Regra da cadeia e funções implícitas

Uma partícula segue $x=t^2$, $y=1+t$ num campo de temperatura $f(x,y)=x^2y$. A temperatura sentida é $z(t)=f(x(t),y(t))$. Mudar $t$ altera as duas coordenadas, por isso a regra da cadeia soma as duas contribuições.

Regra da cadeia em funções escalares

Se $z(t)=f(x(t),y(t))$ e as funções são diferenciáveis, a derivada total soma as contribuições dos dois caminhos,

$$z'=f_x\,x'+f_y\,y'.$$

As parciais de $f$ são avaliadas no ponto $(x(t),y(t))$. Para $f=x^2y$, $x=t^2$ e $y=1+t$, obtemos

$$z'=2xy(2t)+x^2=4t^3(1+t)+t^4.$$

Em $t=1$ dá 9. Confere por substituição: $z=t^4(1+t)$ e $z'=4t^3+5t^4$, também 9.

Se $w(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))$, mantém fixa a outra variável em cada parcial:

$$w_u=f_x\,x_u+f_y\,y_u,\qquad w_v=f_x\,x_v+f_y\,y_v.$$

Para $f=x^2+y^2$, $x=u+v$ e $y=uv$, temos $w_u=2(u+v)+2uv^2$ e $w_v=2(u+v)+2u^2v$. Os símbolos $f_xx_u$ significam o produto $f_x\,x_u$, não uma derivada de segunda ordem.

Gradiente normal a um nível

Se $f$ é diferenciável e $\mathbf r(t)$ percorre o nível $f=c$, então $f(\mathbf r(t))=c$. A cadeia dá

$$\nabla f(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)=0.$$

Por isso $\nabla f$ é perpendicular à velocidade de qualquer curva do nível. No ponto $(1,1)$ de $q=x^2+2y^2=3$, $\nabla q=(2,4)$ e a reta tangente é $2(x-1)+4(y-1)=0$. Sem diferenciabilidade, a igualdade da cadeia não está garantida.

Composição de campos vetoriais

Para $\mathbf g:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ e $\mathbf F:\mathbb R^m\to\mathbb R^p$ diferenciáveis, a jacobiana da composição é o produto das jacobianas, por esta ordem,

$$J_{\mathbf F\circ\mathbf g}(a)=J_{\mathbf F}(\mathbf g(a))J_{\mathbf g}(a).$$

A ordem importa: a primeira matriz é $p\times m$, a segunda $m\times n$ e o resultado $p\times n$.

Usa $\mathbf F(x,y)=(x^2+y,xy)$ e $\mathbf g(u,v)=(u+v,u-v)$. Em $(u,v)=(1,0)$, $\mathbf g=(1,1)$ e

$$J_{\mathbf F}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad J_{\mathbf g}=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad J_{\mathbf F\circ\mathbf g}=\begin{pmatrix}3&1\\2&0\end{pmatrix}.$$

Podes conferir derivando $((u+v)^2+u-v,u^2-v^2)$ diretamente.

Teorema da função implícita

Uma equação $F(x,y)=0$ pode definir $y$ em função de $x$ apenas localmente. Se $F(a,b)=0$, $F$ é de classe $C^1$ numa vizinhança e $F_y(a,b)\ne0$, o teorema da função implícita garante uma função diferenciável perto de $(a,b)$. Aplicando a cadeia temos

$$F_x+F_yy'=0\quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac{F_x}{F_y}.$$

Na circunferência $x^2+y^2=4$, $y'=-x/y$ quando $y\ne0$. Em $(\sqrt3,1)$, o declive é $-\sqrt3$. Em $(2,0)$, esta fórmula não se aplica: a tangente é vertical. Nesse ponto, $F_x\ne0$ permite definir $x$ em função de $y$.

Para $F(x,y,z(x,y))=0$, com $F$ de classe $C^1$ perto do ponto e $F_z\ne0$ nesse ponto,

$$z_x=-F_x/F_z,\qquad z_y=-F_y/F_z.$$

Na esfera $x^2+y^2+z^2=9$, perto de $(1,2,2)$, $z_x=-1/2$ e $z_y=-1$. O plano tangente é $z-2=-(x-1)/2-(y-2)$.

Segundas derivadas implícitas

Com $F$ de classe $C^2$ e $F_y\ne0$, volta a derivar $F_x+F_yy'=0$ em ordem a $x$, lembrando que $y$ também varia:

$$F_{xx}+2F_{xy}y'+F_{yy}(y')^2+F_yy''=0.$$

Na circunferência, $2+2(y')^2+2yy''=0$. Em $(\sqrt3,1)$, $y'=-\sqrt3$ e $y''=-4$. O fator 2 no termo misto vem dos dois caminhos da cadeia, não de uma convenção arbitrária.

Sistemas de funções implícitas

Se duas equações $F(x,y,z)=0$ e $G(x,y,z)=0$ definem $y(x)$ e $z(x)$, resolve

$$\begin{pmatrix}F_y&F_z\\G_y&G_z\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y'\\z'\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix}F_x\\G_x\end{pmatrix}.$$

Com $F$ e $G$ de classe $C^1$ perto de um ponto que satisfaz ambas as equações, o determinante não nulo da matriz das variáveis dependentes garante a representação local.

Para $x+y+z=3$ e $y-z=x^2$, fica $y'+z'=-1$ e $y'-z'=2x$. Assim, $y'=x-1/2$ e $z'=-x-1/2$. A matriz tem determinante $-2$, por isso a solução local existe em todos os pontos do sistema.

Antes de derivar, identifica as variáveis independentes. Antes de dividir, confirma que o denominador não se anula no ponto pedido.