador. As mesmas ferramentas descrevem som, temperatura ou sequências de contagens. ## Tempo e valores $x(t)$ tem tempo contínuo: está definido para cada instante de um intervalo. Pode ter saltos, ou seja, tempo contínuo não significa função contínua. $x[n]$ tem tempo discreto: o índice $n$ é inteiro. A amostragem de período $T_s$ produz $x[n]=x(nT_s)$. A quantização restringe os valores a um conjunto de níveis. Assim, amostrar discretiza o tempo; quantizar discretiza os valores. Um sinal digital usa ambos. Para um quantizador uniforme ideal com $N$ bits e gama $[U_{\min},U_{\max})$, o passo típico é $\Delta=(U_{\max}-U_{\min})/2^N$. Com arredondamento e sem saturação, o erro de quantização tem módulo até $\Delta/2$. ## Transformações no tempo $x(t-t_0)$ atrasa o sinal se $t_0>0$; $x(t+t_0)$ adianta-o. $x(-t)$ reflete-o. $x(at)$ comprime a duração por $|a|$ se $|a|>1$ e reflete-o também se $a<0$. Localiza os instantes característicos substituindo o argumento, em vez de decorar a ordem das operações. Se $x(t)$ é não nulo entre $0$ e $2\,\mathrm s$, resolve $0\le2t-2\le2$ para localizar $x(2t-2)$: somar $2$ dá $2\le2t\le4$ e dividir por $2$ dá $1\le t\le2\,\mathrm s$. O $-2$ desloca o início para a direita e o fator $2$ comprime a duração de $2\,\mathrm s$ para $1\,\mathrm s$. As componentes par e ímpar são $x_p(t)=[x(t)+x(-t)]/2$ e $x_i(t)=[x(t)-x(-t)]/2$. A soma recupera $x$. Um sinal periódico satisfaz $x(t+T_0)=x(t)$; em tempo discreto, o período tem de ser inteiro. Uma sinusoide $\cos(\Omega n)$ só é periódica se $\Omega/(2\pi)$ for racional. ## Escalão e impulso O escalão $u(t)$ vale zero para $t<0$ e um para $t>0$. O valor num ponto de salto não altera integrais usuais. O impulso $\delta(t)$ é uma distribuição, definida pela propriedade $$ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)\,dt=f(t_0). $$ Não é uma função ordinária de altura infinita. Tem área unitária e unidade inversa da variável de integração. Em tempo discreto, $\delta[n]$ é uma sequência ordinária, um em $n=0$ e zero nos restantes índices. A decomposição é $x[n]=\sum_kx[k]\delta[n-k]$. Uma carga pontual em três dimensões pode representar-se por $\rho_V(\vec r)=q\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)\delta(z-z_0)$. Integrar sobre um volume que contém o ponto recupera $q$. ## Energia e potência de um sinal Definem-se $$ E_x=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt, \qquad P_x=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2dt. $$ Em tempo discreto, substitui o integral por $\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2$ e a média por $\lim_{N\to\infty}(2N+1)^{-1}\sum_{n=-N}^N|x[n]|^2$. Para sinais complexos, $|x|^2=xx^*$. Um sinal de energia tem $00$, o suporte começa em zero e o quadrado duplica o expoente: $$ E_x=A^2\int_0^\infty e^{-2at}dt =\left[-\frac{A^2}{2a}e^{-2at}\right]_0^\infty =\frac{A^2}{2a}. $$ A energia acumulada num intervalo nunca excede este valor finito. Dividi-la por $2T$ e tomar $T\to\infty$ dá $P_x=0$. Se $A=0$, o sinal é nulo e não satisfaz a condição $E_x>0$ de sinal de energia. Para uma sinusoide não nula de amplitude $A$, $P_x=A^2/2$ e $E_x=\infty$. Não calcules $\int\delta(t)^2dt$ como se o quadrado de Dirac fosse uma função definida; a energia de um impulso ideal não é uma aplicação válida desta fórmula ordinária. ## Memória, causalidade e estabilidade Um sistema sem memória usa apenas a entrada no instante atual, como $y(t)=3x(t)$. $y[n]=[x[n]+x[n-1]+x[n-2]]/3$ tem memória e é causal, porque só usa presente e passado. Uma média centrada que usa $x[n+1]$ é não causal. Estabilidade BIBO significa que toda a entrada limitada produz saída limitada. O integrador $y(t)=\int_{-\infty}^t x(\lambda)d\lambda$ falha: um escalão limitado gera crescimento sem limite. Um ganho finito $y=3x$ é estável. ## Linearidade e invariância no tempo Um sistema $S$ é linear se $S[ax_1+bx_2]=aS[x_1]+bS[x_2]$ para quaisquer entradas e escalares. $y=3x+2$ não é linear porque entrada zero dá saída dois. $y=x^2$ também falha a homogeneidade. É invariante no tempo se atrasar a entrada produz exatamente o mesmo atraso da saída. $y(t)=tx(t)$ é linear, mas variante: com entrada atrasada dá $tx(t-t_0)$; atrasar a saída original dá $(t-t_0)x(t-t_0)$. $y=x^2$ é não linear, mas invariante. As duas propriedades são independentes. Para circuitos com armazenamento, a transformação entrada-saída usada como sistema linear exige estado inicial nulo, ou separar a resposta devida ao estado inicial. Uma tensão inicial fixa não nula acrescenta uma resposta independente da entrada e pode quebrar a linearidade da transformação total. ## Exercícios Energia de uma exponencial O sinal de tensão é $x(t)=3e^{-2t}u(t)\,\mathrm V$, com t em segundos. Calcula $E_x=\int|x(t)|^2dt$. Pista Elevar o sinal ao quadrado duplica o expoente. Solução $E_x=9/4=2{,}25\,\mathrm{V^2\,s}$. A potência média do sinal é zero. Para energia elétrica numa resistência fixa, seria necessário dividir este valor pela resistência. Erros frequentes Não uses joules sem identificar a relação física entre o sinal e a energia. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/sinais/#energia-e-pot%C3%AAncia-de-um-sinal) Separar linearidade de invariância temporal Compara os sistemas $S_1[x](t)=tx(t)$ e $S_2[x](t)=x(t)^2$. Testa linearidade e invariância no tempo separadamente. Para cada propriedade que falha, apresenta uma entrada e uma escala ou atraso que exponham a diferença. Pista Compara duas operações completas. Ver um t na fórmula não é um teste de linearidade. Solução Para $S_1$, $t(ax_1+bx_2)=atx_1+btx_2$, pelo que há linearidade. Atrasar a entrada dá $tx(t-t_0)$; atrasar a saída dá $(t-t_0)x(t-t_0)$. Com entrada constante $x=1$ e atraso $t_0=1$, resultam $t$ e $t-1$: não há invariância. Para $S_2$, a entrada $x=1$ dá saída $1$, mas a entrada $2x$ dá $4$, em vez de $2$. Falha a homogeneidade e portanto a linearidade. Atrasar a entrada dá $x(t-t_0)^2$, exatamente a saída original atrasada. É invariante no tempo. Os sistemas falham propriedades diferentes. Nenhuma delas implica a outra. Confere a tua resposta: * Verifica sobreposição e falha do atraso em t x(t). * Verifica falha da homogeneidade e invariância em x(t)². * Apresenta um contraexemplo com entrada não nula. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/sinais/#linearidade-e-invari%C3%A2ncia-no-tempo) Classificar uma média centrada O sistema é $y[n]=(x[n-1]+x[n]+x[n+1])/3$, para todo o índice inteiro. Tem memória? É causal, BIBO estável, linear e invariante no tempo? Justifica, sem confundir as propriedades. Pista A causalidade depende dos índices usados. A estabilidade depende de como uma entrada limitada limita a saída. Solução Tem memória e é não causal porque usa $x[n+1]$. É estável: $|y[n]|\le(M+M+M)/3=M$. A soma com coeficientes constantes respeita sobreposição, logo é linear. Substituir $x[n]$ por $x[n-n_0]$ desloca os três índices e a saída pelo mesmo $n_0$, logo é invariante no tempo. Confere a tua resposta: * Identifica memória e falta de causalidade pelo termo x\[n+1\]. * Mostra |y\[n\]| ≤ M para uma entrada com |x\[n\]| ≤ M. * Verifica linearidade e invariância pelo deslocamento do índice. Erros frequentes Um sistema não causal pode ser estável. Usa futuro quando processa um registo já adquirido, mas não produz esta saída imediatamente num fluxo em tempo real. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/f2/sinais/#mem%C3%B3ria-causalidade-e-estabilidade)