Derivadas parciais, gradiente e jacobiana

Para $f(x,y)=x^2+2y^3-xy$, passar de $(1,0)$ para $(1+h,0)$ dá uma variação $2h+h^2$. Passar para $(1,k)$ dá $-k+2k^3$. As taxas de primeira ordem são diferentes: 2 segundo $x$ e $-1$ segundo $y$.

As derivadas parciais medem estas taxas mantendo a outra coordenada fixa. A derivada direcional permite escolher outra direção. A diferenciabilidade exige que uma única aproximação linear explique todos os pequenos deslocamentos.

Derivadas parciais

A definição em duas variáveis é

Para $f(x,y)=x^2+2y^3-xy$, temos $f_x=2x-y$ e $f_y=6y^2-x$. Em $(1,0)$ valem 2 e $-1$. Nos cortes do gráfico paralelos aos eixos, estes são os declives das tangentes.

As segundas parciais são $f_{xx}=2$, $f_{xy}=f_{yx}=-1$ e $f_{yy}=12y$. A igualdade das mistas é garantida quando são contínuas numa vizinhança, por isso não a uses como definição nem a assumes em funções definidas por ramos sem verificar as hipóteses.

Derivada direcional

Para um versor $\mathbf u$, de norma 1,

A direção $(3,4)$ usa $\mathbf u=(3/5,4/5)$. Normalizar faz o resultado medir variação por unidade de distância, ou seja, uma direção não unitária daria a taxa por unidade do parâmetro escolhido.

Se $f$ é diferenciável em $p$, podemos calcular $D_{\mathbf u}f(p)=\nabla f(p)\cdot\mathbf u$. Sem diferenciabilidade, calcula pela definição, porque a existência das parciais não autoriza esta fórmula.

O gradiente

O vetor $\nabla f=(f_x,f_y)$ junta as parciais. No exemplo em $(1,0)$ é $(2,-1)$. Segundo $(3/5,4/5)$, a derivada é $2(3/5)-(4/5)=2/5$.

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, $|\nabla f\cdot\mathbf u|\le\|\nabla f\|$. Quando o gradiente não é nulo, o maior aumento é $\|\nabla f\|$, na direção $\nabla f/\|\nabla f\|$; a maior descida usa a direção oposta. Direções perpendiculares ao gradiente têm derivada zero naquele ponto, o que não significa que a função seja constante numa reta inteira.

Na demo usamos $q(x,y)=x^2+2y^2$ no ponto $(1,1)$. O gradiente fixo é $(2,4)$ e a direção é $\mathbf u=(\cos\theta,\sin\theta)$. Roda o ângulo e observa a taxa: é máxima perto de $63{,}4^\circ$ e zero nas direções tangentes à elipse de nível $q=3$.

Há duas leituras da mesma conta com o vetor $(3,4)$. A taxa por unidade de distância usa o versor $(3/5,4/5)$ e vale $2/5$. A derivada da composição $g(t)=f(p+t(3,4))$ em $t=0$ vale $5$ vezes mais, porque cada unidade de $t$ anda $5$ unidades de distância. Os materiais FEUP usam ambas; aqui $D_{\mathbf u}f$ reserva-se para versores, e a composição escreve-se $d/dt\,f(p+t\mathbf v)$.

Se uma curva fica sobre $f=c$, a cadeia dá $\nabla f\cdot\mathbf r'=0$ quando $f$ é diferenciável. Num ponto onde $\nabla f\ne0$, este é um vetor normal ao nível. A prova completa usa a cadeia e fica na página seguinte. Para $q=3$ em $(1,1)$, a tangente satisfaz $2(x-1)+4(y-1)=0$.

Diferenciabilidade e plano tangente

$f$ é diferenciável em $p$ quando

Aqui $h$ é um vetor de deslocamentos, e $o(\|h\|)$ designa um erro cujo quociente por $\|h\|$ tende a zero. Uma condição suficiente é ter parciais contínuas numa vizinhança do ponto. Diferenciabilidade implica continuidade e a fórmula direcional, mas a recíproca não é automática.

Para o gráfico $z=f(x,y)$, o plano tangente em $(a,b,f(a,b))$ é

No nosso primeiro exemplo, $f(1,0)=1$, por isso $z=1+2(x-1)-y$. Para $(x,y)=(1{,}02,0{,}01)$, o plano estima $1{,}03$. O valor exato é $1{,}030202$; o erro é $0{,}000202$, menor que a variação de primeira ordem.

O diferencial é $df=f_x\,dx+f_y\,dy$. Representa a parte linear da variação, não a variação exata $\Delta f$. Para erros pequenos $|dx|\le\epsilon_x$ e $|dy|\le\epsilon_y$, estimamos $|df|\le |f_x|\epsilon_x+|f_y|\epsilon_y$.

Uma função com parciais mas sem diferenciabilidade

Define $g(x,y)=xy/(x^2+y^2)$ fora da origem e $g(0,0)=0$. Nos eixos é sempre zero, logo $g_x(0,0)=g_y(0,0)=0$. Na diagonal vale $1/2$, por isso nem é contínua. As parciais observam só os cortes coordenados e não detetam este problema.

Mesmo continuidade e todas as derivadas direcionais não garantem diferenciabilidade. Define $w(0,0)=0$ e $w(x,y)=x^3/(x^2+y^2)$ fora da origem. A estimativa $|w|\le|x|$ prova continuidade.

Para um versor $u=(a,b)$, a definição dá $D_uw(0,0)=a^3$, mas as parciais são $w_x=1$ e $w_y=0$: o produto $\nabla w\cdot u=a$ não coincide com $a^3$ em geral. Falta uma única aproximação linear válida em todas as direções.

Jacobiana e campos vetoriais

Para $\mathbf F:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$, a matriz jacobiana tem $m$ linhas, uma por componente, e $n$ colunas, uma por variável. Para $\mathbf F(x,y)=(x^2+y,xy)$:

Em $(1,2)$, uma variação $(h,k)$ produz aproximadamente $(2h+k,2h+k)$. A derivada direcional vetorial é $J_{\mathbf F}\mathbf u$, um vetor de $m$ componentes. Confere as dimensões antes de multiplicares.

Teorema do valor médio num segmento