Equações diferenciais parciais

Na equação $u_t=u_{xx}$, a incógnita é a temperatura $u(x,t)$ de uma barra. A derivada $u_t$ mede a mudança no tempo; $u_{xx}$ mede a curvatura do perfil espacial. A igualdade impõe uma relação entre essas mudanças, sem escolher por si só uma temperatura inicial.

Uma equação diferencial parcial, ou EDP, relaciona uma função de várias variáveis com as suas derivadas parciais. Para resolver um problema concreto, juntamos à equação os dados iniciais e de fronteira.

Classificação em segunda ordem

Para uma equação de segunda ordem com coeficientes constantes da forma

o discriminante $B^2-4AC$ decide o tipo: hiperbólica se $>0$, parabólica se $=0$, elíptica se $<0$. Aqui $B$ é o coeficiente de $u_{xy}$ na forma escrita sem fator $2$ à parte; se a equação aparecer como $Au_{xx}+2B'u_{xy}+Cu_{yy}$, usa $B=2B'$. Por exemplo, $3u_{xx}+5u_{xy}+u_{yy}=0$ tem $25-12=13>0$ e é hiperbólica; $u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}=0$ tem $1-4<0$ e é elíptica. A ficha 5.36 usa esta convenção. O tipo sugere o comportamento: propagação, difusão ou equilíbrio.

Ordem, linearidade e dados

A ordem é a maior ordem de derivação presente. $u_x+u_y=0$ é de primeira ordem; $u_t=\alpha u_{xx}$ é de segunda ordem.

A EDP é linear quando $u$ e as suas derivadas aparecem à primeira potência, sem produtos entre elas, e os coeficientes dependem só das variáveis independentes. $xu_x+u_y=\sin x$ é linear; $uu_x=1$ e $(u_x)^2+u_y=0$ não são. Linear não significa que a solução tenha de ser uma função linear.

Uma EDP linear é homogénea se o termo independente é zero. Combinações lineares de soluções de uma equação homogénea continuam a ser soluções. Numa equação não homogénea, a soma de duas soluções geralmente duplica o termo independente e deixa de ser solução. A solução geral pode escrever-se como uma solução particular mais a solução geral da equação homogénea associada.

Os dados iniciais fixam a função num instante, como $u(x,0)=g(x)$. Os dados de fronteira fixam valores ou derivadas na fronteira espacial. A EDP sozinha pode ter infinitas soluções; os dados restringem a escolha.

Integrar numa variável

Trabalhamos num domínio retangular, para que cada corte na variável de integração seja um intervalo. Para $u_x=2xy$, integra em $x$, tratando $y$ como constante:

A constante de integração pode depender de $y$, porque a derivada parcial em $x$ a elimina. Esta é a solução geral, com $A$ diferenciável quando necessário. Se $u(0,y)=\sin y$, então $A(y)=\sin y$, e obtemos a solução particular $u=x^2y+\sin y$.

Para $u_{xy}=0$, primeiro $u_x=A(x)$ porque a derivada em $y$ é zero; integrar em $x$ dá $u=B(x)+C(y)$. Confirma derivando. Escrever só uma constante excluiria muitas soluções válidas.

Transporte e características

Na reta espacial $x\in\mathbb R$, considera $u_t+c u_x=0$, com velocidade constante $c$ e solução de classe $C^1$. Ao seguir uma linha $x(t)=x_0+ct$, a cadeia dá

Portanto, o valor permanece constante em cada linha característica. A solução geral é $u(x,t)=F(x-ct)$, e o dado inicial $u(x,0)=g(x)$ escolhe $F=g$.

Com $c=2$ e $g(x)=e^{-x^2}$, a solução é $u(x,t)=e^{-(x-2t)^2}$. O máximo desloca-se de $x=0$ para $x=2t$ sem mudar de altura. Confere $u_t+2u_x=0$ derivando a expressão. O sinal $x-ct$ corresponde a deslocamento para a direita se $c>0$.

O tracejado mantém o perfil inicial. Para manter o mesmo argumento de $g$, temos de manter $x-2t$ constante, por isso $x$ aumenta quando $t$ aumenta. Segue o ponto que parte de $x_0=1$: na característica $x=1+2t$,

A altura não muda ao acompanhar esse ponto. Num $x$ fixo, pelo contrário, o valor de $u$ pode mudar à medida que o perfil passa.

Separação de variáveis na equação do calor

No intervalo $0<x<\pi$, para $t\ge0$, toma $u_t=u_{xx}$ com extremidades mantidas a zero. Procura uma solução da forma $u=X(x)T(t)$, um ensaio para encontrar soluções especiais:

nos pontos onde podemos dividir. O lado esquerdo depende só de $t$ e o direito só de $x$, por isso são constantes. Obtemos $X''+\lambda X=0$ e $T'+\lambda T=0$.

Se $\lambda=0$, $X$ é afim e as duas fronteiras obrigam $X=0$. Se $\lambda<0$, a solução exponencial também só satisfaz ambas as fronteiras quando é nula. Resta $\lambda>0$: a solução é $A\cos(\sqrt\lambda x)+B\sin(\sqrt\lambda x)$.

A primeira fronteira dá $A=0$; a segunda exige $\sin(\sqrt\lambda\pi)=0$ para $B\ne0$. Assim, as condições $X(0)=X(\pi)=0$ admitem modos não nulos $X_n=\sin(nx)$, com $\lambda=n^2$ e $n=1,2,\ldots$. Então

Se $u(x,0)=\sin x$, o primeiro modo dá $u=e^{-t}\sin x$. Substituir confirma a EDP, os dados iniciais e as duas condições de fronteira. A amplitude diminui com o tempo. Uma combinação finita de modos também é solução. Quando o dado inicial não é um modo, como $x(\pi-x)$, é preciso somar infinitos modos com coeficientes de Fourier; esse passo fica na página do calor. O mesmo acontece nas ondas com dois dados iniciais e em Laplace no retângulo.

Onda e equilíbrio

Na equação da onda $u_{tt}=c^2u_{xx}$, o modo $u=\sin(nx)\cos(cnt)$ satisfaz fronteiras nulas em $0$ e $\pi$, deslocamento inicial $\sin(nx)$ e velocidade inicial zero. A amplitude oscila em vez de decair. Como há segunda derivada no tempo, precisas de dois dados iniciais. A resolução com deslocamento e velocidade gerais fica na página das ondas.

Uma temperatura em equilíbrio satisfaz $u_{xx}+u_{yy}=0$, a equação de Laplace. A função $u=x^2-y^2$ satisfaz esta equação, porque as segundas derivadas são 2 e $-2$. Para determinar uma solução num domínio concreto, falta especificar condições de fronteira. A resolução no retângulo com Dirichlet, Neumann e Robin fica na página de Laplace.

Verificar uma solução

Para aceitar uma expressão candidata, verifica separadamente:

1. A regularidade necessária para as derivadas usadas.
2. A igualdade da EDP depois de substituir as derivadas.
3. Todos os dados iniciais e de fronteira, no domínio pedido.

Uma expressão que resolve a equação mas falha uma condição de fronteira não resolve o problema completo. Uma família de soluções separadas não é, por si só, uma demonstração de que encontrámos todas as soluções.