Oscilações

Uma massa de $0{,}25\ \mathrm{kg}$ presa a uma mola de $100\ \mathrm{N/m}$ começa $3\ \mathrm{cm}$ à direita do equilíbrio e move-se para a direita a $0{,}80\ \mathrm{m/s}$. Ainda se afasta antes de regressar. A posição inicial não é a amplitude, pois precisamos também da velocidade para localizar o início do ciclo; estes dados determinam movimento, fase e energia antes de acrescentarmos amortecimento.

Movimento harmónico simples

Uma massa $m$ ligada a uma mola ideal de constante $k$, sem atrito, satisfaz

Medimos $x$ desde o equilíbrio. Os pontos em $\dot x$ e $\ddot x$ indicam a primeira e a segunda derivadas no tempo, ou seja velocidade e aceleração. A solução é $x(t)=A\cos(\omega_0t+\phi)$, com $A\ge0$, e

A frequência $f$ mede-se em hertz; $\omega_0$ é uma frequência angular em $\mathrm{rad/s}$. Confundi-las introduz um fator $2\pi$, por isso verifica sempre as unidades pedidas.

Nas extremidades $x=\pm A$, a velocidade é zero e o módulo da aceleração é máximo. No equilíbrio, a velocidade tem módulo máximo e a aceleração é zero. O corpo atravessa o equilíbrio porque aí a velocidade é máxima: a inércia leva-o para o outro lado, onde a mola volta a travá-lo.

A força de retorno opõe-se sempre ao afastamento do equilíbrio, mas nem sempre à velocidade: acelera o corpo quando ele regressa ao equilíbrio. Verifica a solução por substituição: se $x=A\cos(\omega_0t+\phi)$, então $\ddot x=-\omega_0^2x$, que é a equação do movimento.

Condições iniciais e fase

Uma forma que evita escolher a fase primeiro é

Assim, $A=\sqrt{x_0^2+(v_0/\omega_0)^2}$, com $x_0=A\cos\phi$ e $v_0=-A\omega_0\sin\phi$. Usa os dois sinais para escolher o quadrante de $\phi$, porque um só não chega.

Para $m=0{,}25\ \mathrm{kg}$, $k=100\ \mathrm{N/m}$, $x_0=0{,}030\ \mathrm m$ e $v_0=0{,}80\ \mathrm{m/s}$, $\omega_0=20\ \mathrm{rad/s}$. Temos $A=\sqrt{0{,}030^2+0{,}040^2}=0{,}050\ \mathrm m$. Então $\cos\phi=0{,}6$ e $\sin\phi=-0{,}8$. Escolhemos o quarto quadrante, por exemplo $\phi\approx-0{,}927\ \mathrm{rad}$. A posição começa positiva e a aumentar, por isso a fase deve ter cosseno positivo e seno negativo. O período é $0{,}314\ \mathrm s$.

Energia

No oscilador ideal,

No exemplo, $E=0{,}125\ \mathrm J$. Inicialmente, $K=0{,}080\ \mathrm J$ e $U=0{,}045\ \mathrm J$, que somam esse valor. A rapidez num ponto é $|v|=\omega_0\sqrt{A^2-x^2}$, mas o sinal depende de o corpo ir ou regressar, por isso decide o sentido pelo movimento.

Numa mola vertical, escreve primeiro a equação desde o comprimento natural: $m\ddot y=-ky-mg$. O equilíbrio novo está em $y_e=-mg/k$. Com $x=y-y_e$, a equação fica $m\ddot x=-kx$. O peso muda a posição de equilíbrio, mas não a frequência neste modelo linear.

Pêndulo simples

Para um ponto material suspenso por um fio ideal de comprimento $\ell$, a componente tangencial da segunda lei dá a equação. O peso projeta-se na tangente como $-mg\sin\theta$ e a tensão é radial, por isso não entra na equação tangencial:

Com pequenos ângulos em radianos, $\sin\theta\approx\theta$ e $\omega_0=\sqrt{g/\ell}$, dando $T\approx2\pi\sqrt{\ell/g}$. Para $\ell=1\ \mathrm m$, $T\approx2{,}006\ \mathrm s$. A massa não entra na expressão, porque cancela entre força e inércia. Para amplitudes grandes, o período aumenta e a aproximação deixa de ser suficiente. A primeira correção relativa é aproximadamente $\theta_{\mathrm{max}}^2/16$, com o ângulo em radianos.

Um corpo extenso suspenso é um pêndulo físico. Não substituas o seu tamanho pelo comprimento de um fio sem analisar o centro de massa e a inércia.

Oscilador amortecido

Para $m>0$ e $k>0$, uma resistência linear $F_d=-bv$, com $b\ge0$ em $\mathrm{kg/s}$, dá

Definimos $\gamma=b/(2m)$ e $\omega_0=\sqrt{k/m}$. A comparação determina o regime:

Para condições iniciais de repouso fora do equilíbrio, o crítico regressa mais depressa sem oscilar do que os sobreamortecidos. Para outras condições iniciais, um movimento não oscilatório ainda pode atravessar o equilíbrio uma vez; não definas o regime apenas por nunca mudar de sinal.

No caso subamortecido, estudado na análise experimental, a solução oscila e a envolvente exponencial reduz os picos:

No crítico, $x=(C_1+C_2t)e^{-\gamma t}$. No sobreamortecido, as taxas são $r_\pm=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}$ e $x=C_1e^{r_+t}+C_2e^{r_-t}$. As constantes vêm de posição e velocidade iniciais.

O gráfico usa a solução analítica de $m=0{,}25\ \mathrm{kg}$, $k=100\ \mathrm{N/m}$, $x_0=0{,}05\ \mathrm m$ e $v_0=0$, com valor crítico $b_c=2\sqrt{mk}=10\ \mathrm{kg/s}$. Compara $b=0$, $b=1$, $b=10$ e $b=20\ \mathrm{kg/s}$. Abaixo do valor crítico há oscilação, embora um período muito longo possa não caber no segundo mostrado. No crítico e no sobreamortecido não há oscilação periódica. Para estas condições iniciais, compara também a rapidez do regresso ao equilíbrio.

Condições iniciais com amortecimento

No regime subamortecido, escrever a solução como seno e cosseno torna as constantes diretas:

Em $t=0$, $x_0=C$. Ao derivar, também derivamos a exponencial: $v_0=-\gamma C+\omega_dD$. Portanto,

Não uses $D=v_0/\omega_d$, que só vale sem amortecimento. Na forma $Ae^{-\gamma t}\cos(\omega_dt+\phi)$, temos $A=\sqrt{C^2+D^2}$, $\cos\phi=C/A$ e $\sin\phi=-D/A$, quando $A>0$. O coeficiente $A$ da envolvente não é necessariamente a posição inicial nem um pico efetivamente atingido.

Com $\gamma=6\ \mathrm{s^{-1}}$, $\omega_0=10\ \mathrm{rad/s}$, $x_0=0{,}040\ \mathrm m$ e $v_0=0$, obtemos $\omega_d=8\ \mathrm{rad/s}$, $C=0{,}040\ \mathrm m$ e $D=0{,}030\ \mathrm m$. A envolvente começa em $A=0{,}050\ \mathrm m$, mas o corpo começa em $0{,}040\ \mathrm m$, parado. A aceleração inicial é $-\omega_0^2x_0=-4\ \mathrm{m/s^2}$ e fá-lo regressar ao equilíbrio.

Decaimento e fator de qualidade

A envolvente da amplitude é $A(t)=A_0e^{-\gamma t}$. O tempo para a amplitude cair para metade é $t_{1/2}=\ln2/\gamma$. A energia satisfaz exatamente $dE/dt=-bv^2\le0$. Para amortecimento fraco, a energia média por ciclo decai aproximadamente como $e^{-2\gamma t}$, duas vezes mais depressa no expoente do que a amplitude.

Outra notação usa $\tau=m/b=1/(2\gamma)$ e $Q=\omega_0\tau=\omega_0/(2\gamma)$. Nesta convenção, a amplitude decai como $e^{-t/(2\tau)}$. Verifica se um tempo indicado num ajuste pertence à amplitude ou à energia, porque a constante da energia é metade.

Com os valores anteriores e $b=1\ \mathrm{kg/s}$, $\gamma=2\ \mathrm{s^{-1}}$, $\omega_d=\sqrt{396}\approx19{,}90\ \mathrm{rad/s}$, $\tau=0{,}25\ \mathrm s$, $Q=5$ e $t_{1/2}\approx0{,}347\ \mathrm s$.

Para picos do mesmo sinal separados por um período amortecido $T_d=2\pi/\omega_d$, a razão dos picos é $A_n/A_{n+1}=e^{\gamma T_d}$. Aplicando o logaritmo, o decremento logarítmico é $\delta=\ln(A_n/A_{n+1})=\gamma T_d$. A análise experimental usa esta relação para estimar $b/m$.

Oscilador forçado e ressonância

Acrescentando $F_0\cos\Omega t$, com $F_0$ constante ao variar a frequência, a solução geral soma duas partes. O transitório é a solução da equação homogénea e depende das condições iniciais. Para $b>0$, o transitório decai. A resposta permanente fica e oscila à frequência imposta $\Omega$, não à frequência livre $\omega_d$:

A fase satisfaz $\delta_f=\operatorname{atan2}(2\gamma\Omega,\omega_0^2-\Omega^2)$, que escolhe o quadrante a partir dos sinais do numerador e do denominador. Em baixa frequência, a resposta aproxima-se de $F_0/k$ e acompanha a força. Em $\Omega=\omega_0$, atrasa-se $\pi/2$ e $A=F_0/(b\omega_0)$. Em frequência muito alta, a amplitude diminui e o atraso aproxima-se de $\pi$.

Para $F_0$ constante ao variar a frequência, o máximo da amplitude ocorre em $\Omega_\mathrm{res}=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}$, se $\gamma<\omega_0/\sqrt2$. Não é exatamente a frequência natural quando existe amortecimento. Acima desse limiar não há pico de amplitude a frequência positiva. No limite sem amortecimento e com força na frequência natural, não há amplitude permanente finita: a resposta cresce com o tempo.

Mais amortecimento baixa e alarga o pico e afasta-o de $\omega_0$ para frequências menores.

Para $F_0=1\ \mathrm N$, $m=0{,}25\ \mathrm{kg}$, $k=100\ \mathrm{N/m}$ e $b=1\ \mathrm{kg/s}$, em $\Omega=20\ \mathrm{rad/s}$ a amplitude é $0{,}050\ \mathrm m$. O pico fica em $\sqrt{392}\approx19{,}80\ \mathrm{rad/s}$ e tem amplitude aproximada $0{,}0503\ \mathrm m$.

A seleção é estreita quando o amortecimento é fraco. Três pêndulos simples com $\ell_1=15/\pi^2$, $\ell_2=10/\pi^2$ e $\ell_3=5/\pi^2$ metros têm frequências próprias de cerca de $0{,}41$, $0{,}50$ e $0{,}71\ \mathrm{Hz}$ (com $g=10\ \mathrm{m/s^2}$). Uma força externa a $0{,}50\ \mathrm{Hz}$ põe quase só o segundo a oscilar com amplitude grande. É a versão com pêndulos de uma questão do exame de recurso de 26 de junho de 2023.

As três frequências angulares, em $\mathrm{rad/s}$, respondem a perguntas diferentes:

Para $0<\gamma<\omega_0/\sqrt2$, as três existem e $\Omega_\mathrm{res}<\omega_d<\omega_0$. Um oscilador pode ser subamortecido e não ter um pico de amplitude a frequência positiva: o limiar de ressonância é mais restrito.