Curvas paramétricas e funções vetoriais

A hélice $\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t,t)$ descreve um ponto que roda em torno do eixo $z$ enquanto sobe. Em $t=0$ está em $(1,0,0)$; em $t=\pi$ está em $(-1,0,\pi)$. Uma volta aumenta a altura em $2\pi$.

Esta é uma curva parametrizada: a função vetorial $\mathbf r$ associa a cada valor do parâmetro $t$ uma posição. A imagem diz por onde passa; a parametrização diz em que ordem e a que velocidade. Se $t$ representar tempo, as derivadas descrevem o movimento.

Parametrizar uma curva

O segmento de $P$ a $Q$ é $\mathbf r(t)=P+t(Q-P)$, com $0\le t\le1$. Para $P=(1,0,2)$ e $Q=(3,2,0)$, fica $(1+2t,2t,2-2t)$. Substituir $t=0$ e $t=1$ confirma os extremos e o sentido.

Uma circunferência de centro $(a,b)$ e raio $R>0$ é $(a+R\cos t,b+R\sin t)$, $0\le t\le2\pi$, em sentido anti-horário. Troca $\sin t$ por $-\sin t$ para inverteres o sentido. A hélice $\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t,t)$ sobe uma volta quando $t$ aumenta $2\pi$.

Limites, derivadas e integrais de funções vetoriais calculam-se componente a componente. Para um produto escalar, $(\mathbf u\cdot\mathbf v)'=\mathbf u'\cdot\mathbf v+\mathbf u\cdot\mathbf v'$. A mesma regra vale para o produto vetorial, conservando a ordem dos fatores.

Velocidade e vetor tangente unitário

A velocidade é $\mathbf v=\mathbf r'$; a velocidade escalar é $v=\|\mathbf r'\|$; a aceleração é $\mathbf a=\mathbf r''$. Assumimos $\mathbf r$ de classe $C^1$, ou seja, com derivada contínua. Uma curva é regular num ponto se $\mathbf r'\ne0$, porque só aí podemos definir

$$\mathbf T=\frac{\mathbf r'}{\|\mathbf r'\|}.$$

Na hélice, $\mathbf r'=(-\sin t,\cos t,1)$ e $v=\sqrt2$. Em $t=0$, $P=(1,0,0)$ e $\mathbf T=(0,1,1)/\sqrt2$. A reta tangente é $P+s(0,1,1)$. O parâmetro $s$ desta reta é novo, por isso não precisa de coincidir com $t$.

Para duas curvas que se cruzam, o ângulo entre os sentidos de movimento vem de $\cos\theta=(\mathbf v_1\cdot\mathbf v_2)/(\|\mathbf v_1\|\|\mathbf v_2\|)$. Se pedirem o menor ângulo entre as retas tangentes, usa o módulo do numerador.

Normal principal e binormal

Para calcular a normal e a curvatura, assumimos ainda $\mathbf r$ de classe $C^2$, ou seja, com segunda derivada contínua. A tangente muda de direção quando a curva se dobra. Se $\mathbf T'\ne0$, o normal principal é $\mathbf N=\mathbf T'/\|\mathbf T'\|$. No espaço, $\mathbf B=\mathbf T\times\mathbf N$ completa o triedro ortonormal.

Para a hélice:

$$\mathbf T'=\frac{(-\cos t,-\sin t,0)}{\sqrt2},\qquad \mathbf N=(-\cos t,-\sin t,0),\qquad \mathbf B=\frac{(\sin t,-\cos t,1)}{\sqrt2}.$$

Em $t=0$, $\mathbf N=(-1,0,0)$ aponta para o eixo da hélice. Confirma que os três vetores têm norma 1 e produtos escalares nulos.

O esquema seguinte é a projeção da hélice no plano $xy$: o círculo é a sombra do percurso, não o percurso. A seta marcada $\mathbf T(0)$ é a projeção da tangente espacial, e a subida segundo $z$ não aparece no desenho.

Um plano com normal $\mathbf n$ que passa por $P$ satisfaz $\mathbf n\cdot((x,y,z)-P)=0$. Os planos associados à curva usam as três direções do triedro:

Plano	Vetor normal	Equação na hélice em $t=0$
Normal	$\mathbf T$	$y+z=0$
Osculador	$\mathbf B$	$-y+z=0$
Retificador	$\mathbf N$	$x=1$

O plano osculador contém as direções tangente e normal principal. Numa reta, $\mathbf T'=0$, por isso este triedro não define uma normal principal única.

Comprimento de arco

O pequeno deslocamento tem comprimento aproximado $\|\mathbf r'(t)\|\,dt$, por isso somamos:

$$L=\int_a^b\|\mathbf r'(t)\|\,dt.$$

Uma volta da hélice tem comprimento $\int_0^{2\pi}\sqrt2\,dt=2\pi\sqrt2$. O deslocamento entre os extremos tem norma $2\pi$, menor que o comprimento percorrido, porque o caminho dá a volta. Integrar o vetor velocidade dá deslocamento, não comprimento.

A função $s(t)=\int_a^t v(u)\,du$ mede o arco percorrido. Se $v>0$, é crescente e permite usar o próprio comprimento como parâmetro; nessa parametrização a velocidade escalar é 1.

Para $\mathbf r(t)=(3\cos t,3\sin t,4t)$, $v=5$ é constante e $s(t)=5t$. A inversa é $t=s/5$, logo

$$\mathbf q(s)=\left(3\cos\frac{s}5,3\sin\frac{s}5,\frac{4s}5\right)$$

tem $\|\mathbf q'(s)\|=1$. Para reparametrizar, medimos o comprimento, invertemos a função e substituímos no percurso. A norma unitária confirma que uma unidade do novo parâmetro corresponde a uma unidade de comprimento.

Aceleração tangencial e normal

Deriva $\mathbf v=v\mathbf T$ pela regra do produto. Como $\mathbf T$ é unitário, $\mathbf T'$ é perpendicular a $\mathbf T$ e $\|\mathbf T'\|=v\kappa$. Obtém-se

$$\mathbf a=v'\mathbf T+v^2\kappa\mathbf N.$$

A parcela $v'$ mede travagem ou arranque ao longo da tangente; $v^2\kappa$ mede a curva para o lado da normal. Na hélice anterior, $v'=0$ e $\kappa=3/25$. Em $t=0$, $\mathbf N=(-1,0,0)$ e

$$\mathbf a=(-3,0,0)=0\cdot\mathbf T+25\cdot\frac{3}{25}(-1,0,0).$$

Toda a aceleração é normal e aponta para o eixo. Num arranque em linha reta, pelo contrário, $\kappa=0$ e toda a aceleração é tangencial.

Normal quando a velocidade escalar varia

Se a partícula acelera também ao longo da tangente, normalizar $\mathbf r''$ não dá a normal principal. Da relação $\mathbf a=v'\mathbf T+v\mathbf T'$ resulta

$$v'=\frac{\mathbf r'\cdot\mathbf r''}{v}.$$

Retira primeiro a componente tangencial:

$$\mathbf T'=\frac{\mathbf a-v'\mathbf T}{v}.$$

Só depois normaliza $\mathbf T'$ para obter $\mathbf N$, quando esse vetor não é nulo. O produto $\mathbf T\cdot\mathbf T'=0$ permite conferir a conta.

Por exemplo, para $\mathbf r(t)=e^t(\cos t,\sin t,1)$, a velocidade escalar é $v=\sqrt3e^t$. Em $t=0$, temos $\mathbf r'=(1,1,1)$ e $\mathbf a=(0,2,1)$.

Daqui sai $\mathbf T=(1,1,1)/\sqrt3$ e $v'=\sqrt3$. A componente normal da aceleração é $\mathbf a-v'\mathbf T=(-1,1,0)$. Assim, $\mathbf T'=(-1,1,0)/\sqrt3$ e $\mathbf N=(-1,1,0)/\sqrt2$.

Normalizar $(0,2,1)$ daria um vetor que nem é perpendicular a $\mathbf T$. A velocidade crescente também muda o cálculo do arco: entre $0$ e $1$, o comprimento é $\sqrt3(e-1)$, não a velocidade inicial vezes o tempo.

Curvatura

A curvatura mede quanto a tangente roda por unidade de comprimento:

$$\kappa=\left\|\frac{d\mathbf T}{ds}\right\| =\frac{\|\mathbf T'\|}{\|\mathbf r'\|} =\frac{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|}{\|\mathbf r'\|^3}.$$

Voltando à hélice inicial $\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t,t)$, $\|\mathbf T'\|=1/\sqrt2$, logo $\kappa=1/2$. O raio de curvatura é $\rho=1/\kappa=2$ e o centro de curvatura em $t=0$ é $P+\rho\mathbf N=(-1,0,0)$. Este centro está no plano osculador, não necessariamente no eixo da hélice.

No plano, substitui o produto vetorial por $|x'y''-y'x''|$. Para um gráfico $y=f(x)$, obténs $\kappa=|f''|/(1+f'^2)^{3/2}$.

Na circunferência de raio $R$, a curvatura é $1/R$: um círculo menor dobra mais depressa. Na reta, é zero e não há raio de curvatura finito. As fórmulas exigem regularidade, ou seja, uma parametrização com velocidade nula precisa de análise antes de as aplicares.