Linhas de transmissão

Um degrau lançado num cabo de $2\,\mathrm m$ não chega imediatamente à outra extremidade. Com velocidade $2\times10^8\,\mathrm{m/s}$, demora $10\,\mathrm{ns}$. Durante esse intervalo, uma extremidade já recebeu a mudança e a outra ainda não: a tensão tem de depender da posição e do tempo.

Quando o comprimento importa

O modelo concentrado exige comprimento $\ell$ pequeno face ao comprimento de onda $\lambda=v/f$. A condição conservadora $\ell<\lambda/100$ é uma referência útil, não uma fronteira física exata. Para pulsos, compara também o atraso $\ell/v$ com o tempo de subida, que pode importar mais do que a frequência de repetição.

Com $v=2\times10^8\,\mathrm{m/s}$, a $50\,\mathrm{Hz}$ temos $\lambda=4000\,\mathrm{km}$. A $4\,\mathrm{GHz}$, $\lambda=5\,\mathrm{cm}$. Um traço de placa de $2\,\mathrm{cm}$ pode ser pequeno num circuito lento e importante num circuito rápido.

Parâmetros distribuídos

Uma pequena secção $dz$ tem resistência série $R'dz$, indutância série $L'dz$, condutância transversal $G'dz$ e capacidade transversal $C'dz$. As unidades são $\Omega/\mathrm m$, $\mathrm{H/m}$, $\mathrm{S/m}$ e $\mathrm{F/m}$.

Referimos $i$ ao sentido $+z$ e medimos $u$ entre o condutor de sinal e o retorno. Aplicar Kirchhoff à secção e passar ao limite dá as equações dos telegrafistas:

$$\frac{\partial u}{\partial z}=-R'i-L'\frac{\partial i}{\partial t}, \qquad \frac{\partial i}{\partial z}=-G'u-C'\frac{\partial u}{\partial t}.$$

Uma variação longitudinal da tensão alimenta a resistência e a indutância; uma variação longitudinal da corrente alimenta fugas e a capacidade. No regime fasorial,

$$\frac{d\underline U}{dz}=-(R'+j\omega L')\underline I, \qquad \frac{d\underline I}{dz}=-(G'+j\omega C')\underline U.$$

Derivar novamente dá $\underline U''=\gamma^2\underline U$ e $\underline I''=\gamma^2\underline I$, com $\gamma=\sqrt{(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')}$. A parte real positiva descreve atenuação; a parte imaginária descreve mudança de fase por comprimento.

Linha sem perdas

Se $R'=G'=0$, as equações temporais dão

$$\partial_z^2u=L'C'\partial_t^2u, \qquad v=1/\sqrt{L'C'},\qquad Z_0=\sqrt{L'/C'}.$$

$Z_0$ é a impedância característica da linha, não a resistência total do fio. Uma onda que avança em $+z$ tem $u^+/i^+=Z_0$; para a onda que regressa, com corrente referida a $+z$, $i^-=-u^-/Z_0$.

Exemplo: cabo de 50 ohms

Com $L'=250\,\mathrm{nH/m}$ e $C'=100\,\mathrm{pF/m}$, $Z_0=\sqrt{L'/C'}=50\,\Omega$ e $v=1/\sqrt{L'C'}=2{,}0\times10^8\,\mathrm{m/s}$. Imagina uma secção $\Delta z$: a queda série vem de $L'\Delta z$ e a corrente transversal de $C'\Delta z$. Um cabo de $2\,\mathrm m$ tem atraso de uma viagem $\ell/v=10\,\mathrm{ns}$.

Lança um degrau em $t=0$: chega à carga em $10\,\mathrm{ns}$, reflete com $\Gamma$ e regressa à entrada em $20\,\mathrm{ns}$, onde altera a tensão e a corrente de entrada. A amplitude que volta a sair da entrada depende da impedância da fonte.

Reflexão e adaptação

Na carga, a tensão é $U_L=U^++U^-$ e a corrente referida para a carga é $I_L=(U^+-U^-)/Z_0$. Impor $U_L=Z_LI_L$ dá

$$Z_0(U^++U^-)=Z_L(U^+-U^-),\qquad (Z_L+Z_0)U^-=(Z_L-Z_0)U^+.$$

Para uma onda incidente não nula, o coeficiente de reflexão da tensão é

$$\Gamma=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}.$$

Se $Z_L=Z_0$, $\Gamma=0$ e a carga está adaptada. Um aberto dá $\Gamma=+1$: a tensão refletida soma-se à incidente, enquanto as correntes se cancelam na extremidade. Um curto dá $\Gamma=-1$: as tensões cancelam-se e as correntes somam-se.

No cabo do exemplo, uma carga $100\,\Omega$ dá $\Gamma=1/3$. Uma onda incidente de $3\,\mathrm V$ produz $1\,\mathrm V$ refletido e $4\,\mathrm V$ na carga. A corrente na carga é $(3-1)/50=0{,}040\,\mathrm A$, igual a $4/100$. A energia refletida, para linha sem perdas e impedâncias reais, é a fração $|\Gamma|^2=1/9$ da energia incidente.