Circuitos reativos e transitórios

Uma resistência transforma energia em calor. Um condensador e uma bobina armazenam energia e podem devolvê-la. Por isso, a saída depende também do estado anterior, não apenas do valor atual da fonte.

Condensador e bobina

Na convenção passiva e com parâmetros constantes,

$$i_C=C\frac{du_C}{dt},\quad W_C=\frac12Cu_C^2, \qquad u_L=L\frac{di_L}{dt},\quad W_L=\frac12Li_L^2.$$

Sem impulsos ideais de corrente, $u_C$ é contínua na comutação. Sem impulsos ideais de tensão, $i_L$ é contínua. Continuidade não significa valor zero: usa o estado antes de comutar.

Em regime DC estacionário, $i_C=0$ e $u_L=0$. O condensador ideal equivale a aberto, a bobina ideal a curto. Esta substituição só vale depois de o transitório terminar numa rede que atinge esse regime.

Bobinas sem acoplamento magnético somam indutâncias em série e admitem $1/L_{\rm eq}=\sum1/L_k$ em paralelo. Com acoplamento, surgem termos de indutância mútua; estas fórmulas deixam de bastar.

Transitório RC

Para fonte constante $U_s$, resistência $R$ e condensador em série, Kirchhoff no sentido de carga dá $U_s=Ri+u_C$. Substituindo $i=C\,du_C/dt$ e separando a parte forçada da transitória com $v=u_C-U_s$,

$$RC\frac{dv}{dt}+v=0.$$

Separar variáveis dá $dv/v=-dt/(RC)$, logo $v(t)=v(0)e^{-t/\tau}$ com $\tau=RC$. Como $v(0)=U_0-U_s$, a solução que respeita $u_C(0^+)=U_0$ é

$$u_C(t)=U_s+(U_0-U_s)e^{-t/\tau},\qquad\tau=RC.$$

A corrente é $(U_s-U_0)e^{-t/\tau}/R$. Para descarga sem fonte, faz $U_s=0$; o sinal da corrente fica negativo na referência original de carga. Num circuito maior, usa a resistência de Thévenin vista do condensador para obter $\tau=R_{\rm Th}C$.

Exemplo: carregar um condensador

Com $R=1\,\mathrm{k\Omega}$, $C=1\,\mathrm{\mu F}$ e fonte $5\,\mathrm V$, inicialmente descarregado, $\tau=1\,\mathrm{ms}$. Aos $2\,\mathrm{ms}$,

$$u_C=5(1-e^{-2})=4{,}32\,\mathrm V, \qquad i=5\,e^{-2}\,\mathrm{mA}=0{,}677\,\mathrm{mA}.$$

Em $t=0^+$, a tensão ainda é zero e a corrente é $5\,\mathrm{mA}$. No limite, a tensão é $5\,\mathrm V$ e a corrente zero. Após $5\tau$, falta menos de $0{,}7\%$ da variação total.

A demo usa fonte ideal de $5\,\mathrm V$, condensador descarregado e componentes lineares. Mantém $C$ e duplica $R$: a curva demora o dobro a chegar à mesma fração da tensão final e a corrente inicial cai para metade. Se duplicares $C$ em vez de $R$, o atraso também duplica, mas a corrente inicial mantém-se. O mesmo $RC$ não determina, sozinho, a corrente.

Transitório RL

Kirchhoff dá $L\,di/dt+Ri=U_s$. Assim,

$$i(t)=I_\infty+(I_0-I_\infty)e^{-t/\tau}, \quad I_\infty=U_s/R,\quad\tau=L/R.$$

Para $U_s=6\,\mathrm V$, $R=3\,\Omega$, $L=30\,\mathrm{mH}$ e $I_0=0$, temos $\tau=10\,\mathrm{ms}$. Aos $10\,\mathrm{ms}$, $i=2(1-e^{-1})=1{,}26\,\mathrm A$ e $u_L=6e^{-1}=2{,}21\,\mathrm V$. A soma $Ri+u_L$ recupera $6\,\mathrm V$.

RLC e amortecimento

Num RLC série sem fonte, a carga do condensador obedece a

$$Lq''+Rq'+q/C=0.$$

Já sabes resolver a descarga exponencial de primeira ordem com uma condição inicial. Aqui são precisas duas condições, porque a equação é de segunda ordem: por exemplo $q(0)$ e $i(0)$. Define $\omega_0=1/\sqrt{LC}$, $\delta=R/(2L)$ e $Q=\omega_0/(2\delta)=\sqrt{L/C}/R$. As raízes são $s_\pm=-\delta\pm\sqrt{\delta^2-\omega_0^2}$.

• $Q<1/2$: sobreamortecido, $q=Ae^{s_+t}+Be^{s_-t}$, sem oscilação.
• $Q=1/2$: crítico, $q=(A+Bt)e^{-\delta t}$.
• $Q>1/2$: subamortecido, $q=e^{-\delta t}[A\cos(\omega_dt)+B\sin(\omega_dt)]$, com $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}$.

Aqui, $q$ é a carga na armadura onde entra a corrente de referência $i$, de modo que $u_C=q/C$ e $i=q'$. Determina $A,B$ com duas condições iniciais, por exemplo $q(0)$ e $i(0)$. A frequência amortecida $\omega_d$ não é $\omega_0$. Um sistema sobreamortecido pode ter um modo muito lento; aumentar $R$ não garante retorno mais rápido.

Exemplo: resposta livre

Para $L=50\,\mathrm{mH}$, $C=20\,\mathrm{\mu F}$ e $R=20\,\Omega$, temos $\omega_0=1000\,\mathrm{rad/s}$, $\delta=200\,\mathrm{s^{-1}}$, $Q=2{,}5$ e $\omega_d\simeq980\,\mathrm{rad/s}$. Se $u_C(0)=5\,\mathrm V$ e $i(0)=0$,

$$u_C(t)=5e^{-200t}\left[\cos(\omega_dt)+\frac{200}{\omega_d}\sin(\omega_dt)\right].$$

O termo seno é necessário para a derivada inicial ser zero. Em $t=0$, a derivada do fator exponencial contribui com $-200(5)$; a do seno contribui com $\omega_d(5\times200/\omega_d)$, cancelando-a. O limite final é zero porque não há fonte e $R>0$.

RLC ligado a uma fonte contínua

Com fonte constante $U_s$, a equação para a tensão passa a

$$LCu_C''+RCu_C'+u_C=U_s.$$

A solução particular é $u_C=U_s$. Somamos-lhe a solução livre e determinamos as duas constantes com $u_C(0)$ e $i(0)=Cu_C'(0)$. É a passagem necessária no problema do recurso de 2 de fevereiro de 2026; a fonte muda a particular, sem mudar as raízes da equação homogénea.

Corrente de carga sem oscilação

Com $u_C(0)=0$ e $i(0)=0$, a equação de Kirchhoff no instante inicial dá $Li'(0^+)=U_s$. A corrente começa em zero, mas a sua derivada não. Para $t>0$, derivar $Li'+Ri+u_C=U_s$ dá

$$Li''+Ri'+i/C=0.$$

No caso sobreamortecido, as raízes $s_+>s_-$ são reais e negativas. Escrevemos $i=Ae^{s_+t}+Be^{s_-t}$. A corrente inicial impõe $B=-A$; a derivada inicial impõe $A(s_+-s_-)=U_s/L$. Assim,

$$i(t)=\frac{U_s}{L(s_+-s_-)}\left(e^{s_+t}-e^{s_-t}\right),\qquad t\ge0.$$

Por exemplo, $R=300\,\Omega$, $L=10\,\mathrm{mH}$, $C=1\,\mathrm{\mu F}$ e $U_s=6\,\mathrm V$ dão $\omega_0=10000\,\mathrm{rad/s}$, $\delta=15000\,\mathrm{s^{-1}}$ e $Q=1/3$. As raízes são cerca de $-3819{,}66$ e $-26180{,}34\,\mathrm{s^{-1}}$:

$$i(t)\simeq0{,}02683\left(e^{-3819{,}66t}-e^{-26180{,}34t}\right)\,\mathrm A.$$

A corrente é positiva depois de fechar o interruptor e tende para zero. Integrá-la dá a carga final $\int_0^\infty i(t)dt=CU_s=6\,\mathrm{\mu C}$.

Há duas escalas temporais: uma só exponencial de descarga RC não satisfaria simultaneamente $i(0)=0$ e $i'(0)=U_s/L$.

Tempo de decaimento

No regime fracamente amortecido, a amplitude decai com tempo $1/\delta$, mas a energia média decai com tempo $1/(2\delta)$. A interpretação de $Q$ como radianos até a energia cair por um fator $e$ é aproximada quando $Q$ é grande.