# Erros e potência de um teste Erros de tipo I e II, região de não rejeição e cálculo da potência numa alternativa concreta. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/erros-potencia/ Uma regra de teste pode rejeitar uma média correta ou deixar passar uma alteração real. As probabilidades desses erros descrevem o comportamento do procedimento entre repetições do estudo. Não são probabilidades atribuídas à decisão já observada. ## Dois erros diferentes | Situação real | Rejeitar $H_0$ | Não rejeitar $H_0$ | | --- | --- | --- | | $H_0$ verdadeira | Erro de tipo I | Decisão correta | | Alternativa verdadeira | Decisão correta | Erro de tipo II | O nível de significância $\alpha$ controla a probabilidade de rejeitar uma nula verdadeira; para uma nula composta, o nível é um limite superior dessa probabilidade dentro da nula. Para uma alternativa concreta $\theta_1$, $\beta(\theta_1)$ é a probabilidade de **não rejeitar** quando esse valor é o verdadeiro, e a potência é $1-\beta(\theta_1)$. Não existe um único valor de $\beta$ para todas as alternativas, porque detetar uma mudança pequena é mais difícil do que detetar uma grande. O valor-p observado também não fornece diretamente $\beta$. ## A região é escolhida sob a nula Considera uma amostra normal, $\sigma=8$, $n=64$, e o teste $H_0:\mu=100$ contra $H_1:\mu>100$, com $\alpha=0,05$. O erro padrão é 1. Rejeitamos quando $$ \bar X>100+z_{0,05}(1)\approx101,6449. $$ O limite foi escolhido para dar 5% de rejeições **quando $\mu=100$**; para calcular a potência noutra média, conservamos a região e mudamos a distribuição usada na probabilidade. ### Potência na média alternativa Se a verdadeira média for 102, $\bar X\sim N(102,1)$. O erro de tipo II é cair na região de não rejeição: $$ \beta(102)=P_{\mu=102}(\bar X\le101,6449) =\Phi(101,6449-102)\approx0,3612. $$ A potência é aproximadamente $0,6388$. A nula é falsa nessa alternativa, mas cerca de 36% das repetições não a rejeitariam. Se n passar a 256, o erro padrão cai para 0,5. Mantendo $\alpha=0,05$, o novo limite é $100+1,6449(0,5)=100,8224$. Em $\mu=102$, $$ \beta(102)=\Phi\left(\frac{100,8224-102}{0,5}\right)\approx0,0093. $$ A potência sobe para aproximadamente 0,9907. O limite de rejeição mudou para conservar $\alpha$; manter o limite antigo seria um procedimento diferente. ## Teste bilateral Se a região de não rejeição for $[L,U]$, numa alternativa normal de média $\mu_1$, $$ \beta(\mu_1)=\Phi\left(\frac{U-\mu_1}{\sigma/\sqrt n}\right)-\Phi\left(\frac{L-\mu_1}{\sigma/\sqrt n}\right). $$ Usa ambos os limites. Com a nula e amostra anteriores, mas alternativa bilateral, $L=98,04$ e $U=101,96$. Em $\mu_1=102$, $\beta\approx0,4840$ e a potência é aproximadamente 0,5160. Em palavras, $\beta$ é a área da distribuição centrada em $\mu_1$ que cai dentro de $[L,U]$, e a potência é a área restante fora desse intervalo. Distribuir $\alpha$ pelas duas caudas torna mais difícil detetar este aumento do que no teste unilateral previamente justificado. ## O que altera a potência Mantendo o resto, aumentar n ou a dimensão real do efeito aumenta a potência, enquanto reduzir $\alpha$ exige uma região de rejeição mais extrema e geralmente reduz a potência. Não se pode prometer simultaneamente menos erros de ambos os tipos sem recolher mais informação ou mudar condições do estudo. Para planeamento de um teste unilateral à direita com $\sigma$ conhecido, diferença positiva $\Delta=\mu_1-\mu_0$ e potência pretendida $1-\beta$, a potência pretendida exige $\beta(\mu_1)\le\beta$. Como $\beta(\mu_1)=\Phi(z_\alpha-\Delta\sqrt n/\sigma)$ e o quantil de cauda esquerda $\beta$ é $-z_\beta$, precisamos de $$ z_\alpha-\frac{\Delta\sqrt n}{\sigma}\le-z_\beta. $$ Isolando n, obtemos $$ n\ge\left(\frac{\sigma(z_\alpha+z_\beta)}{\Delta}\right)^2. $$ Por exemplo, para detetar um aumento de 2, com $\sigma=8$, $\alpha=0,05$ e potência 80%, $z_{0,2}\approx0,8416$. Exige-se $n\ge98,92$, logo 99 unidades. É um cálculo para esse efeito e esse modelo, não para qualquer alternativa. Na figura, conserva a média alternativa 102 e compara a área de não rejeição sob essa distribuição. Os dois painéis usam a mesma escala horizontal: aumentar n concentra ambas as distribuições e aproxima o limite de rejeição da média nula. n = 64; β ≈ 0,36129698100102104106Média amostraln = 256; β ≈ 0,00939698100102104106Média amostral Traço contínuo: nula de média 100; tracejado: alternativa de média 102. A zona sombreada sob a alternativa representa beta. O limite é recalculado em cada n para manter alfa em 0,05. ## Exercícios Calibrar alfa e calcular potência A média amostral tem distribuição normal e desvio 1. Um teste de $H_0:\mu=10$ contra $H_1:\mu>10$ rejeita quando $\bar X>12$. Calcula a probabilidade de erro de tipo I sob a nula, o erro de tipo II na alternativa $\mu=13$ e a potência nessa alternativa. Usa $\Phi(2)=0,97725$ e $\Phi(-1)=0,158655$. Pista Conserva a região de decisão e muda a média usada na probabilidade. Solução Sob a nula, $\alpha=P_{10}(\bar X>12)=1-\Phi(2)=0,02275$. Na alternativa, não rejeitar significa $\bar X\le12$, logo $\beta(13)=\Phi((12-13)/1)=0,158655$. A potência é $1-\beta=0,841345$. O mesmo limite 12 é usado nas duas probabilidades; muda o centro da distribuição. Alfa mede rejeições indevidas sob a nula, beta mede alterações que o teste não deteta nesta alternativa. Confere a tua resposta: * Obtive alfa 0,02275 sob média 10. * Obtive beta 0,158655 sob média 13. * Obtive potência 0,841345 e distingui os dois erros. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/erros-potencia/#a-regi%C3%A3o-%C3%A9-escolhida-sob-a-nula) Mais dados mantendo α Num teste normal à direita para a média com σ conhecido, alternativa fixa $\mu_1>\mu_0$ e α fixo, ao aumentar n explica o que acontece ao erro padrão, ao limite de rejeição em unidades da média e à potência. Pista O quantil padronizado conserva-se, mas a escala muda. Mais uma pista O limite à direita aproxima-se de μ0. Solução O erro padrão diminui. Num teste à direita, o limite aproxima-se de μ0 para manter α fixo. Sob uma média alternativa positiva fixa, uma parcela maior da distribuição cai acima desse limite, aumentando a potência. Conservar o antigo limite alteraria α. Confere a tua resposta: * Explica a redução de σ/√n. * Recalcula o limite μ0+zασ/√n num teste à direita. * Explica o aumento da potência na alternativa positiva fixa. Erros frequentes Não dizer que aumentar n reduz α quando o teste foi recalibrado para o manter. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/erros-potencia/#o-que-altera-a-pot%C3%AAncia)