Integrais de linha e teorema de Green

Um fio segue o arco $y=x^2$ entre $(0,0)$ e $(1,1)$. Se a densidade linear for $f(x,y)=x$, a massa resulta de somar $f\,ds$, onde $ds$ mede comprimento. Percorrer o fio ao contrário conserva essa massa.

O trabalho de uma força usa outro elemento: $\mathbf F\cdot d\mathbf r$, que mede a contribuição da força ao longo do deslocamento. Aqui, inverter o percurso troca o sinal. Esta distinção decide como montar o integral.

Integral de linha escalar

Para uma curva regular por troços $\mathbf r(t)$, $a\le t\le b$,

Se $f$ é densidade por unidade de comprimento, o resultado é massa. Para $f=1$, dá o comprimento. Inverter a orientação não muda o valor.

No arco $y=x^2$ de $(0,0)$ a $(1,1)$, escolhe $\mathbf r(t)=(t,t^2)$, $0\le t\le1$. Com densidade $f=x$, temos

A substituição $u=1+4t^2$ dá $du=8t\,dt$, e a primitiva é $u^{3/2}/12$. O fator raiz vem da velocidade, não da densidade.

Integral de linha vetorial e trabalho

Para $\mathbf F=(P,Q,R)$, usa

Inverter a orientação troca o sinal. O integral escalar usa $ds=\|\mathbf r'\|\,dt$ e ignora o sentido; o integral vetorial usa $d\mathbf r=\mathbf r'\,dt$ e muda de sinal. Dividir a curva em troços soma os integrais, respeitando o sentido de cada um.

Para $\mathbf F=(y,0)$ da origem a $(1,1)$, na diagonal $\mathbf r=(t,t)$ o integrando é $t$, e o trabalho é $1/2$. Pelos eixos, primeiro até $(1,0)$ e depois até $(1,1)$, cada trabalho é zero. O campo não é conservativo, por isso o percurso altera o resultado.

Campos gradiente e independência do caminho

Um campo é conservativo se $\mathbf F=\nabla\phi$ para um potencial $\phi$. Pela cadeia temos

Escolher uma curva complicada deixa de ser necessário. Para $\mathbf F=(2xy+z,x^2,x)$, integra a primeira componente em $x$: $\phi=x^2y+xz+c(y,z)$. Comparar $\phi_y=x^2+c_y$ com a segunda componente dá $c_y=0$; comparar $\phi_z=x+c_z$ com a terceira dá $c_z=0$. Assim, $\phi=x^2y+xz+C$. De $(0,0,0)$ a $(1,2,3)$, o trabalho é 5.

Em duas dimensões, $P_y=Q_x$ é necessário para um potencial $C^2$. Com componentes $C^1$ num aberto simplesmente conexo, é também suficiente. Em três dimensões, o teste é $\nabla\times\mathbf F=0$ com condições análogas.

O domínio importa. O campo $(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ tem derivadas cruzadas iguais fora da origem, mas o integral na circunferência unitária anti-horária é $2\pi$. A origem excluída impede concluir que é conservativo em todo esse domínio.

Teorema de Green

Se $D$ tem fronteira simples, fechada e regular por troços, orientada com a região à esquerda, e $P,Q$ são $C^1$ numa vizinhança da região e da fronteira, a circulação no bordo iguala o integral das derivadas cruzadas,

Para $\mathbf F=(-y,x)$ e o círculo de raio $a$, $Q_x-P_y=2$. A circulação é $2\pi a^2$. Diretamente, $(a\cos t,a\sin t)$ dá integrando constante $a^2$, confirmando o sinal positivo. No sentido horário o valor é $-2\pi a^2$.

Para uma região com buracos, a fronteira exterior é anti-horária e cada fronteira interior horária. Green continua a aplicar-se com as hipóteses de regularidade em toda a região, ou seja, não permite atravessar uma singularidade do campo.

Área e fluxo no plano

Escolher $P=-y/2$ e $Q=x/2$ dá $Q_x-P_y=1$, logo

Também podemos escolher $(P,Q)=(0,x)$ ou $(P,Q)=(-y,0)$: em ambos os casos, $Q_x-P_y=1$, por isso a área é $\oint x\,dy$ ou $-\oint y\,dx$, respetivamente. A média destas duas expressões dá a fórmula simétrica anterior. As três exigem a mesma orientação positiva; no sentido contrário, dão o negativo da área. Escolhe a que simplificar a parametrização, em vez de memorizar apenas uma forma.

Na elipse $(a\cos t,b\sin t)$, o integrando $x y'-y x'=ab$ dá área $\pi ab$.

Para a mesma orientação positiva, o fluxo para fora de $\mathbf F=(P,Q)$ é

Para $\mathbf F=(x,y)$ no círculo de raio $a$, dá $2\pi a^2$. Este é fluxo através da fronteira, enquanto $\oint P\,dx+Q\,dy$ é circulação ao longo dela. Identifica a grandeza antes de escolheres a fórmula.