Potencial, condutores e capacidade

Um eletrão libertado entre dois pontos com diferença de potencial de $100\,\mathrm V$ pode ganhar energia cinética. Para calcular essa energia, basta conhecer a diferença de potencial; não precisamos de reconstruir o campo em cada ponto da trajetória.

Em eletrostática, o trabalho da força elétrica depende apenas dos extremos. O potencial permite expressá-lo por unidade de carga. A referência escolhida altera os valores de $V$, mas não as diferenças que entram no trabalho.

Potencial e energia

O gradiente $\nabla V=(\partial_xV,\partial_yV,\partial_zV)$ aponta para o aumento mais rápido do potencial. Em eletrostática, o campo aponta no sentido oposto, $\vec E=-\nabla V$, e

$$V_B-V_A=-\int_A^B\vec E\cdot d\vec\ell.$$

Escolhemos uma referência para $V$, por exemplo $V(\infty)=0$ para cargas localizadas. O trabalho da força elétrica numa carga $q$ é $W_{A\to B}=q(V_A-V_B)$; a variação da energia potencial é $\Delta U=q(V_B-V_A)=-W$. Volt é joule por coulomb.

Para cargas pontuais no vazio, $V(\vec r)=\sum_i kq_i/|\vec r-\vec r_i|$. Mantém o sinal das cargas. Uma carga negativa cria potencial negativo com a referência no infinito, mas a energia de outra carga depende também do sinal desta.

Na configuração do dipolo da página de carga, as distâncias a $P$ são iguais. O potencial é zero, porque $kq/r+k(-q)/r=0$. O campo continua a apontar para a carga negativa.

Uma superfície equipotencial tem $V$ constante. O campo é perpendicular a ela e aponta para potenciais menores. Mover uma carga ao longo da superfície não realiza trabalho elétrico. Um ponto crítico do potencial tem $\nabla V=0$, logo $\vec E=0$; isso não garante equilíbrio estável. Uma sela pode ter gradiente zero e descer numa direção enquanto sobe noutra.

Exemplo: acelerar um eletrão

Um eletrão, inicialmente em repouso, passa de $V_A=0$ para $V_B=100\,\mathrm V$, sem outras forças. Temos $\Delta U=-e\times100\,\mathrm V=-1{,}60\times10^{-17}\,\mathrm J$. A energia cinética aumenta pelo mesmo módulo. Com $m_e=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$,

$$v=\sqrt{\frac{2e(100\,\mathrm V)}{m_e}} =5{,}93\times10^6\,\mathrm{m/s}.$$

A conservação de energia dá $\Delta K=-\Delta U$. Como $q=-e$, aumentar o potencial diminui a energia potencial do eletrão e aumenta a sua rapidez. Uma carga positiva inicialmente em repouso não faria espontaneamente o mesmo percurso só sob a força elétrica. A rapidez é aproximadamente $2\%$ de $c$, pelo que a aproximação não relativista é adequada.

Condutores em equilíbrio

Num condutor em equilíbrio eletrostático, o campo no material é zero. Se não fosse, as cargas livres mover-se-iam e o estado não seria de equilíbrio. Por isso, o potencial é constante no material e a carga em excesso fica nas superfícies. O campo imediatamente exterior é normal à superfície.

Uma esfera condutora isolada, de raio $R$ e carga $Q$, tem

$$V(r)=\begin{cases}kQ/R,&r\le R,\\kQ/r,&r\ge R.\end{cases}$$

O potencial é contínuo; o campo salta na superfície por causa da carga superficial. Esferas muito afastadas ligadas por um fio ficam ao mesmo potencial. Assim, $Q_1/R_1=Q_2/R_2$ e $\sigma_{Q,1}/\sigma_{Q,2}=R_2/R_1$. A esfera menor tem campo superficial maior. É uma aproximação do efeito das pontas, não uma fórmula universal para qualquer objeto pontiagudo.

Terra e blindagem

A terra ideal é um reservatório de carga a potencial fixo. Ligar um condutor à terra fixa o seu potencial e permite trocar carga; não obriga a carga total a ser zero.

Uma cavidade fechada e vazia dentro de um condutor em equilíbrio fica sem campo elétrico, mesmo com campo exterior. Se colocares uma carga $q$ na cavidade, surge $-q$ na superfície interior. Num condutor inicialmente neutro e isolado, fica $+q$ na superfície exterior.

Se o condutor for ligado à terra, na ausência de outras fontes exteriores pode receber a carga necessária para eliminar o campo exterior.

Estas conclusões são eletrostáticas e dependem de a cavidade estar fechada. Blindagem de campos variáveis depende do material, da frequência e das aberturas.

Um condutor com corrente não está em equilíbrio eletrostático: pode ter campo interior e queda de potencial.

Capacidade

A capacidade de um condutor isolado é $C=Q/V$, com a referência do potencial fixada. Para a esfera, $C=4\pi\varepsilon_0R$. Uma esfera de raio $0{,}10\,\mathrm m$ tem $C\simeq11{,}1\,\mathrm{pF}$.

Um condensador separa cargas $+q$ e $-q$ em duas armaduras. Define-se $C=q/u$, onde $u=V_+-V_-$. Farad é coulomb por volt. Para duas placas paralelas de área $A$, distância $d$ pequena face às dimensões das placas e dielétrico linear uniforme,

$$C=\frac{\varepsilon A}{d},\qquad E\simeq\frac ud.$$

A capacidade depende da geometria e do meio. Aumentar $u$ aumenta a carga, mas não muda $C$ neste modelo. O dielétrico real tem uma tensão de rotura que limita a utilização.

Associações e energia

Em paralelo, a tensão é igual e as cargas somam: $C_{\rm eq}=\sum C_i$. Em série, com nós intermédios inicialmente neutros e isolados, os módulos de carga são iguais e as tensões somam: $1/C_{\rm eq}=\sum1/C_i$. Um condensador menor em série recebe maior tensão.

A energia armazenada resulta do trabalho necessário para carregar as armaduras:

$$W_C=\int_0^q\frac{q'}C\,dq'=\frac{q^2}{2C} =\frac12Cu^2=\frac12qu.$$

Com $C=100\,\mathrm{\mu F}$ e $u=12\,\mathrm V$, $q=1{,}20\,\mathrm{mC}$ e $W_C=7{,}20\,\mathrm{mJ}$. Dois condensadores de $2$ e $3\,\mathrm{\mu F}$ em série dão $1{,}20\,\mathrm{\mu F}$. A $10\,\mathrm V$, ambos têm $12\,\mathrm{\mu C}$; as tensões são $6$ e $4\,\mathrm V$, cuja soma recupera a fonte.

Ao afastar as placas de $d$ para $2d$, mantendo área e dielétrico e desprezando bordos, a capacidade passa de $C$ para $C/2$. Compara duas montagens que partem dos mesmos valores $C,q,u,W_C$:

Montagem durante o afastamento	Carga final	Tensão final	Energia final
Fonte desligada, armaduras isoladas	$q$	$2u$	$2W_C$
Fonte ideal mantém a tensão	$q/2$	$u$	$W_C/2$

Com isolamento, usa $W_C=q^2/(2C)$: o trabalho de separar as placas aumenta a energia do campo. Com tensão constante, usa $W_C=Cu^2/2$: a fonte recebe carga e energia durante o afastamento lento. O balanço da montagem inclui a fonte e o trabalho mecânico, não apenas o condensador.

Tensões máximas em série

A tensão suportada por uma associação depende da repartição por cada componente. Com nós intermédios neutros, condensadores ideais em série têm a mesma carga $q$. Cada limite $U_{k,\max}$ impõe $q\le C_kU_{k,\max}$, logo

$$q_{\max}=\min_k(C_kU_{k,\max}),\qquad U_{\max}=q_{\max}\sum_k\frac1{C_k}.$$

Por exemplo, $2\,\mathrm{\mu F}$ com limite $100\,\mathrm V$ admite até $200\,\mathrm{\mu C}$; $3\,\mathrm{\mu F}$ com limite $80\,\mathrm V$ admite até $240\,\mathrm{\mu C}$. O primeiro limita a série. Com $q=200\,\mathrm{\mu C}$, as tensões são $100$ e $66{,}67\,\mathrm V$: o limite da associação é $166{,}67\,\mathrm V$, inferior à soma das tensões nominais $180\,\mathrm V$.

Isto descreve a repartição ideal de carga. Fugas e tolerâncias em componentes reais podem alterar a divisão de tensão; os valores nominais não autorizam operar precisamente no limite deste modelo.