# Comparar duas médias Diferenças de médias independentes, Welch, variância comum e diferenças emparelhadas. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/comparacao-medias/ Comparar os algoritmos A e B nas mesmas tarefas produz pares; executá-los em dois conjuntos de tarefas escolhidos independentemente produz dois grupos. Em ambos os casos, o alvo pode ser $\delta=\mu_A-\mu_B$. A ordem fixa o sinal; o desenho determina o erro padrão. ## Dois grupos independentes Se as amostras são independentes entre grupos, a estimativa é $\bar x_1-\bar x_2$ e as variâncias das médias somam-se: $$ SE=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}. $$ Com populações normais e variâncias conhecidas, um intervalo exato é $(\bar x_1-\bar x_2)\pm z_{\alpha/2}SE$; com populações não normais e ambas as amostras grandes, pode usar-se uma aproximação normal, estimando os desvios se necessário. Não subtraias variâncias quando subtrais médias: o sinal negativo é elevado ao quadrado no cálculo da variância. ## Desvios desconhecidos: Welch Sem uma hipótese de igualdade das variâncias, usa $$ \widehat{SE}=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}, $$ $$ \nu\approx\frac{(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2)^2}{(s_1^2/n_1)^2/(n_1-1)+(s_2^2/n_2)^2/(n_2-1)}. $$ O intervalo de Welch é aproximadamente $$ (\bar x_1-\bar x_2)\pm t_{\alpha/2,\nu}\widehat{SE}. $$ Para amostras pequenas, pressupõe populações aproximadamente normais e observa extremos. Welch não exige variâncias iguais, mas isso não o torna imune a amostras pequenas muito assimétricas. Se a tabela só tem graus inteiros, usar um grau inferior ao calculado dá um quantil maior e um intervalo mais conservador; segue a convenção indicada no problema. ### Intervalo de Welch Os grupos têm $(n_1,\bar x_1,s_1)=(10,20,4)$ e $(n_2,\bar x_2,s_2)=(15,17,5)$. São independentes e admitimos normalidade. A diferença estimada é 3: $$ \widehat{SE}=\sqrt{16/10+25/15}\approx1,8074, $$ $$ \nu\approx\frac{(1,6+1,6667)^2}{1,6^2/9+1,6667^2/14}\approx22,10. $$ O quantil a 95% é aproximadamente 2,0733. A margem é cerca de 3,7473 e o intervalo é $[-0,7473;6,7473]$. Contém zero: estes dados não permitem concluir uma diferença de médias ao nível bilateral de 5%. Também admitem diferenças positivas relevantes; não demonstram igualdade. Para testar $H_0:\delta=0$ contra $H_1:\delta\ne0$, calcula $t=(3-0)/1,8074\approx1,66$ com cerca de 22,1 graus. O valor-p bilateral é aproximadamente 0,11, coerente com o intervalo que contém zero. ## Variância comum: estimador ponderado Se existe uma justificação para assumir $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$, combina as variâncias com pesos correspondentes aos graus de liberdade: $$ s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}, $$ $$ \widehat{SE}_p=s_p\sqrt{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}}. $$ Sob populações normais, o intervalo com variância comum usa $t_{\alpha/2,n_1+n_2-2}$ e esse erro padrão. Não é a média simples dos desvios. Nos números anteriores, $s_p^2=494/23\approx21,4783$ e $\widehat{SE}_p\approx1,8920$, um valor diferente do erro padrão de Welch. O valor $n_1+n_2-2$ é o grau de liberdade exato do método com variância comum, não o grau geral de Welch. Um exercício que fornece uma aproximação de graus de liberdade deve ser resolvido segundo essa indicação, distinguindo-a da fórmula geral. Com tamanhos iguais, os dois erros padrão coincidem, mas as justificações e os graus de liberdade podem continuar diferentes. ## Amostras emparelhadas Para n pares $(X_i,Y_i)$, forma $D_i=X_i-Y_i$. Trata as diferenças como uma amostra de uma população de média $\mu_D=\mu_X-\mu_Y$: $$ IC(\mu_D)=\bar d\pm t_{\alpha/2,n-1}\frac{s_D}{\sqrt n}. $$ Precisamos de independência entre pares; dentro de um par as medições podem ser dependentes. Para um intervalo t exato, é a **distribuição das diferenças** que deve ser normal. Não é necessário que as duas marginais tenham cada uma um teste de normalidade aprovado. ### Intervalo das diferenças emparelhadas Seis tarefas apresentam diferenças A menos B iguais a $2,1,3,2,4,0$ ms. A média é 2 e a soma dos desvios quadrados é 10, logo $s_D^2=10/5=2$ e $SE=\sqrt{2/6}\approx0,57735$. Com $t_{0,025;5}\approx2,5706$, $$ IC_{95\%}=2\pm1,4841=[0,5159;3,4841]\ \text{ms}. $$ O intervalo é positivo: a média de A excede a de B nas condições do estudo. Se definíssemos B menos A, o intervalo seria $[-3,4841;-0,5159]$ e a conclusão física seria a mesma. Não uses os desvios separados para substituir $s_D$, pois a variância da diferença inclui a covariância: $\operatorname{Var}(X-Y)=\sigma_X^2+\sigma_Y^2-2\operatorname{Cov}(X,Y)$. A figura conserva os pares que produzem essas diferenças: A tem tempos $12,15,14,13,16,11$ e B tem $10,14,11,11,12,11$ ms. Um segmento horizontal liga tempos iguais de A e B, por isso corresponde a uma diferença zero. A → B, dentro da tarefa10121416ABTempo (ms), eixo vertical A identidade da tarefa mantém-se em cada linha. A diferença zero também entra na amostra; contar só as melhorias mudaria o parâmetro estimado. As três escolhas com desvios desconhecidos não são intercambiáveis: | Dados e hipótese | Método | Dispersão usada | | --- | --- | --- | | Grupos independentes, sem assumir variâncias iguais | Welch | $s_1^2/n_1+s_2^2/n_2$ sob a raiz | | Grupos independentes, variância comum justificada | t com variância comum | $s_p$ e os dois tamanhos | | Mesmas unidades ou pares comparáveis | t das diferenças | $s_D$ dentro dos pares | Para pequenas amostras, mantém as condições de normalidade: das populações nos grupos independentes, das diferenças nos pares. Tamanhos iguais não criam pares nem justificam variâncias iguais. ## Usar o mesmo modelo num teste Para testar $H_0:\delta=\delta_0$, divide $(\bar x_1-\bar x_2)-\delta_0$ pelo erro padrão escolhido e usa a distribuição correspondente: normal, t de Welch, t com variância comum ou t das diferenças. No caso emparelhado, divide $\bar d-\delta_0$ por $s_D/\sqrt n$. A escolha do modelo vem antes da cauda do teste, como explicado em [testes de hipóteses](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/testes-hipoteses/). ## Exercícios Erro padrão de duas médias Os grupos são independentes e têm desvios populacionais 4 e 6, com tamanhos 16 e 36. Calcula o erro padrão de X̄1−X̄2. Pista As variâncias das médias somam-se. Mais uma pista 4²/16=1 e 6²/36=1. Solução $SE=\sqrt{16/16+36/36}=\sqrt2\approx1,414214$. O sinal negativo desaparece no quadrado, por isso as variâncias somam-se. Erros frequentes Não somar os desvios 1 e 1 para obter 2. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/comparacao-medias/#dois-grupos-independentes) Welch com tamanhos e dispersões desiguais Dois grupos independentes de tarefas têm $(n_A,\bar x_A,s_A)=(6,20,2)$ e $(n_B,\bar x_B,s_B)=(18,17,8)$, em ms. Admite populações normais, sem hipótese de variâncias iguais. Calcula o erro padrão de Welch e os graus de liberdade. Para o IC de 95%, usa o quantil conservador $t_{0,025;20}=2,0860$. Constrói o intervalo para $\mu_A-\mu_B$ e conclui sobre o teste bilateral compatível a 5%. Pista A parcela de cada grupo é variância dividida pelo tamanho. Solução As parcelas são $a=4/6$ e $b=64/18$. Logo $SE=\sqrt{a+b}\approx2,0548$ ms e $\nu=(a+b)^2/(a^2/5+b^2/17)\approx21,413$. Usamos 20 graus por indicação do problema, abaixo dos calculados. A diferença é 3 ms e a margem é $2,0860(2,0548)\approx4,2863$ ms. O intervalo conservador é $[-1,2863;7,2863]$ ms. Contém zero, pelo que não rejeitamos no teste compatível com este quantil. O desvio maior do grupo B continua a contribuir muito, apesar do seu maior tamanho. Não usamos automaticamente os 22 graus do método com variância comum. Confere a tua resposta: * Somei 4/6 e 64/18 antes da raiz. * Calculei os graus de Welch e usei o quantil conservador indicado. * Obtive IC aproximado \[−1,2863;7,2863\] ms. * Não rejeitei e não interpretei isso como igualdade. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/comparacao-medias/#intervalo-de-welch) Pares do início ao fim Seis tarefas dão tempos A iguais a 12, 15, 14, 13, 16 e 11 e tempos B iguais a 10, 14, 11, 11, 12 e 11, pela mesma ordem de tarefa. Admite diferenças normais e independentes entre tarefas. Constrói primeiro as diferenças, depois o IC a 95 por cento para a média das diferenças, e conclui sobre $H_0:\mu_D=0$. Pista Subtrai dentro de cada tarefa. Mais uma pista A soma dos desvios quadrados das diferenças é 10. Solução As diferenças A menos B são 2, 1, 3, 2, 4 e 0. A média é 2, a variância é $10/5=2$ e o erro padrão é 0,57735. Com $t_{0,025;5}=2,5706$, o intervalo é $[0,5159;3,4841]$. É positivo, por isso rejeitamos a igualdade a 5 por cento. Confere a tua resposta: * Constrói as seis diferenças 2, 1, 3, 2, 4 e 0 a partir dos pares. * Obtém média 2, variância 2 e erro padrão aproximado 0,57735. * Apresenta IC aproximado \[0,5159;3,4841\] e rejeita a igualdade a 5 por cento. Erros frequentes Não usar os desvios separados das duas colunas em vez de $s_D$. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/comparacao-medias/#intervalo-das-diferen%C3%A7as-emparelhadas)