# Animações com Manim

Somar vetores e aproximar uma tangente, com animações que acompanham o tema de leitura.

Página: https://resumos.rgo.pt/exemplo/animacoes/

Uma animação ajuda quando queremos seguir uma mudança. Aqui vamos deslocar um vetor e aproximar dois pontos de uma curva. As animações repetem-se enquanto estão visíveis. Toca ou clica na imagem para parar e continuar. Com o botão focado, também podes usar Espaço ou Enter. Se preferes movimento reduzido no sistema, começam paradas. A explicação também fica no texto.

## Somar dois vetores

Um vetor descreve um deslocamento. No plano, $u = (3, 1)$ significa avançar três unidades na horizontal e uma na vertical. Já $v = (1, 2)$ avança uma na horizontal e duas na vertical.

Para somar os deslocamentos, colocamos o início de $v$ na ponta de $u$. Mover o desenho de $v$ não muda o seu comprimento nem a sua direção. O vetor soma vai do ponto de partida de $u$ até à nova ponta de $v$.

[Animação: Um deslocamento a seguir ao outro](https://resumos.rgo.pt/manim/soma-vetores/8e55f39776738ee7/feup-light-red.mp4)

**Um deslocamento a seguir ao outro.** O vetor v desloca-se até começar na ponta de u. Surge então a seta u + v, que liga o ponto de partida ao ponto final. O deslocamento total é de quatro unidades na horizontal e três na vertical.

Por coordenadas, obtemos o mesmo resultado:

$$
u + v = (3, 1) + (1, 2) = (3 + 1, 1 + 2) = (4, 3).
$$

O traço interrompido conserva a posição inicial de $v$. Permite confirmar que só o deslocámos, sem o rodar ou esticar.

## Aproximar uma tangente

Considera a função $f(x) = x^2$ no ponto $x = 1$. Uma **secante** passa por dois pontos da curva. Fixamos o primeiro em $(1, 1)$ e colocamos o segundo em $(1+h, (1+h)^2)$, com $h > 0$.

O declive da secante é a variação na vertical dividida pela variação na horizontal:

$$
\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2-1}{h} = \frac{2h+h^2}{h} = 2+h.
$$

Na última passagem dividimos por $h$, por isso precisamos de $h \neq 0$. Ao diminuir $h$, aproximamos o segundo ponto do primeiro. Observa o que acontece ao declive.

[Animação: Da secante para a tangente](https://resumos.rgo.pt/manim/secante-tangente/a1fbeaa3b43427e5/feup-light-red.mp4)

**Da secante para a tangente.** Um ponto fica fixo em (1, 1). O segundo aproxima-se dele sobre a parábola. Quando h diminui de 1,50 para 0,05, o declive da secante diminui de 3,50 para 2,05 e a reta aproxima-se da tangente.

A animação termina em $h = 0{,}05$. A reta que vemos ainda é uma secante. O limite permite concluir o que nenhum número finito de fotogramas consegue mostrar:

$$
f'(1) = \lim_{h \to 0}(2+h) = 2.
$$

A expressão $2+h$ também vale para $h<0$, por isso obtemos o mesmo limite ao aproximar o ponto pela esquerda.

Assim, a tangente tem declive 2 e passa por $(1,1)$. A sua equação é $y-1 = 2(x-1)$, ou $y = 2x-1$.

## Acrescentar uma animação

O [Manim Community](https://docs.manim.community/en/stable/) gera os vídeos a partir de cenas em Python. Os exemplos desta página são próprios do projeto. Podes consultar [a soma de vetores](https://github.com/rodrgds/resumos/blob/main/src/content/exemplo/vetores.py) e [a secante](https://github.com/rodrgds/resumos/blob/main/src/content/exemplo/derivada.py).

Numa página MDX, usa o componente e escreve uma descrição que permita acompanhar a mudança sem reproduzir o vídeo:

```
import Manim from '../../../components/Manim.astro';

<Manim
  animation="soma-vetores"
  title="Um deslocamento a seguir ao outro"
  description="O vetor v começa na ponta de u. A soma liga o ponto de partida ao ponto final e tem coordenadas (4, 3)."
/>
```

O [guia de contribuição](https://github.com/rodrgds/resumos/blob/main/CONTRIBUTING.md#anima%C3%A7%C3%B5es-com-manim) explica como registar e gerar uma cena. Experimenta também mudar a paleta e o modo claro ou escuro no menu de aparência. O vídeo acompanha os temas disponíveis e mantém a posição de reprodução.