Sistemas lineares invariantes

Um filtro RC recebe um sinal e devolve outro. Em vez de resolveres uma equação diferencial para cada entrada possível, a teoria de sistemas caracteriza a caixa uma vez (a resposta impulsional) e depois calcula qualquer saída por uma integral (a convolução). Funciona para qualquer sistema linear e invariante no tempo (SLIT): a saída de uma soma é a soma das saídas, a saída de uma entrada atrasada é a saída atrasada, e nada muda com o passar do tempo.

Resposta impulsional

O impulso unitário $\delta(t)$ é um pulso infinitamente estreito e alto com área unitária. A resposta impulsional $h(t)$ é a saída do sistema quando a entrada é $\delta(t)$ (com o sistema inicialmente em repouso). Ela identifica o sistema: dois SLIT com a mesma $h(t)$ são indistinguíveis por fora.

Para o filtro RC passa-baixo (fonte, $R$ e $C$ em série, saída aos terminais do condensador), a equação é $RC\,dy/dt + y = x$, com $x$ a entrada e $y$ a saída. A resposta impulsional é

$$h(t) = \frac{1}{\tau}\,e^{-t/\tau}\,u(t), \qquad \tau = RC,$$

onde $u(t)$ é o escalão unitário ($0$ para $t < 0$, $1$ para $t \geq 0$), que impõe a causalidade: sem entrada passada não há saída presente. Repara que $h(t)$ tem a forma do transitório dos circuitos reativos, porque é o mesmo circuito a responder ao pulso mais simples possível.

Convolução

Qualquer entrada $x(t)$ decompõe-se numa sucessão de impulsos de área $x(\lambda)\,d\lambda$ em cada instante $\lambda$. Por linearidade e invariância, cada um contribui com $x(\lambda)h(t - \lambda)\,d\lambda$ para a saída no instante $t$. Somar todos dá a integral de convolução:

$$y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\lambda)\,h(t - \lambda)\,d\lambda = (x * h)(t).$$

Lê-se assim: para saber a saída agora, pesas o passado da entrada pela resposta impulsional. Se $h$ decai depressa (τ pequeno), só o passado recente conta e o sistema é rápido; se decai devagar, o sistema tem memória longa e é lento.

Exemplo: resposta do RC ao escalão

Aplica um escalão $x(t) = V_0\,u(t)$ ao filtro RC com $R = 1{,}0\ \text{k}\Omega$, $C = 1{,}0\ \mu\text{F}$ ($\tau = 1{,}0\ \text{ms}$) e $V_0 = 5{,}0\ \text{V}$. Para $t \geq 0$:

$$y(t) = \int_0^t V_0\,\frac{1}{\tau}e^{-(t-\lambda)/\tau}\,d\lambda.$$

Com a mudança $s = t - \lambda$, o integral fica $V_0(1 - e^{-t/\tau})$, ou seja

$$y(t) = V_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right)u(t).$$

É a exponencial de carga que já conheces, agora obtida por convolução em vez de resolver a equação diferencial. Aos $t = 2{,}0\ \text{ms}$ (dois $\tau$): $y = 5{,}0 \times (1 - e^{-2}) = 5{,}0 \times (1 - 0{,}1353) = 5{,}0 \times 0{,}8647 \approx 4{,}32\ \text{V}$. A constante de tempo volta a mandar: a saída atinge $63\%$ em $\tau$, e a convolução mostra porquê, porque $\tau$ é a largura da janela de memória $h(t)$.

Para onde ir

A convolução descreve o sistema no tempo. Aplicada a uma sinusoide, ela reduz-se a multiplicar por um número complexo que depende da frequência: é a resposta em frequência, que liga os sistemas aos filtros e à amostragem.