# Dados bivariados

Tabelas de dupla entrada, proporções condicionais, dispersão, covariância e correlação.

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Em cada execução, regista o tamanho da tarefa e o tempo gasto. Cada execução dá um par $(x_i,y_i)$. Preservar os pares é essencial: ordenar cada coluna separadamente inventa relações que não foram observadas.

## Duas variáveis categóricas

Uma tabela de dupla entrada conta cada combinação. Os totais das linhas e colunas são as frequências marginais. Para comparar grupos de tamanhos diferentes, calcula proporções **dentro** de cada grupo.

| Grupo | Falhou | Não falhou | Total |
| --- | --- | --- | --- |
| A | 12 | 48 | 60 |
| B | 18 | 22 | 40 |
| Total | 30 | 70 | 100 |

A proporção global de falhas é $30/100=0,30$; no grupo A é $12/60=0,20$ e no grupo B é $18/40=0,45$. Embora B tenha menos unidades, a sua proporção de falhas é maior. Já $12/100=0,12$ é a proporção de unidades que pertencem a A **e** falharam; o denominador muda a pergunta. Um gráfico de barras com proporções por grupo permite comparar distribuições. Os valores observados sugerem uma associação. Um [teste de independência](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/qui-quadrado/#independ%C3%AAncia-e-homogeneidade) avalia essa evidência sob um modelo amostral.

## Uma variável quantitativa e uma categórica

Compara a variável quantitativa entre categorias usando caixas lado a lado na mesma escala. Observa centro, dispersão, assimetria e valores afastados. Caixas sobrepostas não demonstram igualdade de médias; caixas separadas não substituem um teste.

Se as categorias são «antes» e «depois» para as mesmas unidades, a tabela contém pares. Mostra também as diferenças individuais. Uma comparação que ignora o emparelhamento pode esconder uma alteração consistente.

## Duas variáveis quantitativas

Um diagrama de dispersão coloca os pares $(x_i,y_i)$ no plano. Procura direção, forma, grupos e extremos antes de resumir a relação por um coeficiente.

A covariância amostral mede se os desvios em relação às médias tendem a ter o mesmo sinal:

$$
s_{xy}=\frac{1}{n-1}\sum_i(x_i-\bar x)(y_i-\bar y) =\frac{\sum_i x_i y_i-n\bar x\bar y}{n-1}.
$$

Covariância positiva sugere que valores acima da média de X acompanham valores acima da média de Y. Uma covariância negativa sugere sentidos opostos. A sua unidade é o produto das duas unidades e o valor muda quando se muda de escala. Para ver o sinal, centra cada coluna na média e multiplica os desvios de cada par. A soma destes produtos dá o numerador da covariância.

A correlação de Pearson remove a escala:

$$
r=\frac{s_{xy}}{s_Xs_Y},\qquad -1\le r\le1.
$$

É definida quando os dois desvios são positivos. $r=1$ ou $r=-1$ corresponde a uma relação linear perfeita com declive positivo ou negativo. Valores próximos de zero indicam pouca associação **linear**, mas podem coexistir com uma relação curva forte.

## Cálculo da covariância e correlação

Considera $(1,2),(2,4),(3,5),(4,9)$. Temos $\bar x=2,5$, $\bar y=5$, $\sum x_i y_i=61$, $\sum x_i^2=30$ e $\sum y_i^2=126$.

Os produtos dos desvios mostram a origem do numerador:

| Par | $x_i-2,5$ | $y_i-5$ | Produto |
| --- | --- | --- | --- |
| (1,2) | −1,5 | −3 | 4,5 |
| (2,4) | −0,5 | −1 | 0,5 |
| (3,5) | 0,5 | 0 | 0 |
| (4,9) | 1,5 | 4 | 6 |

A soma é 11. Assim,

$$
s_{xy}=\frac{61-4(2,5)(5)}3=\frac{11}3,
$$

 

$$
s_X^2=\frac{30-4(2,5)^2}3=\frac53,\qquad s_Y^2=\frac{126-4(5)^2}3=\frac{26}3.
$$

Assim,

$$
r=\frac{11}{\sqrt{130}}\approx0,9648.
$$

Há uma associação linear positiva forte nesta amostra. Não concluímos que aumentar X cause Y. Pode existir um fator comum, uma seleção particular de unidades ou uma relação causal no sentido inverso.

Converter X de metros em centímetros multiplica a sua covariância com Y por 100 e o seu desvio por 100, deixando $r$ igual. Multiplicar X por um número negativo troca o sinal de $r$. Somar constantes às colunas não altera a covariância nem a correlação.

## Quando zero não significa ausência de relação

A figura compara os quatro pares usados na conta com $x=-2,-1,0,1,2$ e $y=x^2$. No segundo caso, $\bar x=0$ e $\bar y=2$. Os produtos centrados são $-4,1,0,-1,4$: somam zero. Como ambos os desvios são positivos, $r=0$, embora Y seja completamente determinado por X.

r ≈ 0,9648012340510xyy = x²; r = 0\-2\-1012024xy

A correlação descreve a associação linear. A segunda figura mostra uma relação determinística que esse coeficiente não resume.

## Exercícios

Proporções globais e dentro dos grupos

Num grupo A há 30 falhas em 90 unidades; em B há 10 em 20. Calcula a percentagem de falhas em cada grupo e na amostra total. Explica por que comparar 30 com 10 dá uma impressão diferente da comparação dentro dos grupos.

Pista

Escolhe o universo de cada pergunta antes do denominador.

Solução

Em A, $100(30/90)\approx33,33\%$; em B, $100(10/20)=50\%$. Globalmente, $100(40/110)\approx36,36\%$. A tem mais falhas em número absoluto porque tem mais unidades, mas B tem maior proporção. A percentagem global é uma média ponderada pelos tamanhos: $\frac{90}{110}\frac{30}{90}+\frac{20}{110}\frac{10}{20}=\frac{40}{110}$, não a média simples das duas proporções.

Confere a tua resposta:

*   Obtive 33,33% em A e 50% em B.
*   Obtive 36,36% no total usando os tamanhos como pesos.
*   Expliquei a diferença entre contagem e proporção.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/dados-bivariados/#duas-vari%C3%A1veis-categ%C3%B3ricas)

Covariância e correlação

Cinco pares têm médias 3 e 5, soma dos produtos 90 e desvios amostrais 2 e 3. Calcula a correlação de Pearson.

Pista

Calcula a covariância antes de normalizar.

Solução

$s_{xy}=(90-75)/4=3,75$. Assim, $r=3,75/(2\times3)=0,625$. A covariância usa as unidades dos dados; a correlação é adimensional.

Erros frequentes

Não usar n em vez de n−1 num passo e desvios amostrais no outro.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/dados-bivariados/#duas-vari%C3%A1veis-quantitativas)

Correlação zero

Para x = −2, −1, 0, 1, 2 e y = x², a correlação é zero. Pode concluir-se que não há relação? Explica usando os pares.

Pista

Desenha os cinco pontos.

Solução

Não. Cada y é determinado por x². Os termos de covariância para x opostos cancelam-se, dando r=0. Pearson resume uma relação linear; o diagrama revela a relação curva.

Confere a tua resposta:

*   Identifica a relação determinística em forma de parábola.
*   Explica que os produtos centrados de x com y se cancelam por simetria.
*   Distingue ausência de associação linear de ausência de relação.

Erros frequentes

Não interpretar r=0 como prova de independência.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/dados-bivariados/#quando-zero-n%C3%A3o-significa-aus%C3%AAncia-de-rela%C3%A7%C3%A3o)

Conservar os pares

Quatro pares são (1,2), (2,4), (3,5) e (4,9), com r aproximado 0,9648. Baralham-se os y para 9, 2, 4 e 5, mantendo os x por ordem. Calcula o novo r e explica o que aconteceu.

Pista

Os pares deixam de ser os observados.

Solução

Nos pares baralhados, a covariância é menos 1,6667 e r é menos 0,4385. Ordenar em separado troca os parceiros e inventa uma relação nova: a correlação passa de positiva a negativa e tem menor módulo. A covariância soma produtos de desvios do mesmo par, por isso exige os pares originais.

Confere a tua resposta:

*   Calcula r aproximado 0,9648 nos pares originais.
*   Calcula r aproximado menos 0,4385 depois de baralhar.
*   Explica que a fórmula multiplica desvios da mesma unidade.

Erros frequentes

Não calcular a correlação sobre colunas reordenadas.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/dados-bivariados/#duas-vari%C3%A1veis-quantitativas)