Magnetismo e indução

Uma bobina pode receber energia de outra sem contacto elétrico. A corrente no primeiro circuito cria um campo magnético; a variação do fluxo que atravessa o segundo induz uma força eletromotriz. Um campo constante pode exercer força sobre cargas em movimento, mas não induz corrente numa espira fixa só por estar presente.

Ampère e simetria

Em magnetostática no vazio, $\oint_C\vec B\cdot d\vec\ell=\mu_0I_{\rm int}$. Para um fio retilíneo infinito com corrente no sentido $+z$, o campo é azimutal, $\vec B=B(r)\hat e_\varphi$. Uma circunferência centrada no fio dá

$$B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}.$$

A mão direita dá o sentido, com o polegar no sentido da corrente. Num fio com $I=2\,\mathrm A$, a $r=1\,\mathrm{cm}$, temos $B=40\,\mathrm{\mu T}$. Dois fios paralelos com correntes iguais criam campos opostos no ponto médio, que se anulam. Não somes módulos antes de fixar sentidos.

Para uma bobina longa, com $n$ espiras por metro e longe das extremidades, Ampère dá $B\simeq\mu_0nI$ no interior. O campo exterior é pequeno nesta aproximação. Uma espira circular de raio $a$ tem no centro $B=\mu_0I/(2a)$, mas essa expressão não vale para qualquer ponto do plano.

Forças e momento magnético

Num elemento de fio, $d\vec F=I\,d\vec\ell\times\vec B$. Para um segmento retilíneo em campo uniforme, $\vec F=I\vec\ell\times\vec B$. Um fio de $0{,}20\,\mathrm m$, com $3\,\mathrm A$, perpendicular a $0{,}50\,\mathrm T$, sente $0{,}30\,\mathrm N$.

Uma espira num campo uniforme tem força resultante zero, mas pode rodar. O seu momento magnético é $\vec m=IA\hat n$, em $\mathrm{A\,m^2}$; $\hat n$ é orientado pela corrente. Para $N$ espiras iguais, multiplica por $N$. O torque é $\vec\tau=\vec m\times\vec B$ e a energia potencial $U=-\vec m\cdot\vec B$. A posição alinhada tem energia mínima.

Materiais diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos respondem de formas diferentes. Nos ferromagnéticos, saturação e histerese impedem tratar sempre $B$ como proporcional à corrente. A sobreposição exige um modelo linear do meio.

Lei de Faraday e Lenz

O fluxo magnético por uma espira é $\Phi_B=\int_S\vec B\cdot d\vec A$, em webers, $\mathrm{Wb}=\mathrm{V\,s}$. Para campo uniforme, $\Phi_B=BA\cos\theta$.

A força eletromotriz induzida, na orientação escolhida, é

$$\mathcal E=-\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

Para $N$ espiras iguais, $\mathcal E=-N\,d\Phi_B/dt$. Pode variar $B$, a área ou a orientação. Fixa primeiro a normal $\hat n$ e o sentido positivo do contorno pela mão direita; o sinal de $\mathcal E$ refere-se a essa escolha. Sem essa escolha prévia, o sinal não tem leitura física.

Se $B$ varia no tempo com o circuito parado, a circulação de $\vec E$ explica a força eletromotriz. Se uma barra se move num campo estacionário, as cargas sentem $\vec v\times\vec B$ no referencial do laboratório; no referencial da barra aparece um campo elétrico induzido equivalente. Não uses apenas a circulação de $\vec E$ num contorno fixo para explicar uma barra móvel.

O sinal de Lenz diz que a corrente induzida cria um campo que contraria a variação do fluxo. Para uma espira fixa e resistiva, com autoindução desprezável, escolhe a normal para fora da página. O sentido positivo é anti-horário e um campo exterior para dentro dá fluxo negativo.

Módulo de B	dΦ/dt	Fem	Corrente
Aumenta	Negativa	Positiva	Anti-horária
Diminui	Positiva	Negativa	Horária

Na primeira linha, o fluxo fica mais negativo e o campo induzido aponta para fora. Na segunda, o fluxo aproxima-se de zero e o campo induzido aponta para dentro para contrariar essa diminuição; o que se contraria é a mudança, não o campo exterior em si.

Exemplo: uma bobina num campo crescente

Uma bobina de $N=50$ espiras, cada uma com área $A=20\,\mathrm{cm^2}=0{,}002\,\mathrm{m^2}$, está perpendicular a um campo para fora da página. O campo cresce de $0{,}10$ para $0{,}30\,\mathrm T$ em $0{,}040\,\mathrm s$.

Escolhemos normal para fora e contorno anti-horário. Então

$$\mathcal E=-50(0{,}002)\frac{0{,}30-0{,}10}{0{,}040} =-0{,}50\,\mathrm V.$$

Com resistência total $5\,\Omega$ e autoindução desprezável, $I=-0{,}10\,\mathrm A$ nessa orientação. A corrente real é horária e cria campo para dentro. Uma bobina com autoindução relevante exige incluir também $L\,dI/dt$.

Fluxo de um campo não uniforme

Uma espira retangular está no plano $xz$, à direita de um fio longo que coincide com o eixo $z$. A espira vai de $x=d$ a $x=d+a$ e tem comprimento $b$ paralelo ao fio. A corrente $I(t)$ no fio aponta para $+z$ quando positiva. Pela mão direita, o campo na espira aponta para $+y$ e varia com a distância ao fio.

Escolhe a normal $+y$. Na aproximação quase-estática de fio infinito, sem incluir o campo produzido pela própria espira,

$$\Phi_B(t)=\int_d^{d+a}\frac{\mu_0I(t)}{2\pi x}\,b\,dx=\frac{\mu_0bI(t)}{2\pi}\ln\frac{d+a}{d}.$$

A faixa de largura $dx$ e comprimento $b$ tem campo aproximadamente constante; somar as faixas produz o integral. Usar $B(d)ab$ trataria toda a espira como estando na distância menor e sobrestimaria o módulo do fluxo. Só se $a\ll d$ essa aproximação se torna boa.

Como a geometria é fixa,

$$\mathcal E(t)=-\frac{\mu_0b}{2\pi}\ln\frac{d+a}{d}\,I'(t).$$

Se a corrente exterior positiva aumenta, o fluxo positivo aumenta e a força eletromotriz é negativa no contorno orientado pela normal $+y$. Numa espira resistiva com autoindução desprezável, isso produz campo induzido para $-y$. O cálculo combina a variação temporal com o campo espacialmente não uniforme; não são alternativas a escolher.

Geradores e transformadores

Uma espira a rodar com velocidade angular $\omega$ em campo uniforme tem $\Phi_B=BA\cos(\omega t)$, logo $\mathcal E=NBA\omega\sin(\omega t)$. A fonte mecânica fornece a energia elétrica; a reação magnética exige trabalho para manter a rotação sob carga.

Num transformador ideal, o mesmo fluxo atravessa primário e secundário, por isso Faraday dá $|U_2/U_1|=N_2/N_1$. A conservação da potência dá $|I_2/I_1|=N_1/N_2$. Se $N_1=500$, $N_2=100$ e $U_1=230\,\mathrm V$ eficazes, obtemos $U_2=46\,\mathrm V$ eficazes. Fornecer $2\,\mathrm A$ no secundário requer $0{,}40\,\mathrm A$ no primário no modelo ideal. A polaridade depende da orientação dos enrolamentos. Uma tensão contínua não mantém a transformação em regime estacionário.

Autoindução

Numa bobina linear de geometria fixa, a ligação de fluxo é $N\Phi_B=LI$. A força eletromotriz própria é $-L\,dI/dt$. Como queda de tensão na convenção passiva, a mesma relação escreve-se $u_L=L\,dI/dt$. Os sinais descrevem orientações distintas, não leis diferentes.

A energia é $W_L=LI^2/2$. Sem impulsos ideais de tensão, a corrente numa bobina não muda instantaneamente. É esta condição inicial que vais usar nos transitórios.