Cinemática do ponto material

Uma bola pode subir, parar por um instante e voltar a cair. Para prever a trajetória, tratamo-la como ponto material: ignoramos o tamanho e a rotação. Este modelo serve para localizar a bola, mas não para estudar como roda sobre si mesma.

A cinemática relaciona posição, velocidade e aceleração sem determinar as forças que causam o movimento.

Medidas e vetores

Uma medida combina valor e unidade. Converte para unidades compatíveis antes de calcular: $72\ \mathrm{km/h}=72\times1000/3600=20\ \mathrm{m/s}$. Na dimensão de uma expressão, $[x]=L$, $[v]=LT^{-1}$ e $[a]=LT^{-2}$. Assim, $vt$ e $at^2$ podem ser deslocamentos, porque têm dimensão de comprimento; $at$ não pode.

Escolhe uma origem, eixos e um relógio. O vetor posição é $\vec r=x\hat\imath+y\hat\jmath+z\hat k$. O deslocamento $\Delta\vec r=\vec r_f-\vec r_i$ liga os extremos da trajetória. A distância percorrida soma comprimentos ao longo dela, ou seja mede o caminho. Ir $3\ \mathrm m$ para a direita e regressar $3\ \mathrm m$ dá distância $6\ \mathrm m$ e deslocamento nulo.

Os símbolos $\hat\imath$, $\hat\jmath$ e $\hat k$ são vetores de módulo um nas direções dos eixos. Soma vetores componente a componente. Por exemplo, $(3,0)+(0,4)=(3,4)$ tem módulo $\sqrt{3^2+4^2}=5$, não $7$.

O produto escalar $\vec u\cdot\vec w=uw\cos\phi$, com $u,w$ os módulos e $\phi$ o ângulo entre os vetores, mede uma projeção; o produto vetorial tem módulo $uw\sin\phi$ e direção perpendicular aos dois vetores, dada pela regra da mão direita. Não substituas vetores por módulos antes de resolver sinais e componentes, porque perdes a direção.

Posição, velocidade e aceleração

A velocidade média é $\Delta\vec r/\Delta t$. A velocidade instantânea e a aceleração são

A rapidez $v=|\vec v|$ é não negativa. A componente $v_x$ pode ser negativa. A aceleração não tem de apontar no sentido da velocidade: se forem opostas num movimento retilíneo, a rapidez diminui.

Por exemplo, $x(t)=2+3t-t^2$, com $x$ em metros e $t$ em segundos, dá $v_x=3-2t$ e $a_x=-2\ \mathrm{m/s^2}$. Em $t=1\ \mathrm s$, temos $x=4\ \mathrm m$ e $v_x=1\ \mathrm{m/s}$. O corpo ainda vai para a direita, mas abranda, porque a aceleração aponta para a esquerda. Em $t=1{,}5\ \mathrm s$, a velocidade anula-se por um instante e depois regressa. A posição máxima é $x(1{,}5)=2+4{,}5-2{,}25=4{,}25\ \mathrm m$.

Num gráfico $x(t)$, o declive é $v_x$. Num gráfico $v_x(t)$, o declive é $a_x$ e a área com sinal é o deslocamento. Uma área negativa não é uma distância negativa.

Lê os dois gráficos em conjunto. O máximo de $x(t)$ está onde $v_x(t)$ cruza zero. Depois desse instante, a área acumulada sob $v_x$ começa a diminuir o deslocamento total.

Integrar o movimento

A aceleração determina a variação da velocidade. Para obter a velocidade, precisamos de $\vec v_0$; para obter a posição, precisamos também de $\vec r_0$:

Se $a_x=a$ for constante e $t_0=0$,

A última relação elimina o tempo, por isso serve quando não conheces $t$. Não a uses quando a aceleração varia. O quadrado também perde informação sobre o sentido: escolhe o sinal da raiz com a situação física.

Um carro a $20\ \mathrm{m/s}$ trava com $a=-4\ \mathrm{m/s^2}$. Pára em $t=(0-20)/(-4)=5\ \mathrm s$. O deslocamento é $20\times5-\tfrac12\times4\times25=50\ \mathrm m$. Pela relação sem tempo, $0=400-8\Delta x$ dá os mesmos $50\ \mathrm m$. Estas equações deixam de descrever a travagem quando o carro já parou, porque o modelo de $a$ constante já não vale parado.

Separação de variáveis

Num movimento retilíneo, escreve a componente com sinal $v_x$. Reserva $v=|\vec v|$ para a rapidez, que nunca é negativa. Esta distinção evita misturar a equação com sinal com as fórmulas de curvatura, onde $v$ é o módulo.

Se $dv_x/dt=-\lambda v_x$, com $\lambda>0$ em $\mathrm{s^{-1}}$, separamos as variáveis para $v_x\ne0$. Escreve os limites desde a condição inicial:

A condição inicial escolhe o ramo com o sinal de $v_{x0}$. A solução $v_x=0$ também satisfaz a equação diferencial, embora tenha sido excluída pela divisão. Integramos novamente com $x(0)=x_0$:

Com $v_{x0}=10\ \mathrm{m/s}$ e $\lambda=2\ \mathrm{s^{-1}}$, o corpo aproxima-se de $x_0+5\ \mathrm m$ sem lá chegar em tempo finito, pois a exponencial nunca se anula; a rapidez decai com constante de tempo $1/\lambda=0{,}5\ \mathrm s$.

Distância quando a aceleração depende da velocidade

Se a lei dá $a_x(v_x)$ e pedimos uma distância, podemos eliminar o tempo: $a_x=v_x\,dv_x/dx$. Num trecho onde $a_x(v_x)\ne0$,

Por exemplo, um veículo parte do repouso com $a_x=a_0-cv_x^2$, onde $a_0>0$ mede-se em $\mathrm{m/s^2}$ e $c>0$ em $\mathrm{m^{-1}}$. Para atingir $0<V<\sqrt{a_0/c}$, integramos:

A substituição $z=a_0-cu^2$ dá $dz=-2cu\,du$. O logaritmo compara duas acelerações, por isso o argumento é adimensional. Quando $V$ se aproxima de $\sqrt{a_0/c}$, a distância diverge: essa velocidade limite não se atinge num trecho finito. Para velocidades pequenas, a expressão aproxima-se de $V^2/(2a_0)$, recuperando a aceleração quase constante. Não substituas logo a aceleração inicial numa fórmula de aceleração constante.

Reconstruir a trajetória a partir da velocidade

A velocidade vetorial em função do tempo pode ser separada por componentes. Por exemplo, $\vec v(t)=2t\,\hat\imath+4\,\hat\jmath$, com unidades SI, e $\vec r_0=\hat\imath$. Integramos cada componente com a sua condição inicial:

Eliminamos $t=y/4$ e obtemos $x=1+y^2/16$, uma parábola no plano; eliminar o tempo é o que distingue a forma geométrica da trajetória das equações horárias.

Projéteis

Sem resistência do ar e com gravidade uniforme, os movimentos horizontal e vertical partilham o mesmo tempo, mas têm acelerações distintas. Com $y$ positivo para cima,

Uma bola parte do solo a $v_0=14\ \mathrm{m/s}$, com $\theta=30^\circ$. Assim, $v_{0x}=7\sqrt3\approx12{,}12\ \mathrm{m/s}$ e $v_{0y}=7\ \mathrm{m/s}$. No topo, $v_y=7-gt=0$, logo $t_\text{topo}=7/9{,}81\approx0{,}714\ \mathrm s$. A altura máxima é $7^2/(2g)\approx2{,}50\ \mathrm m$.

A rapidez no topo continua a ser $12{,}12\ \mathrm{m/s}$, porque só a componente vertical se anulou. A bola não está parada nesse instante e a aceleração não é nula: a gravidade continua a atuar e a rapidez volta a aumentar logo a seguir. Confundir velocidade vertical nula com paragem é o erro que o exercício do topo treina detetar.

Ao regressar à altura de lançamento, $t_\text{voo}=2v_{0y}/g\approx1{,}427\ \mathrm s$ e o alcance é $12{,}12\times1{,}427\approx17{,}30\ \mathrm m$. A fórmula $R=v_0^2\sin(2\theta)/g$ exige alturas inicial e final iguais.

Movimento curvilíneo

Um versor é um vetor de módulo um que indica uma direção. Num ponto em movimento, $\hat t$ é tangente à trajetória no sentido da velocidade e $\hat n$ aponta para o centro local de curvatura. A aceleração separa-se em

A componente tangencial muda a rapidez, enquanto a normal muda a direção da velocidade; por isso $a_n=v^2/\rho$, com $v$ sempre não negativa. Aqui $\rho$ é o raio de curvatura naquele ponto, não a distância à origem.

Para $v\ne0$, podemos calcular $a_t=\vec v\cdot\vec a/v$ e $a_n=\sqrt{|\vec a|^2-a_t^2}$. Quando $a_n>0$, $\rho=v^2/a_n$. Num trecho retilíneo, a curvatura é zero e o raio pode ser entendido como infinito. Num instante com velocidade nula, estas fórmulas de versores precisam de análise separada.

Com a relação entre aceleração normal e curvatura, o topo do projétil anterior dá um exemplo numérico. Aí $\vec v$ é horizontal e $\vec a$ vertical. Portanto $a_t=0$, $a_n=g$ e $\rho=(7\sqrt3)^2/g=147/9{,}81\approx14{,}98\ \mathrm m$.

Movimento circular

Numa circunferência de raio $R$, escolhe um sentido angular positivo. O arco orientado é $s=R\theta$, com $\theta$ em radianos; uma volta corresponde a $2\pi$ radianos. A velocidade angular $\omega=d\theta/dt$ mede-se em $\mathrm{rad/s}$ e a aceleração angular $\alpha=d\omega/dt$ em $\mathrm{rad/s^2}$.

A velocidade na direção angular positiva é $R\omega$ e a aceleração nessa direção é $R\alpha$. A rapidez é $v=R|\omega|$ e a componente normal é $a_n=R\omega^2$. A componente tangencial definida no sentido da velocidade é $a_t=dv/dt$: para $\omega>0$, vale $R\alpha$; para $\omega<0$, vale $-R\alpha$. Por exemplo, $R=0{,}50\ \mathrm m$, $\omega=-2\ \mathrm{rad/s}$ e $\alpha=+1\ \mathrm{rad/s^2}$ descrevem uma rotação que abranda, logo $a_t=-0{,}50\ \mathrm{m/s^2}$.

Num movimento circular uniforme, com $\omega$ o módulo da velocidade angular, $T$ o período e $f=1/T$ a frequência em hertz,

Uma roda de $R=0{,}20\ \mathrm m$ a duas voltas por segundo tem $\omega=4\pi\ \mathrm{rad/s}$, $v=0{,}8\pi\approx2{,}51\ \mathrm{m/s}$ e $a_n=3{,}2\pi^2\approx31{,}58\ \mathrm{m/s^2}$. Rapidez constante não significa aceleração nula.

A cinemática calcula a aceleração necessária, e as leis de Newton dizem que forças a podem produzir.