# Texto e fórmulas Um exemplo simples, escrito em Markdown. Página: https://resumos.rgo.pt/exemplo/apontamentos/ ## Uma ideia de cada vez Um apontamento pode ter **definições**, exemplos e pequenos exercícios. Usa as tuas palavras e liga às fontes que consultaste. Neste exemplo, vamos somar os inteiros de 1 até $n$, com $n$ inteiro não negativo. Para $n=0$, a soma não tem termos e vale zero. O resultado é: $$ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} $$ Para $n = 4$, temos $1 + 2 + 3 + 4 = 10$. Para perceber a fórmula, escreve a soma por ordem crescente e depois por ordem decrescente. Ao somar as duas linhas coluna a coluna, cada coluna dá $n+1$. Há $n$ colunas, por isso o dobro da soma é $n(n+1)$. Dividir por 2 recupera a soma original. Este argumento também funciona quando $n$ é ímpar. ## Um pequeno programa ``` def soma_naturais(n): return n * (n + 1) // 2 print(soma_naturais(4)) # 10 ``` Em Python, `//` faz a divisão inteira. Aqui não perdemos uma parte decimal: de dois inteiros consecutivos, $n$ e $n+1$, um é par. O produto é sempre divisível por 2. ## Uma tabela | n | Soma | | --- | --- | | 1 | 1 | | 2 | 3 | | 3 | 6 | | 4 | 10 | Para calcular a média de pontos por fila, divide o total pelo número de filas. Com quatro filas, temos $10/4=2{,}5$ pontos por fila em média. A média pode não ser inteira, mesmo quando cada fila tem um número inteiro de pontos. ## Limites de um ciclo Em Python, `range(1, n + 1)` percorre os inteiros de 1 até n. O limite superior fica excluído. Começa com `total = 0` e, para cada `k`, soma `k` ao total. Antes dessa atualização, `total` contém a soma de 1 até `k - 1`; depois, contém a soma de 1 até `k`. Se n for zero, `range(1, 1)` está vazio. O total continua a zero, que é o valor da soma vazia. ## Contar as operações O ciclo faz n atualizações. A fórmula faz um número fixo de operações aritméticas. Se cada operação tiver custo constante, os custos são Θ(n) e Θ(1), respetivamente. Com inteiros de precisão arbitrária, como os de Python, o custo também depende do número de bits dos valores. ## Uma imagem ![Quatro filas de pontos com um, dois, três e quatro pontos, num total de dez.](https://resumos.rgo.pt/examples/pontos.svg) A imagem representa a mesma soma. É um SVG local e inclui uma descrição para quem usa um leitor de ecrã. > Experimenta: quantos pontos teria a figura com cinco filas? ## Links e próximos passos A [documentação do Markdown no Astro](https://docs.astro.build/en/guides/markdown-content/) explica como escrever páginas. As fórmulas usam [KaTeX](https://katex.org/docs/supported.html). Na página seguinte, juntamos [gráficos, diagramas e vídeo](https://resumos.rgo.pt/exemplo/diagramas/) num ficheiro MDX. ## Notas de rodapé As notas de rodapé servem para uma fonte ou uma explicação que pode ficar para depois.[1](https://resumos.rgo.pt/exemplo/apontamentos/#user-content-fn-fonte) ``` Uma afirmação com uma fonte.[^fonte] [^fonte]: Autor, título e ligação à fonte. ``` ## Avisos em Markdown Uma ideia por parágrafo Começa pela ideia principal. Junta um exemplo e só depois acrescenta os detalhes. Ver uma solução Para somar os primeiros quatro naturais, podemos juntar os extremos: $1 + 4 = 5$ e $2 + 3 = 5$. A soma é $10$. ## Notas de rodapé 1. Este é um exemplo de nota de rodapé. A seta no fim volta ao ponto do texto onde estavas. Podes incluir [ligações](https://www.markdownguide.org/extended-syntax/#footnotes) e **formatação**. [Voltar](https://resumos.rgo.pt/exemplo/apontamentos/#user-content-fnref-fonte) ## Exercícios 1\. Justificar a fórmula Justifica a fórmula da soma de 1 até n sem indução. O teu argumento deve funcionar também para n ímpar. Pista Escreve a soma uma vez por ordem crescente e outra por ordem decrescente. Mais uma pista Soma as duas linhas coluna a coluna. Quantas colunas tens e quanto vale cada uma? Solução Se S = 1 + 2 + … + n, então 2S = (1 + n) + (2 + n − 1) + … + (n + 1). Há n colunas, cada uma com soma n + 1. Logo S = n(n + 1)/2, incluindo n ímpar. Confere a tua resposta: * Associei o primeiro termo ao último. * Cada par soma n + 1. * Expliquei como contar os termos sem falhar quando n é ímpar. Erros frequentes Dizer que há n/2 pares sem tratar o termo central quando n é ímpar. A soma das duas linhas evita esse problema. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/exemplo/apontamentos/#uma-ideia-de-cada-vez) 2\. Calcular sem enumerar Quanto vale a soma de todos os inteiros de 1 até 20, incluindo ambos os extremos? Pista Usa a fórmula com n = 20. Mais uma pista Calcula 20 × 21 e divide o resultado por 2. Solução 20 × 21 / 2 = 210. Como a soma é inteira e exata, a tolerância é zero. Erros frequentes Usar 19 como último termo ou esquecer a divisão por 2. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/exemplo/apontamentos/#uma-ideia-de-cada-vez) 3\. Interpretar uma média Uma figura tem seis filas, com 1, 2, 3, 4, 5 e 6 pontos. Qual é o número médio de pontos por fila? Arredonda a duas casas decimais. Pista A média é a soma dividida pelo número de filas. Mais uma pista Há 21 pontos distribuídos por seis filas. Solução A média é 21/6 = 3,50 pontos por fila. A média não precisa de ser um número inteiro de pontos. Erros frequentes Dividir pelo último valor da soma parcial ou arredondar prematuramente para um inteiro. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/exemplo/apontamentos/#uma-tabela) 4\. Prever a saída Qual é o valor que este programa escreve? ``` total = 0 for k in range(1, 4): total += k print(total) ``` Pista O limite superior de `range` não é incluído. Mais uma pista O ciclo soma os valores 1, 2 e 3. Solução O programa escreve 6. Não executa uma iteração com k = 4. Erros frequentes Prever 10 porque se incluiu o limite superior. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/exemplo/apontamentos/#limites-de-um-ciclo) 5\. Escolher o estado certo No ciclo anterior, o que representa total imediatamente antes de executar `total += k`? Pista Segue as duas primeiras iterações, antes de cada atualização. Mais uma pista Quando k = 2, total já contém 1, mas ainda não contém 2. Solução Antes da atualização, total contém a soma de 1 até k − 1. Depois, contém a soma de 1 até k. O instante a que o estado se refere faz parte da resposta. * **A soma de 1 até k − 1.** Antes da soma de k, só foram processados os inteiros anteriores. Para k = 1, a soma vazia vale zero. * **A soma de 1 até k.** Essa é a situação depois de executar `total += k`, não antes. * **Sempre zero.** Só é zero antes da primeira iteração. As seguintes conservam o total acumulado. Erros frequentes Descrever a variável sem indicar se estás antes ou depois da atualização. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/exemplo/apontamentos/#limites-de-um-ciclo) 6\. Corrigir uma função Corrige `soma_naturais(n)` para devolver a soma de 1 até n, incluindo n. Recebe um inteiro não negativo; não deve imprimir. ```python def soma_naturais(n): total = 0 for k in range(1, n): total += k return total ``` ### Testes **Soma vazia** ```python print(soma_naturais(0)) ``` Saída esperada: ```text 0 ``` **Primeiro termo** ```python print(soma_naturais(1)) ``` Saída esperada: ```text 1 ``` **Quatro termos** ```python print(soma_naturais(4)) ``` Saída esperada: ```text 10 ``` **Vinte termos** ```python print(soma_naturais(20)) ``` Saída esperada: ```text 210 ``` Pista Verifica n = 1: quantas iterações faz o ciclo original? Mais uma pista O limite superior de `range` é exclusivo. Para incluir n, usa o inteiro seguinte. Solução Substitui `range(1, n)` por `range(1, n + 1)`. Para n = 0, não há iterações e o total fica a zero. Para n = 4, somamos 1 + 2 + 3 + 4 = 10. A fórmula `n * (n + 1) // 2` também devolve a soma, sem um ciclo. Passar estes testes não prova o resultado para todos os inteiros. Erros frequentes Excluir n do ciclo, usar `print` em vez de `return` ou devolver um valor fixo que só funciona para uma entrada. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/exemplo/apontamentos/#limites-de-um-ciclo) 7\. Explicar o caso vazio Na função corrigida, por que motivo n = 0 devolve zero? Confirma o resultado pela fórmula e pelo ciclo. Pista Observa `range(1, 1)`. Mais uma pista O conjunto de valores do ciclo é vazio, por isso total conserva o valor inicial. Solução O ciclo não executa iterações e total continua a zero. Na fórmula, 0 × (0 + 1)/2 = 0. Os dois métodos concordam sobre a soma vazia. Confere a tua resposta: * Indiquei que o ciclo não executa nenhuma iteração. * Relacionei o resultado com o valor inicial zero. * Verifiquei que a fórmula também dá zero. Erros frequentes Dizer que a função falha por não haver iterações ou confundir soma vazia com produto vazio. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/exemplo/apontamentos/#limites-de-um-ciclo) 8\. Comparar os dois métodos Compara o custo do ciclo e da fórmula quando n aumenta. Que hipótese sobre o custo das operações estás a usar? Pista Conta quantas vezes cada método atualiza ou calcula um valor. Mais uma pista O ciclo repete uma soma n vezes. A fórmula não contém um ciclo, mas os inteiros podem crescer. Solução Com operações aritméticas de custo constante, o ciclo custa Θ(n) e a fórmula custa Θ(1). Para inteiros de precisão arbitrária, o custo de uma operação depende do número de bits. A conclusão Θ(1) não é uma análise do custo em bits. Confere a tua resposta: * Contei n atualizações no ciclo. * Identifiquei um número fixo de operações aritméticas na fórmula. * Indiquei que esta comparação assume operações aritméticas de custo constante. Erros frequentes Afirmar que qualquer multiplicação demora o mesmo tempo, independentemente do tamanho dos inteiros. [Voltar à explicação](https://resumos.rgo.pt/exemplo/apontamentos/#contar-as-opera%C3%A7%C3%B5es)