# Duas variáveis aleatórias

Distribuições conjuntas, marginais, condicionais, independência e variância de combinações.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/distribuicoes-conjuntas/

Na inspeção de cada peça regista duas variáveis: $X$, que vale 1 se a peça falha e 0 se passa, e $Y$, que vale 1 se há defeito visual e 0 se não há. Precisas de um modelo para o par, não só para cada coluna, pois mesmo sabendo que metade das peças falha e 60% tem defeito visual, não sabemos quantas têm ambos. A distribuição conjunta descreve o par $(X,Y)$ na mesma unidade e permite calcular essa interseção.

## Conjunta, marginais e condicionais

No caso discreto, $f_{X,Y}(x,y)=P(X=x,Y=y)$. As probabilidades da tabela somam 1. As marginais obtêm-se somando linhas ou colunas:

$$
f_X(x)=\sum_y f_{X,Y}(x,y),\qquad f_Y(y)=\sum_x f_{X,Y}(x,y).
$$

Se $f_Y(y)>0$, a distribuição condicional é

$$
P(X=x\mid Y=y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}.
$$

Considera a tabela seguinte:

| $X\backslash Y$ | 0 | 1 | $f_X(x)$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0,3 | 0,2 | 0,5 |
| 1 | 0,1 | 0,4 | 0,5 |
| $f_Y(y)$ | 0,4 | 0,6 | 1 |

Temos $P(X=1)=0,5$, mas $P(X=1\mid Y=1)=0,4/0,6=2/3$. Conhecer Y altera a distribuição de X.

Num modelo contínuo com densidade conjunta, somas dão lugar a integrais: $f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y)dy$, e uma probabilidade corresponde a integrar a densidade sobre a região pedida, não a avaliar a densidade num ponto. Dizer que a densidade vale 2 numa região significa que ela é constante nessa região; a probabilidade continua a ser área ponderada, não altura. Por exemplo, se a densidade conjunta vale 2 na região $0<y<x<1$ e zero fora, a área do triângulo é $1/2$, logo a probabilidade total é 1.

Suporte triangular e limites das marginaisA região 0 menor que y menor que x menor que 1 fica abaixo da diagonal y igual a x. O segmento vertical em x igual a 0,6 vai de y igual a 0 até y igual a 0,6. O segmento horizontal em y igual a 0,4 vai de x igual a 0,4 até x igual a 1. Os extremos não pertencem à região.011xy0,40,6y = xx = 0,6y = 0,40 < y < x < 1

Fixa x e percorre o segmento vertical para obter a marginal de X. Fixa y e percorre o segmento horizontal tracejado para obter a marginal de Y. Os círculos abertos assinalam os extremos excluídos.

Para calcular $f_X(x)$, fixa x e percorre a região na vertical. Em $x=0,6$, y vai de 0 até 0,6; para um x qualquer entre 0 e 1, vai de 0 até x. Assim,

$$
f_X(x)=\int_0^x 2\,dy=2x,\qquad 0<x<1.
$$

Para calcular $f_Y(y)$, fixa y e percorre a região na horizontal. Em $y=0,4$, x vai de 0,4 até 1; para um y qualquer entre 0 e 1, vai de y até 1. Assim,

$$
f_Y(y)=\int_y^1 2\,dx=2(1-y),\qquad 0<y<1.
$$

Fora destes intervalos, as marginais valem zero. Os extremos abertos não alteram as integrais, porque pontos isolados têm probabilidade zero neste modelo contínuo. A probabilidade de $X>1/2$ é $\int_{1/2}^1 2x\,dx=3/4$. Os limites de integração vêm da região, não de um retângulo inventado.

### Probabilidades e condicionais contínuas

No mesmo triângulo, o acontecimento $Y>1/2$ exige $1/2<y<x<1$. Integramos primeiro em y, depois em x:

$$
P(Y>1/2)=\int_{1/2}^1\int_{1/2}^x2\,dy\,dx =\int_{1/2}^1(2x-1)\,dx=1/4.
$$

Se $f_X(x)>0$, a densidade condicional de Y dado X é

$$
f_{Y\mid X=x}(y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}.
$$

Aqui vale $1/x$ para $0<y<x$, e zero fora. Para $X=0,6$, a distribuição condicional de Y é uniforme entre 0 e 0,6. Assim,

$$
P(Y<0,3\mid X=0,6)=\int_0^{0,3}\frac1{0,6}\,dy=1/2.
$$

Não dividimos por $P(X=0,6)$: essa probabilidade é zero. A razão entre **densidades** define a condicional. X e Y são dependentes, pois saber x muda o intervalo de valores possíveis de Y.

## Independência

X e Y são independentes quando a conjunta é o produto das marginais: $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ para todos os pares, no caso discreto, e fatorização da densidade quase em toda a parte no caso contínuo.

Na tabela, $P(X=1,Y=1)=0,4$, mas $P(X=1)P(Y=1)=0,5(0,6)=0,3$; um único par que falhe já demonstra dependência, enquanto para demonstrar independência não basta verificar um único par.

## Covariância e correlação populacionais

Com segundos momentos finitos,

$$
\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),
$$

 

$$
\rho=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y},
$$

quando os dois desvios são positivos. Calcula $E(XY)$ com a conjunta, somando $xyf_{X,Y}(x,y)$, sem usar automaticamente $E(X)E(Y)$: essa igualdade é consequência da independência, não uma regra universal.

No exemplo, $E(X)=0,5$, $E(Y)=0,6$ e $E(XY)=0,4$. Logo, a covariância é $0,4-0,5(0,6)=0,1$. Como X e Y só tomam 0 ou 1, chamamos-lhes indicadores. Para um indicador,

$$
\operatorname{Var}(X)=0,5(0,5)=0,25,\quad \operatorname{Var}(Y)=0,6(0,4)=0,24,
$$

 

$$
\rho=\frac{0,1}{\sqrt{0,25(0,24)}}\approx0,4082.
$$

Independência implica covariância nula. O inverso não vale em geral. Se X toma $-1,0,1$ com igual probabilidade e $Y=X^2$, então $E(X)=E(XY)=0$ e a covariância é zero. Contudo, $P(Y=0\mid X=0)=1$, enquanto $P(Y=0)=1/3$.

## Somar e subtrair

A linearidade da esperança não exige independência:

$$
E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c.
$$

Para a variância,

$$
\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\operatorname{Cov}(X,Y).
$$

Na tabela, $E(X+Y)=1,1$ e $\operatorname{Var}(X+Y)=0,25+0,24+0,2=0,69$. Para a diferença,

$$
\operatorname{Var}(X-Y)=0,25+0,24-0,2=0,29.
$$

A covariância positiva aumenta a variância da soma e reduz a da diferença. É a razão por que o emparelhamento pode melhorar uma comparação: as duas medições da mesma unidade tendem a partilhar variação.

Para variáveis independentes, o termo de covariância desaparece. As variâncias somam-se na soma **e** na diferença; os desvios padrão não se somam. Para observações i.i.d. de variância $\sigma^2$,

$$
\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_iX_i\right)=\sigma^2\sum_{i=1}^n a_i^2.
$$

Por exemplo, $0,4X_1+0,1X_2-0,3X_3+0,2X_4-0,5$ tem variância $(0,16+0,01+0,09+0,04)\sigma^2=0,30\sigma^2$. A constante muda a média, não a variância.

## Exercícios

Subtrair medições dependentes

Var(X)=4, Var(Y)=9 e Cov(X,Y)=3. Calcula Var(X−Y).

Pista

O termo de covariância conserva o sinal dos coeficientes.

Solução

$\operatorname{Var}(X-Y)=4+9-6=7$. A covariância positiva reduz a variância da diferença.

Erros frequentes

Não subtraias as variâncias nem omitas a covariância.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/distribuicoes-conjuntas/#somar-e-subtrair)

Verificar uma conjunta

X e Y são indicadores. P(X=1)=0,4, P(Y=1)=0,5 e P(X=1,Y=1)=0,3. Decide se são independentes e calcula a covariância.

Pista

Para indicadores, o produto vale 1 só quando ambos valem 1.

Mais uma pista

E(XY)=P(X=1,Y=1).

Solução

O produto das marginais é 0,4(0,5)=0,2, diferente de 0,3. Não são independentes. A covariância é 0,3−0,4(0,5)=0,1.

Confere a tua resposta:

*   Compara 0,3 com o produto 0,2 e conclui dependência.
*   Usa E(XY)=0,3 para indicadores.
*   Obtém covariância 0,1.

Erros frequentes

Não impor E(XY)=E(X)E(Y) antes de justificar independência.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/distribuicoes-conjuntas/#independ%C3%AAncia)

Combinação de observações independentes

X1, X2 e X3 são independentes, cada um de variância 10. Calcula a variância de 0,5X1−0,2X2+0,3X3+7.

Pista

Eleva os coeficientes ao quadrado.

Solução

$10(0,5^2+(-0,2)^2+0,3^2)=10(0,25+0,04+0,09)=3,8$. Sem independência, seriam necessários termos de covariância.

Erros frequentes

Não somar coeficientes sem os elevar ao quadrado.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/distribuicoes-conjuntas/#somar-e-subtrair)

Integrar uma região do triângulo

A densidade conjunta vale 2 em $0<y<x<1$ e zero fora. Calcula $P(Y>0,4)$.

Pista

O acontecimento tem limites $0,4<x<1$ e $0,4<y<x$.

Mais uma pista

Integra $2(x-0,4)$ entre 0,4 e 1.

Solução

$$
P(Y>0,4)=\int_{0,4}^1\int_{0,4}^x2\,dy\,dx=\int_{0,4}^1 2(x-0,4)\,dx=(1-0,4)^2=0,36.
$$

Erros frequentes

Não integrar num retângulo: y só pode ir até x. A densidade 2 não é uma probabilidade.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/distribuicoes-conjuntas/#probabilidades-e-condicionais-cont%C3%ADnuas)

Fixar uma variável contínua

A densidade conjunta vale 2 em $0<y<x<1$ e zero fora. Determina a densidade de Y dado $X=0,8$ e calcula $P(0,2<Y<0,6\mid X=0,8)$.

Pista

A condicional é a conjunta dividida pela marginal de X.

Mais uma pista

$f_X(0,8)=1,6$. Conserva também o suporte.

Solução

Temos $f_X(x)=\int_0^x2\,dy=2x$. A condicional é $2/1,6=1,25$ em $0<y<0,8$, e zero fora. A probabilidade é $\int_{0,2}^{0,6}1,25\,dy=0,5$. Embora $P(X=0,8)=0$, a razão de densidades define esta distribuição condicional.

Confere a tua resposta:

*   Obtém a marginal fX(x)=2x para 0<x<1.
*   Obtém densidade condicional 1/0,8 em 0<y<0,8 e zero fora.
*   Integra entre 0,2 e 0,6 e obtém 0,5.
*   Distingue a razão de densidades de uma divisão por P(X=0,8).

Erros frequentes

Não usar densidade 2 sem a normalizar nem dividir por uma probabilidade pontual nula.

[Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/distribuicoes-conjuntas/#probabilidades-e-condicionais-cont%C3%ADnuas)