Taylor e extremos em várias variáveis

Para $f(x,y)=xy^2$, o plano tangente em $(1,2)$ prevê $4+4h+4k$, com $h=x-1$ e $k=y-2$. A expansão exata é

O polinómio de Taylor de segunda ordem conserva também $4hk+k^2$. Estes termos descrevem a variação da inclinação e ajudam a distinguir mínimos, máximos e selas. A fórmula aplica-se a funções de classe $C^2$, cujas derivadas parciais até ordem 2 existem e são contínuas.

Polinómio de Taylor de segunda ordem

Para $f$ de classe $C^2$ perto de $a=(a_1,a_2)$, escreve $h=x-a_1$ e $k=y-a_2$:

Todas as derivadas são calculadas no centro. Para $f(x,y)=xy^2$ perto de $(1,2)$, temos $f=4$, $f_x=4$, $f_y=4$, $f_{xx}=0$, $f_{xy}=4$ e $f_{yy}=2$. Portanto,

A expansão exata $(1+h)(2+k)^2$ acrescenta só $hk^2$, de grau 3. Em $(1{,}1,1{,}8)$, $h=0{,}1$ e $k=-0{,}2$: $P_2=3{,}56$, o valor exato é $3{,}564$ e o erro $0{,}004$. O termo misto aparece com coeficiente $f_{xy}$ porque o fator 2 cancela o $1/2$.

Em $n$ variáveis, a escrita compacta é $P_2(a+h)=f(a)+\nabla f(a)\cdot h+\tfrac12h^TH_f(a)h$, onde $H_f$ é a hessiana.

Resto e ordem da aproximação

Para $f\in C^2$, o erro é $o(\|h\|^2)$ quando $h\to0$. Se as derivadas de ordem 3 são contínuas, aplica Taylor à função de uma variável $g(t)=f(a+th)$. Para algum $\xi\in(0,1)$,

O termo $g^{(3)}$ inclui os fatores das componentes de $h$. Se $|g^{(3)}(t)|\le M\|h\|^3$ no segmento, o erro não excede $M\|h\|^3/6$. Um polinómio de Taylor é uma aproximação local, não uma igualdade global. Para ordem $m$, usa $\sum_{j=0}^m g^{(j)}(0)/j!$, com $g(t)=f(a+th)$.

Extremos livres e a hessiana

Num ponto interior diferenciável de extremo local, $\nabla f=0$. A condição é necessária, não suficiente. Procura também pontos onde a função não é diferenciável.

Em duas variáveis e num ponto estacionário de uma função $C^2$, calcula $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$:

Para $f=x^2+y^2-xy-3x$, as equações $2x-y-3=0$ e $2y-x=0$ dão $(2,1)$. A hessiana $\bigl(\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}\bigr)$ tem $D=3>0$, logo há mínimo local de valor $-3$.

Aqui é também mínimo absoluto: com $h=x-2$ e $k=y-1$, $f+3=h^2+k^2-hk=\tfrac12(h-k)^2+\tfrac12(h^2+k^2)\ge0$. Esta identidade prova a afirmação global, que o teste local sozinho não prova.

Num ponto estacionário de uma função $C^2$, também em três ou mais variáveis, uma hessiana positiva definida dá mínimo local estrito, negativa definida dá máximo local estrito e indefinida dá sela. Positiva definida significa $h^TH_fh>0$ para todo $h\ne0$; negativa definida troca o sinal; indefinida admite ambos os sinais. Os valores próprios de uma hessiana simétrica permitem verificar isso: todos positivos, todos negativos ou sinais opostos, respetivamente.

Quando $D=0$, o teste não decide e é preciso voltar à função. Em $f=x^2+y^4$, $f>0$ fora da origem, que é mínimo absoluto estrito. Em $g=x^2-y^4$, $g(x,0)>0$ e $g(0,y)<0$ fora da origem, por isso há valores dos dois lados: é sela.

O mesmo padrão repete-se em $x^4+y^4$, $-x^4-y^4$ e $x^4-y^4$: a hessiana na origem é nula nos três casos, mas os comportamentos são mínimo, máximo e sela. A prática desenvolve os dois primeiros casos passo a passo.

Extremos absolutos e fronteira

Uma função contínua num compacto atinge máximo e mínimo. Para os encontrar, reúne candidatos interiores, candidatos na fronteira e pontos singulares, depois compara valores.

No disco $x^2+y^2\le1$, para $f=x^2+2y^2$, o ponto interior $(0,0)$ dá mínimo 0. Na fronteira, $x^2=1-y^2$, logo $f=1+y^2$. Os extremos da fronteira são 1 em $(\pm1,0)$ e 2 em $(0,\pm1)$. O máximo no disco é 2, por isso ignorar a fronteira perderia esse máximo.

Num domínio aberto ou ilimitado, pergunta primeiro se os valores extremos existem. Um ínfimo não tem de ser atingido: $f(x)=x$ em $(0,1)$ não tem mínimo.

Extremos condicionados e Lagrange

Com $f,g$ de classe $C^1$ perto do ponto, sobre $g(x)=0$ e com $\nabla g\ne0$, num extremo regular temos

O gradiente de $f$ tem de ser normal à restrição porque não há variação de primeira ordem nas direções tangentes. Os pontos onde $\nabla g=0$ precisam de análise separada.

Para $f=x+y$ na circunferência $x^2+y^2=4$, temos $1=2\lambda x$, $1=2\lambda y$ e $x^2+y^2=4$. Daí $x=y=\pm\sqrt2$. Comparar valores dá máximo $2\sqrt2$ e mínimo $-2\sqrt2$; a existência é garantida pela continuidade na circunferência compacta.

Em três variáveis, para maximizar $x+y+z$ na esfera unitária, $(1,1,1)=2\lambda(x,y,z)$. Os candidatos são $\pm(1,1,1)/\sqrt3$, com valores $\pm\sqrt3$.

Com duas restrições regulares $g=0$ e $q=0$, usa $\nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla q$, exigindo independência dos dois gradientes. Por exemplo, para $f=x+y+z$ na esfera unitária com $z=0$, temos

A última componente dá $\mu=1$; as duas primeiras dão $x=y$. A restrição dá $x=y=\pm1/\sqrt2$, com valores $\pm\sqrt2$. Em toda a circunferência, o gradiente da esfera tem componente horizontal não nula, pelo que é independente de $(0,0,1)$.

Não perdemos candidatos por falha da regularidade. Não dividas uma equação por uma variável sem tratar a possibilidade de ser zero. Lagrange encontra candidatos, não classifica automaticamente nem dispensa a comparação final.

Candidatos com coordenadas nulas

Para $f=xy+z^2$ sobre $y=x$ e $x^2+y^2+z^2=4$, a restrição reduz-se a $2x^2+z^2=4$. Substituir dá uma conferência independente:

Portanto, o máximo é 4 em $(0,0,\pm2)$ e o mínimo é 2 em $(\sqrt2,\sqrt2,0)$ e $(-\sqrt2,-\sqrt2,0)$. Aqui os extremos têm precisamente uma coordenada nula.

Com Lagrange e restrições $g=x^2+y^2+z^2-4$ e $q=y-x$, o sistema dá

A terceira equação é $2z=2\lambda z$. Somando as primeiras e usando $y=x$, fica

Se $x=0$, a esfera dá $z=\pm2$, por isso $\lambda=1$. Se $x\ne0$, temos $\lambda=1/2$ e a segunda relação obriga $z=0$; a esfera dá $x=y=\pm\sqrt2$. Dividir logo por $x$ ou por $z$ eliminaria uma destas famílias. Os gradientes das restrições são independentes em toda a circunferência, e a compacidade garante que a comparação encontra os extremos absolutos.

Restrições num conjunto ilimitado

Com $2x-y=0$ e $y+z=0$, o conjunto admissível é a reta $(x,y,z)=(t,2t,-2t)$, não um compacto. Para $f=x^2+2y-z^2$, a função sobre a reta é

Há máximo absoluto $4/3$ em $(2/3,4/3,-4/3)$. Não há mínimo, porque o valor tende a $-\infty$ quando $|t|\to\infty$. Os multiplicadores podem encontrar o candidato, mas não garantem um mínimo que o conjunto e a função não permitem.