Sistemas lineares invariantes

Um sistema linear e invariante no tempo, SLIT ou LTI, é caracterizado pela resposta a um impulso, com estado inicial nulo. A linearidade permite somar respostas; a invariância permite deslocá-las. Juntas, dão a convolução.

Resposta impulsional

$h(t)$ é a saída para $\delta(t)$; $h[n]$ é a saída para $\delta[n]$. Um impulso aplicado em $t_0$ produz $h(t-t_0)$. Para um filtro RC passa-baixo, com saída na capacidade,

$$\tau y'+y=x,\qquad h(t)=\frac1\tau e^{-t/\tau}u(t),\quad\tau=RC>0.$$

Como o ganho entre tensões é adimensional, $h(t)$ tem unidade $\mathrm{s^{-1}}$. A área de $h$ é um. A fórmula descreve a resposta de estado nulo, não uma eventual tensão já armazenada.

Convolução discreta

Decompomos $x[n]$ em impulsos deslocados, $x[n]=\sum_kx[k]\delta[n-k]$. Cada parcela produz $x[k]h[n-k]$. Somando,

$$y[n]=(x*h)[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k].$$

Para cada índice de saída, verifica quais os termos não nulos. A reflexão $h[-k]$ e o deslocamento $h[n-k]$ são os passos que tornam a convolução diferente de uma multiplicação ponto a ponto.

Exemplo: média de três amostras

Com $h[0]=h[1]=h[2]=1/3$ e restantes zero, $y[n]=(x[n]+x[n-1]+x[n-2])/3$. Para entrada $x[0]=3$, $x[1]=6$, $x[2]=0$ e restantes zero, a saída nos índices $0$ até $4$ é $[1,3,3,2,0]$.

Em $n=1$, só contribuem $x[0]h[1]+x[1]h[0]=1+2=3$. Em $n=3$, a amostra $6$ ainda contribui através de $h[2]$, embora a entrada atual seja zero. Esta é a memória do filtro.

Índice n	0	1	2	3	4
3h[n]	1	1	1	0	0
6h[n−1]	0	2	2	2	0
Soma y[n]	1	3	3	2	0

Na figura, cada amostra da entrada produz uma cópia de $h$ deslocada e multiplicada pelo seu valor. Lê uma coluna de cada vez: em $n=1$, somam-se $1$ da primeira cópia e $2$ da segunda. A linha da saída soma as contribuições na mesma posição, em vez de multiplicar apenas amostras com índices iguais.

A convolução completa de sequências representadas com comprimentos $N$ e $M$ ocupa $N+M-1$ posições. Aqui há cinco posições; a última vale zero porque $x[2]=0$.

Convolução contínua

O raciocínio equivalente com impulsos de área $x(\lambda)d\lambda$ dá

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\lambda)h(t-\lambda)d\lambda.$$

Para funções causais, $x(\lambda)$ exige $\lambda\ge0$ e $h(t-\lambda)$ exige $t-\lambda\ge0$, logo $0\le\lambda\le t$ quando $t\ge0$. É a interseção dos suportes que fixa os limites, não uma regra memorizada. Para $t<0$ não há sobreposição e $y=0$. Um pulso com fim em $T$ divide depois a análise em $t<T$ e $t\ge T$.

Exemplo: pulso num filtro RC

A entrada é $x(t)=U_0[u(t)-u(t-T)]$. Por linearidade com estado inicial nulo, a resposta é a diferença entre duas respostas ao escalão $U_0(1-e^{-t/\tau})u(t)$ e $U_0(1-e^{-(t-T)/\tau})u(t-T)$. Para $t<0$, ambos os termos são zero; para $0\le t<T$, só o primeiro contribui;

$$y(t)=U_0(1-e^{-t/\tau});$$

para $t\ge T$,

$$y(t)=U_0(1-e^{-T/\tau})e^{-(t-T)/\tau}.$$

Durante o pulso, a capacidade carrega; depois, descarrega a partir da tensão atingida em $T$. Com $U_0=5\,\mathrm V$, $T=\tau=1\,\mathrm{ms}$, temos $y(T)=3{,}16\,\mathrm V$ e $y(2T)=1{,}16\,\mathrm V$. As duas expressões dão o mesmo valor na comutação.

Causalidade e estabilidade pela resposta

Um SLIT é causal se $h(t)=0$ para $t<0$, ou $h[n]=0$ para $n<0$. Para respostas ordinárias, é BIBO estável se $\int|h(t)|dt<\infty$, ou $\sum|h[n]|<\infty$. O RC tem integral absoluta um e é estável. O acumulador discreto tem $h[n]=u[n]$, soma infinita e não é estável.

Um ganho instantâneo $K$ tem $h(t)=K\delta(t)$ e é estável, apesar de exigir interpretar o impulso como distribuição, não usar literalmente a integral de uma função ordinária. Não confundas causalidade com estabilidade: o acumulador é causal e instável.

Interligar sistemas

A convolução é comutativa, associativa e distributiva quando as operações envolvidas estão definidas. Em cascata, $h_{\rm eq}=h_1*h_2$; em paralelo com soma das saídas, $h_{\rm eq}=h_1+h_2$. O impulso é a identidade, $x*\delta=x$.

Dois filtros RC iguais em cascata, sem interação elétrica entre os estágios, têm $h_{\rm eq}(t)=(t/\tau^2)e^{-t/\tau}u(t)$. Para $t\ge0$, o produto dentro do integral é constante em $\lambda$:

$$h_{\rm eq}(t)=\int_0^t\frac1{\tau^2}e^{-\lambda/\tau}e^{-(t-\lambda)/\tau}d\lambda =\frac{e^{-t/\tau}}{\tau^2}\int_0^t d\lambda =\frac t{\tau^2}e^{-t/\tau}.$$

O fator $t$ é o comprimento da sobreposição dos suportes. Para $t<0$, não há sobreposição e a resposta é zero. Cascata de blocos matemáticos não garante que dois circuitos físicos ligados diretamente mantenham as respostas individuais: a carga do segundo pode alterar o primeiro.

Com realimentação, a saída regressa à entrada. A resposta em frequência permite resolver a relação por álgebra, mas a estabilidade do conjunto precisa de verificação própria.