Circuitos resistivos

Uma fonte de $12\,\mathrm V$ pode alimentar duas resistências em série e criar uma tensão menor entre elas. Ao ligar uma carga nesse ponto, surge outro caminho para a corrente e a tensão muda. Vamos calcular essa mudança por Kirchhoff e por um equivalente de Thévenin.

Usamos o modelo de parâmetros concentrados: desprezamos o tempo de propagação entre elementos e descrevemos cada um pela tensão e corrente nos seus terminais. Quando esse atraso importar, precisamos de linhas de transmissão.

Nós, ramos e referências

Um nó reúne terminais ligados por condutores ideais. Um ramo liga dois nós e pode conter mais de um elemento. Um anel é um caminho fechado sem repetir nós; numa rede planar, uma malha é um anel sem outros anéis no seu interior. Um cruzamento desenhado só é uma ligação se o esquema o indicar.

Escolhe um nó de referência com potencial zero. Para a tensão de $a$ para $b$, usamos $u_{ab}=V_a-V_b$. Na convenção passiva, a corrente de referência entra no terminal positivo. Então $p=u_{ab}i$ é a potência absorvida. Uma fonte que entrega energia tem potência absorvida negativa.

Uma fonte ideal de tensão fixa $u$ e deixa a corrente ser determinada pela rede. Uma fonte ideal de corrente fixa $i$ e deixa a tensão ser determinada pela rede. Fontes ideais de tensões diferentes em paralelo, ou correntes diferentes em série, impõem condições incompatíveis.

Leis de Kirchhoff

A lei dos nós é $\sum i_k=0$, com sinais coerentes: não há acumulação de carga no nó ideal. A lei das malhas é $\sum u_k=0$ ao longo de um caminho fechado orientado. Fluxos magnéticos variáveis externos não modelados podem invalidar esta aplicação direta, porque o modelo não os inclui. Os efeitos próprios de uma bobina já estão no seu modelo de tensão.

Um resultado negativo só indica que o sentido real é oposto ao de referência. Não troques os sinais a meio das equações para o evitar.

Série, paralelo e divisores

Resistências em série transportam a mesma corrente, sem derivações no nó intermédio: $R_{\rm eq}=\sum R_k$. Resistências em paralelo partilham os dois nós: $1/R_{\rm eq}=\sum1/R_k$.

Para $R_1,R_2$ em série com fonte $U_s$, a tensão em $R_2$ é $U_sR_2/(R_1+R_2)$. Com carga $R_L$ ligada em paralelo com $R_2$, substitui $R_2$ por $R_2\parallel R_L$. O divisor sem carga não promete manter a tensão quando ligamos um dispositivo.

Em dois ramos paralelos, $I_1=I R_2/(R_1+R_2)$. O ramo de menor resistência recebe mais corrente. Numa ponte de Wheatstone com dois divisores $R_1,R_2$ e $R_3,R_4$, os pontos médios ficam ao mesmo potencial quando $R_1/R_2=R_3/R_4$, logo a corrente entre eles é zero.

Limites de potência dos resistores

A resistência equivalente conserva a relação entre tensão e corrente nos terminais. Não identifica, sozinha, qual componente atinge primeiro o seu limite térmico. Para resistores em série, a corrente é comum e cada potência nominal impõe $I^2R_k\le P_{k,\max}$:

$$I_{\max}^2=\min_k\frac{P_{k,\max}}{R_k}.$$

Dois resistores de $1\,\mathrm{k\Omega}$ e $4\,\mathrm{k\Omega}$, ambos classificados para $0{,}25\,\mathrm W$, têm $R_{\rm eq}=5\,\mathrm{k\Omega}$. O segundo limita a corrente a $\sqrt{0{,}25/4000}\simeq7{,}91\,\mathrm{mA}$. Nessa corrente, o primeiro dissipa $0{,}0625\,\mathrm W$ e o segundo $0{,}25\,\mathrm W$: o conjunto suporta $0{,}3125\,\mathrm W$ neste modelo, não a soma $0{,}50\,\mathrm W$ das classificações.

Em paralelo, a tensão é comum e usa-se $U_{\max}^2=\min_k(P_{k,\max}R_k)$. Temperatura e montagem também condicionam as classificações reais. Confere o limite de cada ramo antes de usar a potência total.

Método dos nós

Num nó desconhecido $A$, ligado a uma fonte de $12\,\mathrm V$ por $2\,\mathrm{k\Omega}$ e à terra por duas resistências de $4\,\mathrm{k\Omega}$, escrevemos as correntes a sair:

$$\frac{V_A-12}{2000}+\frac{V_A}{4000}+\frac{V_A}{4000}=0.$$

Multiplicar por $4000$ dá $2V_A-24+V_A+V_A=0$, logo $V_A=6\,\mathrm V$. A corrente da fonte para o nó é $3\,\mathrm{mA}$; cada ramo para a terra recebe $1{,}5\,\mathrm{mA}$. As correntes fecham.

Método das malhas

Numa rede planar, atribui uma corrente por malha, por exemplo todas horárias, e marca no esquema o sentido de cada malha antes de escrever equações. Num resistor partilhado por duas malhas, a corrente de ramo é a diferença das correntes de malha, com o sinal dado pelos sentidos marcados.

Percorre cada malha no seu sentido e soma quedas na convenção passiva: $-U_s$ ao atravessar a fonte do $-$ para o $+$, $+RI$ em cada resistor no sentido do percurso, com o resistor comum a ver $R(i_a-i_b)$.

Considera duas malhas: a esquerda tem fonte $10\,\mathrm V$ e resistor exclusivo $2\,\Omega$; a direita tem resistor exclusivo $4\,\Omega$, sem fonte. Partilham $2\,\Omega$. Para correntes horárias $i_1,i_2$,

$$4i_1-2i_2=10,\qquad -2i_1+6i_2=0.$$

A segunda dá $i_2=i_1/3$. A primeira dá $i_1=3\,\mathrm A$ e $i_2=1\,\mathrm A$. O resistor comum conduz $2\,\mathrm A$. As potências são $18$, $4$ e $8\,\mathrm W$, que somam os $30\,\mathrm W$ fornecidos.

Uma fonte de corrente entre malhas pede uma equação adicional de corrente, não uma queda de tensão inventada.

Thévenin e Norton

Uma rede linear vista de um porto, um par de terminais com correntes iguais e opostas, pode ser substituída por:

• Thévenin: tensão em aberto $U_{\rm Th}$ em série com $R_{\rm Th}$.
• Norton: corrente de curto-circuito $I_N$ em paralelo com $R_N=R_{\rm Th}$, com $I_N=U_{\rm Th}/R_{\rm Th}$ na orientação coerente.

Para calcular $R_{\rm Th}$, anula apenas fontes independentes: tensão ideal vira curto e corrente ideal vira aberto. Se existirem fontes dependentes, mantém-nas e aplica uma fonte de teste. A sobreposição também anula as outras fontes independentes para calcular uma contribuição; aplica-se a tensões e correntes, não diretamente a potências.

Retomamos o circuito do método dos nós e vemos a rede pelos terminais A e B. Sem a carga de $4\,\mathrm{k\Omega}$, $U_{\rm Th}=12\times4/(2+4)=8\,\mathrm V$. Anulando a fonte, $R_{\rm Th}=2\parallel4=4/3\,\mathrm{k\Omega}$. Logo $I_N=6\,\mathrm{mA}$.

Com a carga, $I_L=8/(4000+4000/3)=1{,}5\,\mathrm{mA}$ e $U_L=6\,\mathrm V$. A potência na carga é $U_L^2/R_L=9\,\mathrm{mW}$. Na rede original, a fonte fornece $36\,\mathrm{mW}$ e os resistores dissipam $18+9+9\,\mathrm{mW}$. Esta verificação usa um cálculo diferente do equivalente.

Potência máxima

Para uma fonte de Thévenin fixa e carga resistiva positiva,

$$P_L=\frac{U_{\rm Th}^2R_L}{(R_{\rm Th}+R_L)^2}.$$

A derivada em $R_L$ anula-se em $R_L=R_{\rm Th}>0$, onde $P_{\rm max}=U_{\rm Th}^2/(4R_{\rm Th})$. No exemplo, dá $12\,\mathrm{mW}$. No equivalente de Thévenin, $R_{\rm Th}$ dissipa a mesma potência que a carga. A eficiência desse circuito equivalente é $50\%$, mas o equivalente conserva o comportamento nos terminais, não a potência interna da rede original.

Na rede desenhada, com a carga ótima $R_L=4/3\,\mathrm{k\Omega}$, a tensão de saída é $4\,\mathrm V$. A fonte original entrega $12(12-4)/2000=48\,\mathrm{mW}$; $R_1$, $R_2$ e a carga dissipam $32$, $4$ e $12\,\mathrm{mW}$. A eficiência original é $12/48=25\%$. Máxima potência entregue não é máxima eficiência.

Uma fonte de tensão aproxima-se do ideal quando $R_{\rm Th}\ll R_L$. Uma fonte de corrente aproxima-se do ideal quando $R_N\gg R_L$. A condição depende da carga e da tolerância aceitável.