Representação de dados

Nos computadores digitais, dados e instruções vivem na memória como sequências de dois símbolos, 0 e 1. Cada dígito binário chama-se bit, do inglês binary digit. Um bit corresponde, no hardware, a dois níveis de tensão: tipicamente 0 é a tensão baixa e 1 é a tensão alta.

Oito bits formam um byte. O byte é a unidade que vais usar para medir memória e para agrupar dígitos quando lês valores longos. Dentro de um grupo de bits, o bit mais à esquerda é o mais significativo e chama-se MSB, do inglês most significant bit; o bit mais à direita é o menos significativo e chama-se LSB, do inglês least significant bit. Em 11001, o MSB vale $2^4$ e o LSB vale $2^0$.

Sistemas posicionais

O sistema decimal é posicional: o valor de cada dígito depende da posição que ocupa. Em $325$, o 3 vale trezentos porque está na casa das centenas. O número de símbolos distintos chama-se base. O decimal tem base 10 e usa os símbolos 0 a 9.

O sistema romano é o contraexemplo clássico: é não posicional no essencial, porque os símbolos têm valor próprio e a notação não serve para fazer contas diretamente. Os sistemas usados nos computadores são todos posicionais, e a tabela seguinte resume-os:

Sistema	Base	Símbolos usados
Binário	2	0, 1
Octal	8	0 a 7
Decimal	10	0 a 9
Hexadecimal	16	0 a 9, A a F

No hexadecimal, as letras A a F valem 10 a 15. Para deixar claro que um número está em hexadecimal, escreve-se 0x à frente, como em 0x3F.

De decimal para binário

Para converter a parte inteira, divide-se sucessivamente por 2 e lêem-se os restos de baixo para cima. Converte $25$:

25 ÷ 2 = 12, resto 1    (LSB)
12 ÷ 2 = 6,  resto 0
6 ÷ 2  = 3,  resto 0
3 ÷ 2  = 1,  resto 1
1 ÷ 2  = 0,  resto 1    (MSB)

Lendo os restos de baixo para cima: $25_{10} = 11001_2$. Confirma com as potências de 2: $16 + 8 + 1 = 25$.

Para a parte fracionária, multiplica-se sucessivamente por 2 e lê-se a parte inteira de cada produto, de cima para baixo. Converte $0{,}75$:

0,75 × 2 = 1,5    → 1   (MSB da fração)
0,5 × 2  = 1,0    → 1

Por isso $0{,}75_{10} = 0{,}11_2$. Nem todas as frações decimais têm representação binária finita. A fração $0{,}692$, por exemplo, gera bits sem fim ($0{,}692 \times 2 = 1{,}384$, depois $0{,}384 \times 2 = 0{,}768$, depois $0{,}768 \times 2 = 1{,}536$, e assim por diante). Juntando as duas metades com um exemplo exato: $25{,}75_{10} = 11001{,}11_2$.

Podes confirmar estas conversões com um programa curto:

print(bin(25))        # 0b11001
print(int('11001', 2))  # 25
print((0.75).as_integer_ratio())  # (3, 4): 0,75 = 3/4

A primeira linha escreve 0b11001, onde o prefixo 0b marca a base 2. A segunda faz o caminho inverso.

De binário para decimal

Cada posição vale uma potência de 2, com expoentes que crescem da direita para a esquerda a partir de 0. Converte $11011010_2$:

$$1{\times}2^7 + 1{\times}2^6 + 0{\times}2^5 + 1{\times}2^4 + 1{\times}2^3 + 0{\times}2^2 + 1{\times}2^1 + 0{\times}2^0$$

Isto dá $128 + 64 + 16 + 8 + 2 = 218$. Repara que os zeros anulam as suas parcelas; só somas as potências onde há 1.

Binário, octal e hexadecimal

Como $8 = 2^3$, cada dígito octal corresponde exatamente a um grupo de 3 bits. Agrupa os bits da direita para a esquerda e converte cada grupo:

$$101101_2 \to 101 \mid 101 \to 5 \mid 5 = 55_8$$

Como $16 = 2^4$, cada dígito hexadecimal corresponde a um grupo de 4 bits:

$$101101_2 \to 0010 \mid 1101 \to 2 \mid D = \text{0x2D}$$

Confirma: $2 \times 16 + 13 = 45$, e $32 + 8 + 4 + 1 = 45$. Se o número de bits não for múltiplo de 3 ou 4, acrescenta zeros à esquerda, que não alteram o valor. A tabela de grupos que deves saber de cor é esta:

3 bits	Octal	4 bits	Hex
000	0	0000	0
001	1	0001	1
010	2	0010	2
011	3	0011	3
100	4	0100	4
101	5	0101	5
110	6	0110	6
111	7	0111	7
		1000	8
		1001	9
		1010	A
		1011	B
		1100	C
		1101	D
		1110	E
		1111	F

Experimenta: converte 0xBE para binário e depois para decimal. (Resposta: 10111110_2 = 190. Verifica: $128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 190$.)