Análise Matemática II

AM2 generaliza o cálculo de AM1 para funções de várias variáveis: curvas no espaço, derivadas parciais e otimização, integrais duplos e triplos, e os integrais de linha e de superfície que culminam nos teoremas de Green, da divergência e de Stokes. Estas ferramentas reaparecem em física, métodos estatísticos e computação gráfica.

Como está organizado

O primeiro bloco é o cálculo diferencial. Começa por Curvas paramétricas e funções vetoriais, que fixa tangente, normal, comprimento de arco e curvatura. Depois, Limites e continuidade em várias variáveis trata domínios, curvas de nível e o teste dos caminhos, e Derivadas parciais, gradiente e jacobiana apresenta a derivação direcional, o plano tangente e a aproximação linear. A Regra da cadeia e funções implícitas deriva encadeamentos e equações sem isolar variáveis, e Taylor e extremos aproxima por polinómios de segunda ordem e otimiza com a hessiana e os multiplicadores de Lagrange.

O segundo bloco é a integração. Os Integrais de linha e teorema de Green distinguem o integral escalar do trabalho de um campo, com campos gradiente e independência do caminho. Os Integrais duplos cobrem Fubini, troca de ordem e coordenadas polares, e os Integrais triplos acrescentam as coordenadas cilíndricas e esféricas. Por fim, Superfícies, fluxo e os teoremas da divergência e de Stokes parametriza superfícies e fecha a cadeira com os dois grandes teoremas.

Como estudar

Lê cada página com papel ao lado e refaz o exemplo principal sem espreitar, porque AM2 avalia cálculo encadeado: um domínio mal lido ou um jacobiano esquecido propaga-se por todo o exercício. Desenha sempre a região ou o sólido antes de escrever limites, e confirma cada resultado com um caso conhecido (metade da bola, circulação nula num gradiente). Nos testes não é permitido usar tabelas, formulários nem calculadoras, por isso decora as parametrizações standard (reta, circunferência, esfera), os jacobianos ($r$, $r$, $\rho^2\sin\varphi$) e as condições de cada teorema. Quando houver várias vias (direta, Green, divergência), escolhe a que te sai com menos erros e verifica a orientação antes de integrar.

Avaliação

A forma de avaliação muda de ano para ano. Consulta a ficha da unidade curricular no SIGARRA e a página da disciplina no Moodle para saberes o número de testes, as datas e as regras de frequência e de recurso.

Fontes e âmbito

Estas páginas seguem o programa da unidade curricular L.EIC007, Análise Matemática II, documentado nos materiais oficiais de 2024/25: funções vetoriais e curvas paramétricas (vetor tangente e normal, comprimento de arco, curvatura); funções de $\mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}^m$ (limites, continuidade, derivadas parciais e direcionais, gradiente, jacobiana, cadeia, funções implícitas, Taylor, máximos e mínimos livres e condicionados); integração (integrais de linha, duplos em cartesianas e polares, triplos em cartesianas, cilíndricas e esféricas); e tópicos adicionais (campos gradiente, Green, superfícies, área, integrais de superfície, fluxo, divergência, rotacional e os teoremas da divergência e de Stokes).

Material oficial da FEUP:

• Página de conteúdos de Análise Matemática II (L.EIC007), ocorrência de 2024/25, com 11 aulas teóricas, 5 fichas de problemas práticos e enunciados de testes (consultada em setembro de 2026): SIGARRA.
• Plano de estudos da LEIC, que confirma a colocação da unidade curricular no primeiro ano, segundo semestre: LEIC.
• Bibliografia indicada nas aulas: Calculus, One and Several Variables de Salas, Hille e Etgen; Calculus: Early Transcendental Functions de Larson e Edwards; Apontamentos de Análise Matemática II de C. C. António, AEFEUP, 2017; e Noções sobre Análise Matemática de José Augusto Trigo Barbosa, 2020.

Material histórico da FEUP, usado para confirmar a estrutura dos temas (os enunciados e a avaliação atuais estão na página da disciplina):

• Acetatos por capítulos (funções vetoriais e escalares, integrais duplos, triplos, de linha e de superfície com fluxo), fichas de exercícios e provas de avaliação de 2012 a 2018 da unidade de Complementos de Matemática do MIEIC, preservados no repositório público xico2001pt/feup-cmat e consultados como referência local.

Notas de estudantes, úteis como apoio mas sem valor oficial:

• Resumos AM II SofiaViP, apontamentos de estudante em circulação pública (ficheiro PDF descarregado da pasta pública em setembro de 2026).

Limite do âmbito: o programa oficial prevê ainda uma introdução às equações diferenciais parciais nas últimas aulas, mas o material local disponível não a cobre de forma substantiva (as aulas correspondentes não constam da coleção e os testes de 2024/25 não a avaliam), por isso esse tópico não é aqui desenvolvido. Os exemplos e exercícios destas páginas são originais, escritos para este site. Não reproduzem os enunciados das fichas nem dos testes.