# Exercícios MT1

Questões de exames antigos de Métodos Estatísticos, com resolução.

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## Estatística descritiva

Média e mediana do número de defeitos

Teste 1, 2021/22

Foi registado o número de defeitos em 120 máquinas de um determinado tipo, escolhidas aleatoriamente. Na tabela, o número de defeitos é 1, 2, 3, 4, 5, 6 e o número de máquinas respetivo é 44, 41, 21, 9, 3, 2. Determine a média $\bar x$ e a mediana $Q_2$ desta amostra.

Solução

$\bar x = 2{,}1$ e $Q_2 = 2$.

O total de defeitos é $\sum n_i x_i = 44+82+63+36+15+12=252$, logo $\bar x=252/120=2{,}1$. As frequências acumuladas são 44 e 85, pelo que $x_{(60)}=x_{(61)}=2$. Como $np=120\cdot0{,}5=60$ é inteiro, $Q_2=(x_{(60)}+x_{(61)})/2=2$.

Confere a tua resposta:

*   A resposta indica $\bar x = 2{,}1$.
*   A resposta indica $Q_2 = 2$.

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Média e desvio padrão de classificações

Teste 1, 2021/22

Foi selecionada uma amostra aleatória de 20 classificações (escala de 0 a 100) de um teste de matemática, com $\sum_{i=1}^{20} x_i = 880{,}4$ e $\sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 40854{,}56$. Determine a média e o desvio padrão amostral dos dados.

Solução

$\bar x = 44{,}02$ e $s \approx 10{,}51$.

$\bar x = 880{,}4/20 = 44{,}02$. A variância amostral é $s^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}\right)=\frac{1}{19}\left(40854{,}56-\frac{880{,}4^2}{20}\right)=\frac{2099{,}352}{19}\approx110{,}49$, logo $s\approx10{,}51$.

Confere a tua resposta:

*   A resposta indica $\bar x = 44{,}02$.
*   A resposta indica $s \approx 10{,}51$.

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Efeito de uma transformação linear na média e no desvio padrão

Teste 1, 2023/24

A média e o desvio padrão de uma amostra de 50 elementos de uma variável $X$ são $\bar x = 3$ mm e $s = 2$ mm. A cada valor observado $x_i$ fez-se corresponder o valor $y_i = 3x_i - 2$. Determine a média $\bar y$ e o desvio padrão $s_y$ dos novos dados $y_i$.

Solução

$\bar y = 7$ mm e $s_y = 6$ mm.

A média transforma-se como os próprios dados: $\bar y = 3\cdot3-2=7$. O desvio padrão é afetado apenas pelo fator multiplicativo: $s_y=|3|\cdot2=6$ mm.

Confere a tua resposta:

*   A resposta indica $\bar y = 7$ mm.
*   A resposta indica $s_y = 6$ mm.

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Valores afastados pelo diagrama de caixa

Teste 1, 2023/24

Considere a amostra aleatória de 22 valores: 43, 25, 15, 34, 28, 33, 22, 32, 47, 26, 31, 26, 20, 38, 30, 36, 30, 31, 32, 25, 28, 49. Usando quartis do tipo 2 e as barreiras $Q_1-1{,}5\,AIQ$ e $Q_3+1{,}5\,AIQ$, indique quais destes valores são valores afastados (outliers).

Solução

Os valores afastados são 47 e 49.

Ordenando os dados, $Q_1=x_{(6)}=26$ (pois $22\cdot0{,}25=5{,}5$) e $Q_3=x_{(17)}=34$ (pois $22\cdot0{,}75=16{,}5$), logo $AIQ=8$. A barreira superior é $34+1{,}5\cdot8=46$ e a inferior é $26-12=14$. Os valores 47 e 49 excedem 46; o valor 15 não fica abaixo de 14.

Confere a tua resposta:

*   A resposta indica $Q_1=26$, $Q_3=34$ e $AIQ=8$.
*   A resposta indica que os valores afastados são 47 e 49.

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## Dados bivariados

Coeficiente de correlação de Pearson com resumo dado

Teste 1, 2023/24

Considere a amostra bivariada $(x_i, y_i)$ com 11 pares: $x$: 5,1, 4,2, 4,6, 4,0, 4,5, 3,2, 3,9, 4,8, 5,2, 4,9, 4,0 e $y$: 3,9, 3,4, 4,2, 4,0, 3,5, 4,5, 4,5, 4,4, 3,9, 4,3, 4,5. Sabendo que $\bar x=4{,}4$, $\bar y=4{,}1$, $s_X=0{,}6033$, $s_Y=0{,}3950$ e $\sum_{i=1}^{11}x_iy_i=197{,}66$, determine o coeficiente de correlação linear amostral de Pearson.

Solução

$r \approx -0{,}3273$.

$r=\frac{\sum x_iy_i-n\bar x\bar y}{(n-1)s_Xs_Y}=\frac{197{,}66-11\cdot4{,}4\cdot4{,}1}{10\cdot0{,}6033\cdot0{,}3950}=\frac{197{,}66-198{,}44}{2{,}3830}=\frac{-0{,}78}{2{,}3830}\approx-0{,}3273$.

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## Probabilidades

Probabilidade condicionada com acontecimentos independentes

Teste 1, 2021/22

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimientos independentes definidos no mesmo espaço de probabilidade, com $P(B)=2/5$ e $P(A)=4/5$. Determine $P(A|B)$.

Solução

$P(A|B)=0{,}8$.

Como $A$ e $B$ são independentes, $P(A|B)=P(A)=4/5=0{,}8$.

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## Variáveis aleatórias

Variância de uma combinação linear de variáveis

Teste 1, 2023/24

Seja $X$ uma variável aleatória contínua com média $\mu_X$ e variância $\sigma_X^2$. Considere uma amostra aleatória $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ dessa população e a variável aleatória $Y = 0{,}4X_1 + 0{,}1X_3 - 0{,}3X_5 + 0{,}2X_n - 0{,}5$. Determine a variância de $Y$.

Solução

$\operatorname{V}(Y)=0{,}30\,\sigma_X^2$.

A constante não altera a variância e, como a amostra é aleatória, as parcelas são independentes: $\operatorname{V}(Y)=(0{,}4^2+0{,}1^2+0{,}3^2+0{,}2^2)\sigma_X^2=(0{,}16+0{,}01+0{,}09+0{,}04)\sigma_X^2=0{,}30\,\sigma_X^2$.

Confere a tua resposta:

*   A resposta usa a independência para somar as variâncias ponderadas pelos quadrados dos coeficientes.
*   A resposta indica $\operatorname{V}(Y)=0{,}30\,\sigma_X^2$.

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## Distribuições

Binomial: no máximo cinco bicos amarelos em seis aves

Teste 1, 2021/22

O bico de determinada espécie de aves pode ser cinzento ou amarelo. Numa certa região, 60% dos indivíduos dessa espécie têm o bico cinzento. Selecionadas aleatoriamente 6 aves dessa região, qual é a probabilidade de no máximo 5 terem o bico amarelo?

Solução

$P(X\le5)\approx0{,}996$.

O número de aves com bico amarelo segue $X\sim B(6, 0{,}4)$. Então $P(X\le5)=1-P(X=6)=1-0{,}4^6=1-0{,}004096=0{,}995904\approx0{,}996$.

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Binomial exata: 50 parafusos do tamanho A em 100

Teste 1, 2021/22

Uma unidade fabril produz parafusos de dois tamanhos: 42,3% são do tamanho A e os restantes do tamanho B. Foi selecionada uma amostra aleatória de 100 parafusos. Qual é a probabilidade de exatamente 50 parafusos dessa amostra serem do tamanho A?

Solução

$P(X=50)\approx0{,}024$.

O número de parafusos do tamanho A segue $X\sim B(100, 0{,}423)$. Assim, $P(X=50)=\binom{100}{50}0{,}423^{50}\,0{,}577^{50}\approx0{,}024$.

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Normal: altura inferior a 1,70 m

Teste 1, 2021/22

A altura dos alunos de Métodos Estatísticos segue uma distribuição normal com valor esperado 1,74 m e desvio padrão 0,07 m. Selecionado ao acaso um aluno, qual é a probabilidade de a sua altura ser inferior a 1,70 m?

Solução

$P(X<1{,}70)\approx0{,}2843$.

Padronizando, $Z=\frac{1{,}70-1{,}74}{0{,}07}\approx-0{,}5714$. Da tabela da normal padrão, $\Phi(-0{,}57)\approx0{,}2843$.

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Binomial: mais de 2 e menos de 6 peixes com mutação

Teste 1, 2023/24

Num determinado lago, a percentagem de peixes de uma dada espécie com uma mutação genética é 5%. Foi selecionada uma amostra aleatória de 15 peixes dessa espécie. Qual é a probabilidade de na amostra existirem mais de 2 e menos de 6 peixes com a mutação?

Solução

$P(2<X<6)\approx0{,}0361$.

O número de peixes com mutação segue $X\sim B(15, 0{,}05)$. Então $P(2<X<6)=P(3\le X\le5)=P(X\le5)-P(X\le2)\approx0{,}9999-0{,}9638=0{,}0361$.

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Aproximação normal: pelo menos 50 sem hipertensão em 100

Teste 1, 2023/24

Num determinado país, a probabilidade de uma pessoa necessitar de tratamento para a hipertensão é 0,4. Numa amostra aleatória de 100 indivíduos desse país, qual é, aproximadamente, a probabilidade de pelo menos 50 não necessitarem de tratamento?

Solução

$P(X\ge50)\approx0{,}9838$.

O número de indivíduos sem hipertensão segue $X\sim B(100, 0{,}6)$, com $\mu=60$ e $\sigma=\sqrt{100\cdot0{,}6\cdot0{,}4}=\sqrt{24}\approx4{,}899$. Com correção de continuidade, $P(X\ge50)\approx P\!\left(Z\ge\frac{49{,}5-60}{4{,}899}\right)=P(Z\ge-2{,}14)\approx0{,}9838$.

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Distribuição da média de 10 capacidades normais

Teste 1, 2023/24

A capacidade de cada garrafa de um dado tipo é normalmente distribuída com média 500 ml e desvio padrão 10 ml. Seja $Y$ a variável aleatória que representa a capacidade média de 10 garrafas de uma amostra aleatória simples. Indique a distribuição de $Y$ (média e variância).

Solução

$Y\sim N(500, 10)$, isto é, média 500 ml e variância 10 ml².

A média de variáveis normais independentes é normal. Tem-se $E(Y)=500$ e $\operatorname{V}(Y)=\frac{10^2}{10}=10$, logo $Y\sim N(500, 10)$.

Confere a tua resposta:

*   A resposta indica que $Y$ segue uma distribuição normal.
*   A resposta indica média 500 ml e variância 10 ml² (desvio padrão $\sqrt{10}\approx3{,}16$ ml).

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