Centro de massa e momento linear

Dois carrinhos, de $2$ e $1\ \mathrm{kg}$, colidem numa pista horizontal. O primeiro chega a $3\ \mathrm{m/s}$ e o segundo está parado. Escolhemos os dois carrinhos como sistema: as forças de contacto são internas. Se o impulso externo horizontal for desprezável durante o choque, o momento total permite relacionar as velocidades antes e depois, sem conhecer a força de contacto instante a instante.

Centro de massa

O momento linear de uma partícula é $\vec p=m\vec v$. O momento total do sistema é a soma vetorial desses momentos. Para partículas de massas $m_i$ e posições $\vec r_i$, com massa total $M=\sum_i m_i$, o centro de massa é a média ponderada pelas massas:

Duas massas, $2\ \mathrm{kg}$ em $x=0$ e $3\ \mathrm{kg}$ em $x=5\ \mathrm m$, têm $X_\mathrm{CM}=15/5=3\ \mathrm m$. A massa maior puxa a média para a sua posição, por isso o centro fica mais perto dela. O centro de massa pode ficar fora do material, como no centro de um aro.

Num corpo contínuo, substituímos a soma por $\vec R_\mathrm{CM}=M^{-1}\int\vec r\,dm$. A escolha de $dm$ depende da distribuição. Numa haste, $dm=\lambda(x)\,dx$; numa placa, $dm=\sigma\,dA$; num volume, $dm=\rho\,dV$. As densidades linear $\lambda$, superficial $\sigma$ e volúmica $\rho$ medem massa por comprimento, área e volume, respetivamente. Em SI usam $\mathrm{kg/m}$, $\mathrm{kg/m^2}$ e $\mathrm{kg/m^3}$.

Uma haste entre $x=0$ e $L$, com $\lambda(x)=cx$ e $c>0$ em $\mathrm{kg/m^2}$, tem mais massa perto da extremidade direita. Corta um segmento fino entre $x$ e $x+dx$: a sua massa é $dm=\lambda(x)\,dx=cx\,dx$. Calculamos primeiro $M=\int_0^L cx\,dx=cL^2/2$. Depois,

Numa haste uniforme, o centro ficaria em $L/2$; a densidade e a geometria são parte do enunciado, por isso não uses o centro geométrico em qualquer corpo.

Uma placa composta trata-se por peças. Calcula o centro de massa de cada retângulo uniforme e combina os resultados como massas pontuais. Para uma placa com recorte, trata o buraco como massa negativa com a mesma densidade. Os três modos, soma de peças, subtração do recorte e integral direto, têm de dar o mesmo resultado.

Na figura, o retângulo completo tem área $6\ \mathrm{m^2}$ e centro $(1{,}5;1)$; o recorte tem área $2\ \mathrm{m^2}$ e centro $(2;1{,}5)$. A placa restante tem área $4\ \mathrm{m^2}$. Como a densidade é uniforme,

O recorte retira massa sobretudo à direita e acima. Por isso, as duas coordenadas diminuem em relação ao centro do retângulo completo.

Movimento do centro de massa

Para um sistema material de massa constante,

As forças internas cancelam-se pela terceira lei. O centro de massa move-se como um ponto de massa $M$ sujeito à resultante externa. Os corpos podem continuar a mover-se relativamente ao centro de massa, ou seja o movimento coletivo não conta a história toda.

Se uma pessoa de $60\ \mathrm{kg}$ andar $2\ \mathrm m$ relativamente a um barco de $120\ \mathrm{kg}$ inicialmente em repouso, sem força horizontal externa, $X_\mathrm{CM}$ fica constante. Seja $d$ o deslocamento do barco relativamente à margem. A pessoa desloca-se $d+2$. Assim, $120d+60(d+2)=0$, dando $d=-2/3\ \mathrm m$. A pessoa avança $4/3\ \mathrm m$ relativamente à margem. Distingue as duas referências, porque os $2\ \mathrm m$ são medidos no barco.

A energia cinética pode separar-se em $K=MV_\mathrm{CM}^2/2+K_\mathrm{rel}$. A primeira parte descreve o movimento coletivo; a segunda descreve o movimento relativamente ao centro de massa. Numa colisão dissipativa isolada, o movimento do centro de massa mantém-se enquanto $K_\mathrm{rel}$ diminui.

Impulso e conservação

O impulso é $\vec J=\int_{t_i}^{t_f}\vec F\,dt=\Delta\vec p$, em $\mathrm{N\,s}=\mathrm{kg\,m/s}$. Para um sistema,

O momento total conserva-se quando o impulso externo é nulo. Num impacto breve, o impulso do peso pode ser desprezável face ao impulso de contacto, mesmo que o peso não seja zero. A conservação só vale nas direções onde essa aproximação é justificada, por isso verifica direção a direção.

Uma bola de $0{,}20\ \mathrm{kg}$ chega a uma parede com $v_x=10\ \mathrm{m/s}$ e sai com $v_x=-8\ \mathrm{m/s}$. O impulso da parede é $0{,}20(-8-10)=-3{,}6\ \mathrm{N\,s}$. Se durar $0{,}010\ \mathrm s$, a força média é $-360\ \mathrm N$. A diferença usa velocidades com sinal, não apenas a diferença das rapidezes.

Colisões em uma dimensão

Durante uma colisão isolada, $m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2$. As velocidades antes são $v_i$ e depois são $u_i$, todas no mesmo eixo.

Numa colisão perfeitamente inelástica, os corpos ficam juntos:

Numa colisão elástica, conserva-se também a energia cinética. O momento sozinho não chega para duas velocidades finais desconhecidas. Combinando momento e energia para duas massas em uma dimensão, obtém-se a relação $u_2-u_1=v_1-v_2$. A rapidez de separação iguala a de aproximação. Resolvendo as duas equações,

Para perceber de onde vem a relação de velocidades, reescreve os balanços de momento e energia como

Fatoriza a diferença de quadrados e divide pela primeira igualdade, quando houve troca de momento. Fica $v_1+u_1=u_2+v_2$, equivalente à relação anterior. O ramo sem troca, $u_i=v_i$, satisfaz os balanços, mas não representa o choque entre corpos que se aproximam e depois se separam.

Considera $m_1=2\ \mathrm{kg}$ a $v_1=3\ \mathrm{m/s}$ e $m_2=1\ \mathrm{kg}$ parado. O momento inicial é $6\ \mathrm{kg\,m/s}$ e a energia cinética inicial $9\ \mathrm J$. Se ficarem juntos, $u=2\ \mathrm{m/s}$ e $K_f=6\ \mathrm J$. Os $3\ \mathrm J$ restantes passam a outras formas de energia.

Se o choque for elástico, $u_1=1\ \mathrm{m/s}$ e $u_2=4\ \mathrm{m/s}$. Verificamos $2\times1+1\times4=6$ e $\tfrac12\times2\times1^2+\tfrac12\times1\times4^2=9$. Só massas iguais trocam simplesmente as velocidades, porque só aí os coeficientes ficam simétricos.

Compara os mesmos dados nos dois modelos: em ambos, o momento total permanece $6\ \mathrm{kg\,m/s}$ e $V_\mathrm{CM}=6/3=2\ \mathrm{m/s}$.

A conservação do momento não escolhe entre estes resultados. É a condição sobre o choque que fornece a segunda relação.

Colisões no plano

Escreve uma equação de momento para cada componente. Por exemplo, um corpo de $2\ \mathrm{kg}$ move-se com $(3,0)\ \mathrm{m/s}$ e outro de $1\ \mathrm{kg}$ com $(0,3)\ \mathrm{m/s}$. Se ficarem juntos, $\vec u=(6,3)/3=(2,1)\ \mathrm{m/s}$. A rapidez é $\sqrt5\ \mathrm{m/s}$ e o ângulo com $x$ é $\arctan(1/2)\approx26{,}6^\circ$. A energia inicial é $13{,}5\ \mathrm J$ e a final $7{,}5\ \mathrm J$, porque o choque inelástico dissipa parte da energia relativa.

Uma fragmentação usa a mesma ideia ao contrário. Um corpo parado que explode em dois fragmentos tem momento total nulo, por isso os fragmentos saem em sentidos opostos com $m_1\vec u_1+m_2\vec u_2=0$. Conhecer uma velocidade final e as massas determina a outra. Com quatro fragmentos, trata cada direção em separado: no exame de 14 de junho de 2023, a vertical fixa a razão entre as duas velocidades verticais e a horizontal reparte a massa restante entre fragmentos de igual rapidez.

Pêndulo balístico

Fase 1, impacto: uma bala de massa $m$ fica presa num bloco de massa $M$. Durante o impacto breve, conserva-se o momento horizontal: $mv=(M+m)V$. Não se conserva a energia cinética. Fase 2, subida: o conjunto sobe altura $h$. Sem perdas, $\tfrac12(M+m)V^2=(M+m)gh$. Misturar as fases, aplicando energia através do impacto, dá uma resposta errada.

Com $m=0{,}010\ \mathrm{kg}$, $M=0{,}990\ \mathrm{kg}$ e $h=0{,}050\ \mathrm m$, temos $V=\sqrt{2gh}\approx0{,}990\ \mathrm{m/s}$ e $v=(M+m)V/m\approx99{,}0\ \mathrm{m/s}$. A energia antes do impacto era $49{,}05\ \mathrm J$; logo depois é apenas $0{,}4905\ \mathrm J$. A diferença entre esses valores é a energia dissipada no impacto inelástico.