Sinais e propriedades de sistemas

A tensão de $5\,\mathrm V$ aplicada durante $1\,\mathrm{ms}$ ao RC é um sinal de entrada $x(t)$. A tensão no condensador é o sinal de saída $y(t)$ e continua a mudar depois de a fonte voltar a zero. O circuito transforma um sinal noutro e guarda memória no condensador. As mesmas ferramentas descrevem som, temperatura ou sequências de contagens.

Tempo e valores

$x(t)$ tem tempo contínuo: está definido para cada instante de um intervalo. Pode ter saltos, ou seja, tempo contínuo não significa função contínua. $x[n]$ tem tempo discreto: o índice $n$ é inteiro. A amostragem de período $T_s$ produz $x[n]=x(nT_s)$.

A quantização restringe os valores a um conjunto de níveis. Assim, amostrar discretiza o tempo; quantizar discretiza os valores. Um sinal digital usa ambos. Para um quantizador uniforme ideal com $N$ bits e gama $[U_{\min},U_{\max})$, o passo típico é $\Delta=(U_{\max}-U_{\min})/2^N$. Com arredondamento e sem saturação, o erro de quantização tem módulo até $\Delta/2$.

Transformações no tempo

$x(t-t_0)$ atrasa o sinal se $t_0>0$; $x(t+t_0)$ adianta-o. $x(-t)$ reflete-o. $x(at)$ comprime a duração por $|a|$ se $|a|>1$ e reflete-o também se $a<0$. Localiza os instantes característicos substituindo o argumento, em vez de decorar a ordem das operações.

Se $x(t)$ é não nulo entre $0$ e $2\,\mathrm s$, resolve $0\le2t-2\le2$ para localizar $x(2t-2)$: somar $2$ dá $2\le2t\le4$ e dividir por $2$ dá $1\le t\le2\,\mathrm s$. O $-2$ desloca o início para a direita e o fator $2$ comprime a duração de $2\,\mathrm s$ para $1\,\mathrm s$.

As componentes par e ímpar são $x_p(t)=[x(t)+x(-t)]/2$ e $x_i(t)=[x(t)-x(-t)]/2$. A soma recupera $x$.

Um sinal periódico satisfaz $x(t+T_0)=x(t)$; em tempo discreto, o período tem de ser inteiro. Uma sinusoide $\cos(\Omega n)$ só é periódica se $\Omega/(2\pi)$ for racional.

Escalão e impulso

O escalão $u(t)$ vale zero para $t<0$ e um para $t>0$. O valor num ponto de salto não altera integrais usuais. O impulso $\delta(t)$ é uma distribuição, definida pela propriedade

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)\,dt=f(t_0).$$

Não é uma função ordinária de altura infinita. Tem área unitária e unidade inversa da variável de integração.

Em tempo discreto, $\delta[n]$ é uma sequência ordinária, um em $n=0$ e zero nos restantes índices. A decomposição é $x[n]=\sum_kx[k]\delta[n-k]$.

Uma carga pontual em três dimensões pode representar-se por $\rho_V(\vec r)=q\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)\delta(z-z_0)$. Integrar sobre um volume que contém o ponto recupera $q$.

Energia e potência de um sinal

Definem-se

$$E_x=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt, \qquad P_x=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2dt.$$

Em tempo discreto, substitui o integral por $\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2$ e a média por $\lim_{N\to\infty}(2N+1)^{-1}\sum_{n=-N}^N|x[n]|^2$. Para sinais complexos, $|x|^2=xx^*$.

Um sinal de energia tem $0<E_x<\infty$ e potência média zero. Um sinal de potência tem $0<P_x<\infty$ e energia infinita. Há sinais que não cabem em nenhum dos casos. Estas quantidades não são necessariamente joules e watts: para tensão, o integral tem unidade $\mathrm{V^2\,s}$. A energia elétrica dissipada numa resistência requer dividir por $R$.

Para $x(t)=Ae^{-at}u(t)$ real, $a>0$, o suporte começa em zero e o quadrado duplica o expoente:

$$E_x=A^2\int_0^\infty e^{-2at}dt =\left[-\frac{A^2}{2a}e^{-2at}\right]_0^\infty =\frac{A^2}{2a}.$$

A energia acumulada num intervalo nunca excede este valor finito. Dividi-la por $2T$ e tomar $T\to\infty$ dá $P_x=0$. Se $A=0$, o sinal é nulo e não satisfaz a condição $E_x>0$ de sinal de energia. Para uma sinusoide não nula de amplitude $A$, $P_x=A^2/2$ e $E_x=\infty$. Não calcules $\int\delta(t)^2dt$ como se o quadrado de Dirac fosse uma função definida; a energia de um impulso ideal não é uma aplicação válida desta fórmula ordinária.

Memória, causalidade e estabilidade

Um sistema sem memória usa apenas a entrada no instante atual, como $y(t)=3x(t)$. $y[n]=[x[n]+x[n-1]+x[n-2]]/3$ tem memória e é causal, porque só usa presente e passado. Uma média centrada que usa $x[n+1]$ é não causal.

Estabilidade BIBO significa que toda a entrada limitada produz saída limitada. O integrador $y(t)=\int_{-\infty}^t x(\lambda)d\lambda$ falha: um escalão limitado gera crescimento sem limite. Um ganho finito $y=3x$ é estável.

Linearidade e invariância no tempo

Um sistema $S$ é linear se $S[ax_1+bx_2]=aS[x_1]+bS[x_2]$ para quaisquer entradas e escalares. $y=3x+2$ não é linear porque entrada zero dá saída dois. $y=x^2$ também falha a homogeneidade.

É invariante no tempo se atrasar a entrada produz exatamente o mesmo atraso da saída. $y(t)=tx(t)$ é linear, mas variante: com entrada atrasada dá $tx(t-t_0)$; atrasar a saída original dá $(t-t_0)x(t-t_0)$. $y=x^2$ é não linear, mas invariante. As duas propriedades são independentes.

Para circuitos com armazenamento, a transformação entrada-saída usada como sistema linear exige estado inicial nulo, ou separar a resposta devida ao estado inicial. Uma tensão inicial fixa não nula acrescenta uma resposta independente da entrada e pode quebrar a linearidade da transformação total.