Medições e incertezas

Uma leitura do multímetro é uma estimativa. Para comparar com o modelo, precisamos de saber o circuito realmente montado, o efeito do instrumento e a incerteza da medição.

Montar e medir

Antes de alimentar uma placa de protótipos, identifica os contactos ligados internamente. Em placas comuns, cada grupo de cinco furos da mesma linha está ligado; a ranhura central separa os lados. Os carris de alimentação podem estar interrompidos a meio. Confirma continuidade com o circuito desligado, em vez de assumir que toda uma linha é um único nó.

O voltímetro liga-se em paralelo. A sua resistência de entrada elevada reduz, mas não elimina, o efeito sobre o circuito. O amperímetro liga-se em série e tem resistência pequena. Ligá-lo em paralelo com uma fonte pode provocar um curto. Para medir resistência, desliga a alimentação, descarrega condensadores e isola a resistência quando outros caminhos alteram a leitura.

Escolhe a grandeza, DC ou AC, os terminais de prova e uma escala adequada antes de ligar. Começa pela escala maior se desconheces o valor. Consulta os limites e a proteção de cada terminal no instrumento utilizado. Estes ensaios destinam-se a fontes de baixa tensão de laboratório; não experimentes ligações à rede elétrica.

Para relacionar uma montagem na placa de protótipos com os nós e caminhos do esquema, podes consultar este vídeo sobre componentes e topologia de circuitos. As instruções de medição e segurança mantêm-se no texto acima.

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Exemplo: efeito do voltímetro

Um divisor de $1\,\mathrm{M\Omega}+1\,\mathrm{M\Omega}$ alimentado a $10\,\mathrm V$ daria $5\,\mathrm V$ sem carga. Um voltímetro de $10\,\mathrm{M\Omega}$ em paralelo com o resistor inferior dá $R_2'=1\parallel10=10/11\,\mathrm{M\Omega}$. A leitura prevista é

$$u=10\frac{10/11}{1+10/11}=\frac{100}{21}=4{,}762\,\mathrm V.$$

O desvio de cerca de $4{,}8\%$ é efeito de carga, não necessariamente um instrumento avariado.

Código de cores e tolerância

Numa resistência de quatro bandas, as duas primeiras são dígitos, a terceira é o multiplicador $10^m$ e a quarta indica tolerância. Os dígitos preto, castanho, vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, violeta, cinzento e branco correspondem a $0$ até $9$. Dourado e prateado dão multiplicadores $10^{-1}$ e $10^{-2}$, ou tolerâncias de $5\%$ e $10\%$ quando são a última banda.

Por exemplo, vermelho, violeta, castanho, dourado significa $27\times10^1=270\,\Omega$, com tolerância $5\%$, ou intervalo nominal de $256{,}5$ a $283{,}5\,\Omega$. Em cinco bandas, usam-se três dígitos antes do multiplicador. Tolerância de fabrico não é automaticamente uma incerteza padrão: se modelares o intervalo como uniforme com semilargura $a$, a incerteza padrão é $a/\sqrt3$.

Média, dispersão e incerteza

Para $n$ observações $x_i$, a média e o desvio padrão amostral são

$$\bar x=\frac1n\sum_i x_i,\qquad s=\sqrt{\frac{\sum_i(x_i-\bar x)^2}{n-1}}.$$

$s$ estima a dispersão de uma observação. Para observações independentes do mesmo valor, a incerteza padrão da média é $u_A(\bar x)=s/\sqrt n$. Não substituas uma pela outra sem dizer o que estás a apresentar.

Incertezas de tipo A são avaliadas por observações estatísticas; as de tipo B usam outras informações, como calibração, resolução e especificações. A resolução não é toda a incerteza do aparelho.

Para uma especificação de multímetro do tipo $\pm(a\%\text{ leitura}+n\text{ dígitos})$, calcula $a\%\times\text{leitura}$ e soma $n$ vezes a resolução da escala usada. Por exemplo, $3{,}300\,\mathrm V$ numa escala de $4\,\mathrm V$ com $\pm(0{,}5\%+2\text{ dígitos})$ e resolução $1\,\mathrm{mV}$ dá $0{,}0165+0{,}002=0{,}0185\,\mathrm V$. Distingue este intervalo de especificação da dispersão das tuas leituras.

Uma diferença face ao valor de referência é um erro de medição. Um efeito sistemático pode deslocar todas as leituras e não desaparecer ao repetir. Pequena dispersão não prova exatidão. Uma incerteza padrão não garante que o valor está dentro de um intervalo; com modelo normal, o intervalo de uma incerteza padrão tem cobertura aproximada de $68\%$.

Propagação de incertezas

Para $y=f(x_1,\ldots,x_n)$, incertezas pequenas e entradas não correlacionadas,

$$u(y)^2=\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2u(x_i)^2.$$

Com correlação, acrescentam-se os termos de covariância. Derivadas trigonométricas usam ângulos em radianos.

Para $P=RI^2$, as derivadas são $I^2$ e $2RI$, logo

$$\frac{u(P)}P=\sqrt{\left(\frac{u(R)}R\right)^2+ 4\left(\frac{u(I)}I\right)^2}.$$

Se $R=(100\pm1)\,\Omega$ e $I=(0{,}0200\pm0{,}0002)\,\mathrm A$, com incertezas padrão independentes, $P=0{,}0400\,\mathrm W$ e $u(P)/P=\sqrt{0{,}01^2+0{,}02^2}=0{,}0224$. Apresentamos $P=(40{,}0\pm0{,}9)\,\mathrm{mW}$, indicando que a incerteza é padrão. Reduzir a incerteza relativa da corrente pode ser mais útil, porque entra multiplicada por dois.

Repartir o esforço de medição

Para $P=RI^2$, compara incertezas relativas, não números absolutos em ohms e amperes, porque as unidades não se comparam. Se podes obter incertezas relativas de $1\%$ e $2\%$, há duas escolhas:

$u(R)/R$	$u(I)/I$	$u(P)/P$
$1\%$	$2\%$	$\sqrt{1^2+4(2^2)}\%=4{,}12\%$
$2\%$	$1\%$	$\sqrt{2^2+4(1^2)}\%=2{,}83\%$

Neste cenário, vale mais atribuir a melhor precisão relativa à corrente. O expoente dois duplica a sua sensibilidade relativa. A escolha não elimina a contribuição da resistência e depende de os custos permitirem precisamente esta troca. Comparar $u(R)$ e $u(I)$ diretamente nem sequer compara grandezas com a mesma unidade.

Ajustar uma reta

Para $y=ax+b$, mínimos quadrados ordinários minimizam a soma dos quadrados dos resíduos verticais. O modelo estatístico simples assume incerteza em $x$ desprezável, dispersão de $y$ igual entre pontos e resíduos independentes. Se as incertezas em $y$ diferirem, considera pesos; se as de $x$ forem relevantes, o ajuste ordinário pode ser inadequado.

As fórmulas sem pesos são

$$a=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2}, \qquad b=\bar y-a\bar x.$$

Medimos quatro pares de corrente e tensão. Ajustamos $U=RI+b$: o declive tem unidade $\mathrm{V/A}=\Omega$ e a ordenada $b$ mede-se em volts.

$I$ (mA)	$U$ (V)	Resíduo (V)
$10$	$1{,}020$	$+0{,}010$
$20$	$2{,}000$	$-0{,}010$
$30$	$3{,}000$	$-0{,}010$
$40$	$4{,}020$	$+0{,}010$

As médias são $\bar I=0{,}025\,\mathrm A$ e $\bar U=2{,}510\,\mathrm V$. Nas fórmulas do ajuste, o numerador vale $0{,}0500\,\mathrm{A\,V}$ e o denominador $0{,}000500\,\mathrm{A^2}$. Assim,

$$R=\frac{0{,}0500}{0{,}000500}=100\,\Omega,\qquad b=2{,}510-100(0{,}025)=0{,}010\,\mathrm V.$$

O resíduo é $U_i-(RI_i+b)$. No gráfico, os dois pontos extremos ficam acima da reta e os dois centrais abaixo. Os desvios são pequenos, mas estes quatro pontos não bastam para decidir se a curvatura é física ou uma flutuação. A ordenada não nula pode sugerir um offset; também não prova a sua causa. Para a investigar, mede mais pontos e verifica o zero do instrumento.

Num gráfico científico, identifica grandezas e unidades nos eixos, mostra uma gama útil e inclui incertezas quando disponíveis.

Monte Carlo pode propagar modelos de incerteza gerando conjuntos sintéticos e repetindo o ajuste; a dispersão dos parâmetros ajustados estima a sua incerteza. Usa um número de simulações suficiente e explicita a distribuição assumida, em vez de tratar o resultado aleatório como exato.

Medições magnéticas

Um magnetómetro de telemóvel mede componentes no referencial do aparelho. Rodar o telemóvel muda as componentes mesmo se o campo exterior não mudar. Para comparar duas situações, mantém posição e orientação, afasta fontes magnéticas próximas e regista uma série de leituras. Um desvio de calibração não desaparece ao calcular a média.

Para estimar a corrente num fio longo, compara o campo com e sem corrente e usa a componente devida ao fio. Se a diferença de campo tangencial for $20\,\mathrm{\mu T}$ a $0{,}50\,\mathrm m$, a aproximação de fio infinito dá $I=2\pi rB/\mu_0\simeq50\,\mathrm A$. A presença de retorno da corrente, outros fios e a orientação desconhecida podem impedir esta estimativa. Não uses diretamente o módulo total, que pode incluir o campo terrestre.