# Inferência para proporções Wald, Agresti–Coull, dimensão da amostra e testes para uma ou duas proporções. Página: https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/proporcoes/ Em 100 peças independentes, 20 falham. A proporção observada $\hat p=0,20$ estima a probabilidade populacional de falha p. Como a contagem muda entre amostras, precisamos de uma margem para a estimativa. Num teste, precisamos também de uma referência calculada sob a hipótese nula. ## Intervalo de Wald O erro padrão estimado é $\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$. O intervalo aproximado de Wald é $$ \hat p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}. $$ Requer uma aproximação normal adequada, com contagens de sucessos e insucessos suficientemente grandes. É frágil perto de 0 ou 1 e em amostras pequenas. Se x for zero, produz erroneamente largura zero; isso não demonstra que p seja zero. ## Limites unilaterais Para uma confiança aproximada $1-\alpha$, Wald usa $z_\alpha$ num limite unilateral: $$ L=\hat p-z_\alpha\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n},\qquad U=\hat p+z_\alpha\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}. $$ O intervalo inferior é $[L;1]$ e o superior é $[0;U]$, com limites cortados ao domínio $[0,1]$ se necessário; mantêm-se as condições e limitações de Wald. **Exemplo.** Em 100 unidades independentes existem 20 falhas. Temos $\hat p=0,20$ e erro padrão 0,04. Para limitar a proporção de falhas por cima com 95% de confiança, usa $z_{0,05}=1,6449$: $$ U=0,20+1,6449(0,04)\approx0,2658. $$ O intervalo é $[0;0,2658]$. Um limite inferior a 95% seria 0,1342, dando $[0,1342;1]$; juntar os dois limites dá um intervalo **bilateral a 90%**, não a 95%. Escolhe a direção antes de observar os dados. Também se pode construir um limite ajustado. No Agresti–Coull geral, usa $z_\alpha^2$ no ajustamento e $z_\alpha$ na margem unilateral. Se o enunciado fixa mais quatro, conserva essa convenção e identifica a aproximação usada. ## Agresti–Coull a 95%: mais quatro Uma alternativa ajusta as contagens adicionando dois sucessos e dois insucessos: $$ \tilde n=n+4,\qquad \tilde p=\frac{x+2}{n+4}, $$ $$ IC_{95\%}\approx\tilde p\pm1,96\sqrt{\frac{\tilde p(1-\tilde p)}{n+4}}. $$ Este é o ajustamento **mais quatro** de Agresti–Coull, usado aqui como método de referência a 95%. As observações adicionadas são um recurso de cálculo; não foram recolhidas. O centro é a proporção ajustada, não necessariamente $\hat p$. ### Intervalo mais quatro Em 30 unidades, cinco apresentam a característica. $\hat p=5/30\approx0,1667$. Para o ajustamento, $$ \tilde p=7/34\approx0,2059,\qquad \widehat{SE}\approx0,06935. $$ A margem é aproximadamente 0,13591 e o intervalo é $[0,06997;0,34180]$, ou cerca de 7,0% a 34,2%. Wald daria aproximadamente $[0,03331;0,30003]$. Identifica o método; não mistures o centro de um com o erro padrão do outro. 5 falhas em 30 peçasWaldMais quatro00,10,20,30,4Probabilidade de falha p Mesmos dados e confiança de 95%, métodos diferentes. O ajustamento desloca o centro em direção a 0,5; não basta alargar o intervalo de Wald. Se um limite calculado sai de $[0,1]$, restringe o intervalo a esse domínio e conserva os extremos possíveis 0 ou 1. Cortar os limites não transforma o método num procedimento exato. ### Outras confianças e Wilson Ver ajustamento geral e Wilson Mais quatro é uma aproximação particular para 95%. No ajustamento geral de Agresti–Coull, substitui-se 4 por $z_{\alpha/2}^2$ e 2 por $z_{\alpha/2}^2/2$: $$ \tilde n=n+z_{\alpha/2}^2,\qquad \tilde p=\frac{x+z_{\alpha/2}^2/2}{\tilde n},\qquad IC\approx\tilde p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\tilde p(1-\tilde p)}{\tilde n}}. $$ A 99%, o acréscimo total é aproximadamente 6,635, não 4. Se o enunciado fixa um ajustamento particular, usa-o e declara-o. O intervalo de **Wilson score** é outro método, obtido invertendo o teste de score; não é exatamente esta fórmula. O nome do centro ajustado não torna os dois intervalos iguais. ## Dimensionar a amostra Para Wald, com proporção de planeamento $p_*$ e margem $\varepsilon$, $$ n\ge\frac{z_{\alpha/2}^2p_*(1-p_*)}{\varepsilon^2}. $$ Sem uma estimativa prévia, usa $p_*=0,5$, pois $p(1-p)\le1/4$. Com 95% e margem 0,05, a conta com 1,96 dá $n\ge384,16$, logo 385. Para mais quatro a 95%, usando o mesmo raciocínio, $$ n\ge\frac{1,96^2p_*(1-p_*)}{\varepsilon^2}-4. $$ Sem estimativa prévia, bastam 381 pelo critério de margem desse intervalo aproximado; não é uma garantia de cobertura exata. Para reduzir a margem a metade, mantendo p de planeamento e confiança, quadruplica-se **n+4**: partir de n igual a 200 aponta para n igual a 812, antes de outros arredondamentos. Usar limites de um intervalo já arredondado pode alterar o resultado de planeamento. ## Testar uma proporção Para $H_0:p=p_0$, sob condições $np_0\ge10$ e $n(1-p_0)\ge10$, usa $$ Z_0=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\ \approx N(0,1). $$ O erro padrão usa **$p_0$**, porque a distribuição de referência é calculada sob a nula. Não usa $\tilde p$ nem $\hat p$ no denominador. Escolhe a cauda segundo $H_1$. **Exemplo.** Em 200 unidades, 30 falham. Queremos saber se a proporção é inferior a 20%: $H_0:p=0,20$, $H_1:p<0,20$. As contagens esperadas sob a nula são 40 e 160, satisfazendo as condições. $$ z=\frac{0,15-0,20}{\sqrt{0,20(0,80)/200}}\approx-1,7678. $$ O valor-p à esquerda é $\Phi(-1,7678)\approx0,03855$. A 5%, há evidência de uma proporção inferior a 20%. Para a pergunta bilateral, o valor-p seria aproximadamente 0,07710 e não rejeitaríamos. Quando a aproximação falha, um teste binomial exato pode ser apropriado; não uses a normal por hábito. ## Diferença entre duas proporções Para grupos independentes, o alvo é $p_1-p_2$. Wald usa centro $\hat p_1-\hat p_2$ e erro padrão $$ \sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}. $$ No ajustamento a 95% **mais dois por grupo**, usa-se $$ \tilde p_i=\frac{x_i+1}{n_i+2},\quad IC\approx(\tilde p_1-\tilde p_2)\pm1,96\sqrt{\frac{\tilde p_1(1-\tilde p_1)}{n_1+2}+\frac{\tilde p_2(1-\tilde p_2)}{n_2+2}}. $$ Adicionamos um sucesso e um insucesso a cada grupo, não dois de cada a cada grupo. Restringe limites ao domínio $[-1,1]$ se necessário. **Exemplo.** Os grupos têm 40 sucessos em 50 e 20 em 40. As proporções ajustadas são $41/52\approx0,7885$ e $21/42=0,5$. O centro é 0,2885 e o erro padrão aproximadamente 0,09571. O intervalo a 95% é aproximadamente $[0,1009;0,4760]$: os dados apoiam uma maior proporção no primeiro grupo, sob as condições do estudo. ## Testar igualdade de duas proporções Sob $H_0:p_1=p_2$, estima-se a proporção **comum** por $$ \bar p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2},\qquad Z_0=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\bar p(1-\bar p)(1/n_1+1/n_2)}}. $$ Verifica que as contagens esperadas de sucessos e insucessos em **cada grupo** são suficientemente grandes. Esta fórmula com proporção comum testa igualdade. Não se aplica diretamente a $H_0:p_1-p_2=\delta_0$ com $\delta_0\ne0$. No exemplo, $\bar p=60/90=2/3$, o erro padrão sob a nula é 0,1 e $z=3$; o valor-p bilateral é aproximadamente 0,00270. Sem correção de continuidade, o quadrado de z coincide com o qui-quadrado da tabela 2 por 2. As fórmulas desta página pressupõem grupos independentes: respostas binárias antes e depois nas mesmas pessoas requerem um método para dados emparelhados, não estas duas proporções independentes. ## Exercícios Planeamento sem estimativa Para mais quatro a 95%, com z=1,96 e sem estimativa prévia, qual o menor n que satisfaz margem não superior a 0,04? Pista Maximiza p(1−p) por 1/4. Solução O limite é 600,25−4=596,25. Arredondando para cima, n=597. Pelo método Wald seriam 601 unidades com os mesmos números. Erros frequentes Não usar n=596 nem confundir o tamanho real com n+4. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/proporcoes/#dimensionar-a-amostra) Qual p vai no erro padrão? Em 100 ensaios há 65 sucessos. Testa-se H0:p=0,5 contra p>0,5. Calcula z para o teste normal sem correção de continuidade. Pista A referência é a hipótese p0=0,5. Solução $z=(0,65-0,5)/0,05=3$. As contagens nulas são 50 e 50. O valor-p à direita é aproximadamente 0,00135. Erros frequentes Não usar p̂=0,65 ou o centro ajustado no denominador do teste de score. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/proporcoes/#testar-uma-propor%C3%A7%C3%A3o) Diferença ajustada com grupos grandes Dois grupos independentes de 100 peças têm 80 e 40 sucessos. Constrói um IC de 95% para $p_1-p_2$ com mais dois por grupo e quantil 1,96. Explica por que se acrescenta um sucesso e um insucesso a cada grupo e interpreta os limites. Pista Calcula primeiro as duas proporções ajustadas. Solução Usamos $\tilde p_1=81/102\approx0,79412$ e $\tilde p_2=41/102\approx0,40196$. O centro é $40/102\approx0,39216$. Acrescentar um sucesso e um insucesso aumenta cada tamanho em 2, não em 4. O erro padrão é $\sqrt{\tilde p_1(1-\tilde p_1)/102+\tilde p_2(1-\tilde p_2)/102}\approx0,06293$. A margem é cerca de 0,12333 e o intervalo $[0,26882;0,51549]$. Sob as condições do método aproximado, aponta para uma proporção superior no primeiro grupo, com diferença entre cerca de 26,9 e 51,5 pontos percentuais. Confere a tua resposta: * Usei mais dois em cada grupo, não mais quatro. * Obtive centro aproximado 0,39216 e erro padrão 0,06293. * Interpretei IC aproximado \[0,26882;0,51549\] em pontos percentuais. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/proporcoes/#diferen%C3%A7a-entre-duas-propor%C3%A7%C3%B5es) Zero sucessos não elimina incerteza Em oito observações independentes não houve sucessos. Wald dá intervalo \[0;0\]. Explica por que esse resultado não demonstra p=0 e o que muda com mais quatro. Pista P(X=0)=(1−p)^8 pode ser positivo para p>0. Mais uma pista A estimativa ajustada já não é zero. Solução Wald usa p̂=0 e dá largura nula, mostrando a fragilidade do método. Se p=0,1, por exemplo, a probabilidade de zero sucessos é 0,9^8≈0,4305. Mais quatro usa p̃=2/12 e uma margem positiva; restringe-se o intervalo a \[0,1\]. Continua a ser um método aproximado. Confere a tua resposta: * Identifica o erro padrão Wald igual a zero na fronteira. * Explica que p positivo pode gerar zero sucessos numa amostra pequena. * Obtém centro ajustado 2/12 e uma margem positiva, com corte ao domínio se necessário. Erros frequentes Não interpretar ausência observada como impossibilidade populacional. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/proporcoes/#intervalo-de-wald) Limitar uma proporção por cima Em 100 unidades independentes de uma população, 30 apresentam uma falha. Constrói um intervalo de Wald que limite p por cima com confiança aproximada de 95%. Usa $z_{0,05}=1,6449$ e $z_{0,025}=1,96$. Justifica a escolha do quantil. Pista Um limite superior concentra toda a área α na cauda relevante. Mais uma pista O erro padrão é $\sqrt{0,3(0,7)/100}$. Solução Temos $\hat p=0,3$ e $SE\approx0,04583$. O limite é $U=0,3+1,6449(0,04583)\approx0,3754$, dando $[0;0,3754]$. As contagens observadas são 30 e 70. A confiança é aproximada e depende do modelo. O quantil 1,96 repartiria α pelas duas caudas de um intervalo bilateral a 95%. Confere a tua resposta: * Obtém p̂=0,3 e erro padrão aproximado 0,04583. * Usa z0,05=1,6449 no limite unilateral e obtém U≈0,3754. * Escreve o intervalo \[0;0,3754\] e identifica a aproximação de Wald. * Explica que 1,96 corresponde a 95% bilateral e mantém as condições de independência e contagens adequadas. Erros frequentes Não usar α/2 num limite unilateral nem apresentar apenas U sem dizer qual o intervalo. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/proporcoes/#limites-unilaterais) Testar duas proporções com referência comum Dois grupos independentes têm, respetivamente, 60 sucessos em 100 unidades e 40 em 100. Testa a igualdade de proporções contra uma alternativa bilateral a 1%, sem correção de continuidade. Para a conta, $\Phi(2,8284)\approx0,997661$. Pista O erro padrão do teste de igualdade usa a proporção comum sob H0. Mais uma pista $\bar p=(60+40)/200=0,5$. Verifica as contagens de cada grupo. Solução Sob $H_0:p_1=p_2$, $\bar p=0,5$ e cada grupo tem contagens esperadas 50 e 50. O erro padrão é $\sqrt{0,5(0,5)(1/100+1/100)}\approx0,07071$. Logo, $z=(0,6-0,4)/0,07071\approx2,8284$ e o valor-p bilateral é $2(1-0,997661)\approx0,00468<0,01$. Rejeitamos a igualdade. Os dados apoiam uma diferença, com maior proporção observada no primeiro grupo; o desenho determina se podemos atribuir uma causa. Confere a tua resposta: * Formula H0:p1=p2 e H1:p1≠p2. * Obtém proporção comum 0,5 e contagens esperadas 50 sucessos e 50 insucessos em cada grupo. * Obtém erro padrão 0,07071, z≈2,8284 e valor-p≈0,00468. * Rejeita a 1% e conclui diferença entre as proporções, sob as condições do estudo. Erros frequentes Não usar o erro padrão ajustado do intervalo no teste nem esquecer a segunda cauda. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/proporcoes/#testar-igualdade-de-duas-propor%C3%A7%C3%B5es) Intervalo ajustado e uma afirmação sobre a população Em 16 peças independentes, duas falham. Constrói um IC de 95% para a proporção de falhas pelo ajustamento mais quatro, usando 1,96. Compara o centro com a proporção natural e decide se o intervalo sustenta a afirmação de que a proporção populacional é inferior a 10%. Pista Compara a afirmação com todos os valores admitidos pelo intervalo. Solução A proporção natural é $2/16=0,125$. O centro ajustado é $(2+2)/(16+4)=0,20$, com $SE=\sqrt{0,2(0,8)/20}\approx0,08944$. A margem é cerca de 0,17531, logo $IC\approx[0,02469;0,37531]$. O intervalo inclui proporções acima de 10%, portanto não sustenta a afirmação pedida. Este é um intervalo aproximado para p, não um intervalo que contenha 95% das respostas binárias nem uma inversão automática de qualquer teste. Confere a tua resposta: * Obtive centro 0,20, diferente de 0,125. * Obtive margem 0,17531 e limites 0,02469 e 0,37531. * Não afirmei proporção inferior a 10%. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/cadeiras/me/proporcoes/#intervalo-mais-quatro)