Limites e continuidade em várias variáveis

A função $f(x,y)=\log(x^2+y^2-1)/\sqrt{4-x^2-y^2}$ só pode ser calculada onde o logaritmo e o denominador fazem sentido. Esse conjunto de pontos é o domínio. Antes de estudar um limite, precisamos de saber por onde podemos aproximar-nos do ponto.

Uma temperatura $T(x,y,z)$ é um campo escalar, pois associa um número a cada posição. Uma velocidade $\mathbf v(x,y,z)$ é um campo vetorial, pois associa um vetor. Em ambos os casos, o domínio pertence ao espaço das posições, não ao dos valores obtidos.

Domínio, interior e fronteira

Para $f(x,y)=\log(x^2+y^2-1)/\sqrt{4-x^2-y^2}$, o logaritmo exige $x^2+y^2>1$ e o denominador exige $x^2+y^2<4$. O domínio é o anel aberto $1<x^2+y^2<4$; as duas circunferências são fronteira, mas não pertencem ao domínio.

Uma bola aberta de centro $a$ e raio $r>0$ reúne os pontos $x$ com $\|x-a\|<r$. Um ponto é interior se uma bola suficientemente pequena centrada nele cabe no conjunto. Um ponto é de fronteira se qualquer bola centrada nele encontra tanto o conjunto como o seu complemento.

Um conjunto é aberto se todos os seus pontos são interiores; é fechado se contém todos os seus pontos de fronteira. Limitado significa contido numa bola de raio finito. Em $\mathbb R^n$, um conjunto fechado e limitado é compacto. Estas condições vão garantir a existência de extremos absolutos mais adiante.

Curvas e superfícies de nível

A curva de nível $f(x,y)=c$ reúne os pontos com o mesmo valor. Para $f=x^2+y^2$, níveis positivos são circunferências de raio $\sqrt c$, o nível 0 é um ponto e níveis negativos são vazios. Para $f=xy$, níveis não nulos são hipérboles; o nível zero é a união dos eixos.

Em três variáveis, $x^2+y^2+z^2=c$ descreve superfícies de nível esféricas para $c>0$. Para $c=0$ reduz-se à origem; para $c<0$ o conjunto é vazio. Não confundas o gráfico de $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$, que vive em três dimensões, com as suas curvas de nível, que vivem no domínio plano.

Reconhecer quádricas pelos cortes

Fixa uma coordenada para obteres um corte e depois junta os cortes. Os sinais e os cortes distinguem as famílias:

Translações mudam o centro; coeficientes positivos diferentes mudam raios para semieixos.

Limites e caminhos de aproximação

Estudamos limites em pontos de acumulação do domínio: qualquer bola centrada em $\mathbf a$ deve conter um ponto do domínio diferente de $\mathbf a$. O limite $\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}f(\mathbf x)=L$ exige que, para todo $\varepsilon>0$, exista $\delta>0$ tal que

para pontos do domínio. A mesma escolha de $\delta$ tem de funcionar em todas as direções. O valor no ponto não entra no limite.

Para $f(x,y)=xy/(x^2+y^2)$ fora da origem, $y=0$ dá 0, mas $y=x$ dá $1/2$. Dois caminhos incompatíveis provam que o limite não existe.

Testar apenas retas pode falhar. Em $g(x,y)=x^2y/(x^4+y^2)$, para uma reta $y=mx$ com $m\ne0$,

No eixo horizontal e no vertical, $g=0$ fora da origem. Porém, na parábola $y=x^2$, o valor é $x^4/(2x^4)=1/2$. A parábola equilibra os dois termos do denominador e revela o caminho que as retas perderam.

Limites iterados

Num limite iterado, uma variável aproxima-se primeiro, mantendo a outra fixa. Para $f(x,y)=xy/(x^2+y^2)$, fixar $x\ne0$ e fazer $y\to0$ dá 0, e depois fazer $x\to0$ continua a dar 0. Trocar a ordem dá o mesmo valor.

Apesar disso, o limite conjunto não existe, porque a diagonal dá $1/2$. Limites iterados iguais não controlam aproximações em que as duas coordenadas variam juntas. Se os iterados existem e são diferentes, também não pode existir um limite conjunto. Só se podem identificar com o limite conjunto quando este existe e os limites interiores relevantes também existem.

Provar um limite com uma estimativa

Para $h(x,y)=x^2y/(x^2+y^2)$, queremos provar limite 0. Como $x^2/(x^2+y^2)\le1$, temos

Se a distância à origem é menor que $\delta=\varepsilon$, o erro é menor que $\varepsilon$. A estimativa cobre todos os caminhos.

Em polares, $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, a mesma expressão é $r\cos^2\theta\sin\theta$, cujo módulo é no máximo $r$. O fator que tende a zero tem de controlar a expressão uniformemente em $\theta$, ou seja, não chega fixares um ângulo e calculares um limite.

Continuidade e funções vetoriais

Num ponto de acumulação do domínio, $f$ é contínua em $\mathbf a$ se está definida nesse ponto e o limite vale $f(\mathbf a)$. Num ponto isolado do domínio, a continuidade é automática: uma bola pequena não contém outros pontos do domínio. A extensão $h(0,0)=0$ é contínua; a extensão com valor 1 não é. Somas, produtos e composições de funções contínuas são contínuos no seu domínio; nos quocientes exige-se denominador não nulo.

Para $\mathbf F=(F_1,\ldots,F_m)$, o limite e a continuidade verificam-se componente a componente. Se uma componente não tem limite, o campo também não tem. Ter derivadas parciais no ponto não garante continuidade, como mostra a página sobre derivadas e diferenciabilidade.