Centro de massa e momento linear

Um corpo extenso ou um conjunto de corpos move-se de forma complicada, mas há um ponto que se move de forma simples: o centro de massa. E há uma grandeza que, em sistemas isolados, nunca muda: o momento linear. Juntas, estas ideias resolvem colisões sem ser preciso conhecer as forças durante o impacto.

Centro de massa

Para um sistema de partículas com massas $m_i$ nas posições $\vec{r}_i$, o centro de massa é a média pesada pelas massas:

$$\vec{R} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}.$$

Exemplo: duas massas, $m_1 = 2{,}0\ \text{kg}$ em $x_1 = 0$ e $m_2 = 3{,}0\ \text{kg}$ em $x_2 = 5{,}0\ \text{m}$. O centro de massa fica em $x_{\text{CM}} = (2{,}0 \times 0 + 3{,}0 \times 5{,}0)/(2{,}0 + 3{,}0) = 15/5{,}0 = 3{,}0\ \text{m}$, mais perto da massa maior, como esperado.

Para um corpo contínuo, a soma passa a integral sobre a distribuição de massa. Não precisamos do cálculo geral aqui, mas o resultado para os casos simétricos é intuitivo: o centro de massa de uma barra uniforme está no seu ponto médio, e o de um disco uniforme está no seu centro. A simetria localiza o centro de massa sem contas.

A propriedade que torna o centro de massa útil: ele move-se como se toda a massa do sistema lá estivesse concentrada e todas as forças externas lá fossem aplicadas, $M\vec{A}_{\text{CM}} = \sum \vec{F}_{\text{ext}}$. As forças internas cancelam-se duas a duas pela terceira lei.

Momento linear e a sua conservação

O momento linear (ou quantidade de movimento) de uma partícula é $\vec{p} = m\vec{v}$, em $\text{kg·m/s}$. A segunda lei escreve-se de forma compacta como $\sum \vec{F} = d\vec{p}/dt$: a força resultante é a taxa de variação do momento.

Num sistema isolado, sem forças externas, a variação total é nula e o momento total conserva-se:

$$\sum \vec{p}_{\text{inicial}} = \sum \vec{p}_{\text{final}}.$$

Isto vale mesmo quando as forças internas são desconhecidas ou violentas, como numa colisão ou numa explosão. É por isso que a conservação do momento resolve problemas onde a análise força a força seria impossível.

Colisões em uma dimensão

Considera dois corpos que colidem frontalmente, sem forças externas apreciáveis durante o impacto breve. O momento total conserva-se sempre, mas a energia cinética pode não se conservar:

• Colisão elástica: a energia cinética conserva-se. As velocidades trocam-se de acordo com as massas.
• Colisão perfeitamente inelástica: os corpos seguem juntos após o choque. É a que dissipa mais energia cinética.

Exemplo com números: um carrinho $m_1 = 2{,}0\ \text{kg}$ a $v_1 = 3{,}0\ \text{m/s}$ embate num carrinho parado $m_2 = 1{,}0\ \text{kg}$. O momento inicial é $p = 2{,}0 \times 3{,}0 = 6{,}0\ \text{kg·m/s}$ e a energia cinética inicial é $K = 2{,}0 \times 9{,}0/2 = 9{,}0\ \text{J}$.

Se a colisão for perfeitamente inelástica, os carrinhos seguem juntos com velocidade $V = p/(m_1 + m_2) = 6{,}0/3{,}0 = 2{,}0\ \text{m/s}$. A energia final é $K' = 3{,}0 \times 4{,}0/2 = 6{,}0\ \text{J}$: perderam-se $3{,}0\ \text{J}$ na deformação.

Se for elástica, impõem-se conservação do momento e da energia, o que dá

$$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1, \qquad v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1.$$

Com os números, $v_1' = (1{,}0/3{,}0) \times 3{,}0 = 1{,}0\ \text{m/s}$ e $v_2' = (4{,}0/3{,}0) \times 3{,}0 = 4{,}0\ \text{m/s}$. Confirma o momento: $2{,}0 \times 1{,}0 + 1{,}0 \times 4{,}0 = 6{,}0\ \text{kg·m/s}$. Confirma a energia: $2{,}0 \times 1{,}0/2 + 1{,}0 \times 16/2 = 1{,}0 + 8{,}0 = 9{,}0\ \text{J}$. Ambas batem certo com os valores iniciais, por isso a resolução está verificada.

Para onde ir

O momento linear governa translações. Para rotações existe uma grandeza análoga: o momento angular, na página sobre rotação de corpos rígidos.