# Cheat sheet

Fórmulas, condições e escolhas rápidas, com ligações às explicações.

Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/folha-consulta/

## Desenho: o que cada operação autoriza

| Operação | Autoriza | Não autoriza |
| --- | --- | --- |
| Seleção aleatória | Generalizar para a população | Comparação causal |
| Atribuição aleatória | Comparação causal entre condições | Generalização automática |
| Estratificar (recolha) | Estimar com pesos populacionais: $\sum w_h\bar x_h$ | Dispensar a ponderação |
| Bloquear (experiência) | Reduzir variação de fatores conhecidos | Tratar blocos como réplicas independentes |
| Emparelhar | Analisar diferenças $D_i=X_i-Y_i$ | Tratar $2n$ medições como independentes |

[Detalhe do desenho](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/estudo-e-amostragem/): amostra maior não corrige seleção voluntária. Independência exigida entre pares, não dentro do par.

## Descritiva: resumos e condições

| Tarefa | Relação | Condição e erro |
| --- | --- | --- |
| Centro | $\bar x=\sum x_i/n$; mediana divide ao meio; moda é máximo de frequência | Média sensível a extremos; centros de classes dão aproximação |
| Quantil tipo 2, $0<p<1$ | $np$ inteiro: $(x_{(np)}+x_{(np+1)})/2$; senão: $x_{(\lfloor np\rfloor+1)}$ | Confirmar a convenção do programa |
| Dispersão | $s^2=(\sum x_i^2-n\bar x^2)/(n-1)$, $n\ge2$; $AIQ=Q_3-Q_1$ | $s$ tem a unidade dos dados; $s^2$ tem a unidade ao quadrado |
| Transformação $Y=aX+b$ | $\bar y=a\bar x+b$; $s_Y=\|a\|s_X$ | Desvio nunca negativo; $b$ não entra na dispersão |
| Histograma | Altura $=f_j/h_j$; **área** $=$ frequência | Larguras diferentes: comparar áreas, não alturas |
| Caixa modificada | Barreiras $Q_1-1,5AIQ$, $Q_3+1,5AIQ$ | Bigodes nas observações dentro das barreiras; assinalar fora sem apagar |

[Explicações](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/estatistica-descritiva/) · [Bivariados](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/dados-bivariados/): $s_{xy}=\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)/(n-1)$, $r=s_{xy}/(s_Xs_Y)$. Correlação mede associação **linear**; conserva os pares. $r=0$ não exclui relação curva.

## Probabilidade e variáveis

| Tarefa | Relação | Condição e erro |
| --- | --- | --- |
| União | $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ | Subtrair a interseção contada duas vezes |
| Condicionada | $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ | Exige $P(B)>0$; $P(A\mid B)\ne P(B\mid A)$ em geral |
| Independência | $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ | Incompatibilidade com $P>0$ não é independência |
| Partição e Bayes | $P(A)=\sum_iP(B_i)P(A\mid B_i)$; $P(B_j\mid A)=P(B_j)P(A\mid B_j)/P(A)$ | Partição disjunta, exaustiva, $P(B_i)>0$; $P(A)>0$ |
| Acumulada | $F(x)=P(X\le x)$; $P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$ | Salto em $x$ vale $P(X=x)$; discreta: fronteiras importam |
| Densidade | $\int f_X=1$; probabilidades são áreas; $P(X=x)=0$ | Altura pode exceder 1; área total é 1 |
| Momentos | $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$; $E(aX+b)=aE(X)+b$; $V(aX+b)=a^2V(X)$ | Em geral $E(g(X))\ne g(E(X))$ |
| Conjunta | Marginais por soma ou integral | Condicional é razão de densidades, não divisão por $P(X=x)=0$ |
| Covariância | $\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ | Independência implica covariância nula; o inverso falha |
| Combinações | $V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)+2ab\operatorname{Cov}$ | Variâncias somam-se na soma **e** na diferença |

[Probabilidades](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/probabilidades/) · [Variáveis](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/variaveis-aleatorias/) · [Conjuntas](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/distribuicoes-conjuntas/)

## Modelos: reconhecer pelas hipóteses

| Modelo | Hipóteses | Momentos e leitura |
| --- | --- | --- |
| Binomial $B(n,p)$ | n fixo, dois resultados, independência, p constante | $P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$; média $np$, variância $np(1-p)$; $P(X\ge k)=1-F(k-1)$ |
| Normal $N(\mu,\sigma^2)$ | $\sigma>0$ é desvio; segundo parâmetro é **variância** | $Z=(X-\mu)/\sigma$; $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$; $\mu\pm k\sigma$ descreve a população, não IC |
| $t_\nu$, $\chi^2_\nu$, $F$ | Construções com normais padrão independentes | Quantis críticos de **cauda direita**; $z_{0,05}=1,6449$, $z_{0,025}=1,9600$, $z_{0,005}=2,5758$ |
| Hipergeométrica | n escolhas sem reposição de N com K sucessos | $P(X=k)=\binom Kk\binom{N-K}{\,n-k\,}/\binom Nn$ |
| Poisson / Exponencial | Taxa $\lambda>0$ constante, ocorrências independentes | Poisson: média e variância $\lambda$; espera: $P(X>t)=e^{-\lambda t}$, média $1/\lambda$ |

[Distribuições e tabelas](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/distribuicoes/): trocar sucessos por insucessos lê colunas $p$ indisponíveis ($n-X\sim B(n,1-p)$).

## Amostragem: distribuição da estatística

| Estatística | Distribuição | Condição e erro |
| --- | --- | --- |
| $\bar X$ | $E(\bar X)=\mu$, $V(\bar X)=\sigma^2/n$, $SE=\sigma/\sqrt n$ | População normal: exato para qualquer n; senão: TLC com i.i.d., momentos finitos, n adequado |
| $\widehat P=X/n$ | Média $p$, variância $p(1-p)/n$ | Ajustada $\widetilde P=(X+2)/(n+4)$: centro e variância próprios; não misturar |
| Binomial → normal | $Y\sim N(np,np(1-p))$ | Critério $n>25$, $\min(np,n(1-p))>5$; correção: $X\le k\to Y<k+0,5$; $X\ge k\to Y>k-0,5$; $X=k\to$ faixa de largura 1 |

[Amostragem e limite central](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/amostragem-limite-central/): $s/\sqrt n$ estima dispersão de médias; $s$ mede dispersão de dados.

## Intervalos: estimativa ± quantil × erro padrão

A confiança cobre o parâmetro nessa proporção de repetições, sob o modelo. Parâmetro fixo, limites aleatórios. Não é percentagem de observações.

| Alvo | Intervalo | Quantil e erro padrão |
| --- | --- | --- |
| Uma média, normal, $\sigma$ conhecido | $\bar x\pm c\cdot SE$ | $z_{\alpha/2}$, $\sigma/\sqrt n$; exato |
| Uma média, normal, $\sigma$ desconhecido | $\bar x\pm c\cdot SE$ | $t_{\alpha/2,n-1}$, $s/\sqrt n$; exato, incluindo n grande |
| Uma média, não normal, n grande | $\bar x\pm c\cdot SE$ | z aproximado, $s/\sqrt n$ (ou $\sigma/\sqrt n$) |
| Diferença, grupos independentes | $(\bar x_1-\bar x_2)\pm c\cdot SE$ | Welch: $SE=\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}$, graus calculados |
| Diferença, variância comum justificada | $(\bar x_1-\bar x_2)\pm c\cdot SE_p$ | $s_p^2=((n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2)/(n_1+n_2-2)$; graus $n_1+n_2-2$ |
| Diferença emparelhada | $\bar d\pm c\cdot s_D/\sqrt n$ | $t_{\alpha/2,n-1}$; normalidade das **diferenças**, independência entre pares |
| Proporção, mais quatro a 95% | $\tilde p\pm1,96\sqrt{\tilde p(1-\tilde p)/(n+4)}$ | $\tilde p=(x+2)/(n+4)$; não misturar centro de um método com erro de outro |
| Proporção, Wald | $\hat p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$ | Contagens adequadas; frágil perto de 0 ou 1; zero sucessos dá largura zero |
| Diferença de proporções a 95% | $(\tilde p_1-\tilde p_2)\pm1,96\cdot SE$ | Mais dois por grupo: $\tilde p_i=(x_i+1)/(n_i+2)$ |
| Unilateral | $[L;1]$ ou $[0;U]$ com $z_\alpha$ (ou $t_{\alpha}$) | Uma só cauda usa $\alpha$; cortar a $[0,1]$; escolher o sentido antes dos dados |

[Uma média](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/intervalos-confianca/) · [Duas médias](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/comparacao-medias/) · [Proporções](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/proporcoes/)

Margem $\varepsilon$ para média: $n\ge(z_{\alpha/2}\sigma/\varepsilon)^2$, arredondar para cima. Margem não é erro padrão. Com t no planeamento, iterar porque o quantil depende de n. Mais quatro a 95%: $n\ge1,96^2p_*(1-p_*)/\varepsilon^2-4$; sem estimativa, $p_*=0,5$.

## Testes: estatística, valor-p e decisão

| Alternativa | Valor-p (referência contínua simétrica G) | Região crítica t |
| --- | --- | --- |
| Bilateral | $2[1-G(\lvert t\rvert)]$ | $\lvert t\rvert\ge t_{\alpha/2,\nu}$ |
| À direita | $1-G(t)$ | $t\ge t_{\alpha,\nu}$ |
| À esquerda | $G(t)$ | $t\le-t_{\alpha,\nu}$ |

Estatística $=$ (estimativa − valor nulo)$/$SE. Rejeitar se valor-p $\le\alpha$, com $\alpha$ fixado antes. Não rejeitar não prova igualdade; valor-p não é $P(H_0\mid\text{dados})$.

| Teste | Estatística sob a nula | Condição e erro |
| --- | --- | --- |
| Uma proporção | $z=(\hat p-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$ | $np_0,n(1-p_0)\ge10$; denominador usa **$p_0$** |
| Igualdade de proporções | $z=(\hat p_1-\hat p_2)/\sqrt{\bar p(1-\bar p)(1/n_1+1/n_2)}$ | $\bar p=(x_1+x_2)/(n_1+n_2)$; só testa $\delta_0=0$ |
| Teste t de uma média | $t=(\bar x-\mu_0)/(s/\sqrt n)$ | População normal (ou n grande); teste compatível com o IC bilateral |
| Welch / variância comum / pares | $(\bar x_1-\bar x_2-\delta_0)/SE$; pares: $(\bar d-\delta_0)/(s_D/\sqrt n)$ | Escolher o modelo antes da cauda |

[Testes](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/testes-hipoteses/) · [Erros e potência](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/erros-potencia/): tipo I rejeita nula verdadeira ($\alpha$); tipo II não rejeita numa alternativa concreta ($\beta$); potência $1-\beta$. Calcular $\beta$ na região de não rejeição com a distribuição da alternativa. Sem alternativa concreta não há potência única.

[Aleatorização](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/aleatorizacao/): respeitar desenho e permutabilidade (distribuições iguais, não só médias iguais). Contar atribuições pelo menos tão extremas, incluindo empates e a observada. Pares: trocar só dentro de cada par. Simulação: $(b+1)/(B+1)$; zero extremos simulados não é $p=0$.

## Qui-quadrado: contagens contra esperadas

| Pergunta | $H_0$ e esperadas | Graus |
| --- | --- | --- |
| Ajustamento | Probabilidades fixas $p_i$; $E_i=np_i$ | $k-1$ (menos $r$ se $r$ parâmetros estimados) |
| Independência (uma amostra, duas variáveis) | $E_{ij}=O_{i\cdot}O_{\cdot j}/n$ | $(r-1)(c-1)$ |
| Homogeneidade (grupos distintos, uma variável) | $E_{ij}=O_{i\cdot}O_{\cdot j}/n$ | $(r-1)(c-1)$ |

$Q=\sum(O-E)^2/E$, cauda **direita**. Unidades independentes, contadas uma vez, categorias exclusivas e exaustivas. Critério: $E\ge5$ em todas as células (não $O\ge5$). Usar contagens, não percentagens. Sem correção, $Q=z^2$ do teste bilateral correspondente; com direção, usar o teste z. Rejeição global não identifica pares; reportar a dimensão observada.

[Qui-quadrado](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/qui-quadrado/) · [Medianas de Mood](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/qui-quadrado/#comparar-medianas-por-uma-tabela-de-contagens): mesma mediana global como limiar, regra de empates explícita; testa medianas, não médias, sem estimar a distância.