Formas quadráticas, cónicas e quádricas

A equação $2x^2+2xy+2y^2=3$ descreve uma elipse, mas o termo $2xy$ esconde os seus eixos.

A matriz simétrica $\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$, já usada nas mudanças de base, fornece as direções desses eixos. Uma mudança ortonormada retira o termo cruzado e conserva os comprimentos necessários para ler os semieixos.

Da equação à matriz simétrica

Uma forma quadrática em duas variáveis escreve-se

$$ax^2+2bxy+cy^2= \begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}.$$

A entrada fora da diagonal é metade do coeficiente de $xy$: as duas entradas $b$ produzem uma parcela $bxy$ cada uma.

Em três variáveis, fazemos o mesmo para $xy,xz,yz$.

Por exemplo, $2x^2+2xy+2y^2$ corresponde a $A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$.

Retirar o termo cruzado

Uma matriz real simétrica admite uma base ortonormada de vetores próprios. Se $Q$ tiver esses vetores como colunas, $Q^TAQ=D$. Ao escrever $X=QU$,

$$X^TAX=U^TQ^TAQU=U^TDU.$$

A base ortonormada conserva comprimentos e ângulos. Nota a diferença para a diagonalização comum: a igualdade $P^{-1}AP=D$ não é a substituição que aparece na forma quadrática, que produz $P^TAP$.

Normalizar uma base ortogonal de vetores próprios permite usar $Q^{-1}=Q^T$ e conservar a unidade dos comprimentos. Se usares vetores ortogonais não normalizados, os coeficientes de $P^TAP$ incluem os quadrados das suas normas.

No exemplo, as direções próprias são $(1,1)$ e $(1,-1)$, com valores próprios 3 e 1. Normalizando,

$$Q=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}, \qquad u=\frac{x+y}{\sqrt2},\quad v=\frac{x-y}{\sqrt2}.$$

A equação $2x^2+2xy+2y^2=3$ passa a

$$3u^2+v^2=3 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{u^2}{1}+\frac{v^2}{3}=1.$$

É uma elipse de semieixos $1$ e $\sqrt3$, com o eixo mais comprido na direção $(1,-1)$ e centro na origem.

Termos lineares e centro

Para $q(X)=X^TAX+\ell^TX+k$, com $A$ real simétrica, vetor de coeficientes lineares $\ell$ e constante $k$, uma translação $X=h+Y$ elimina os termos lineares se

$$2Ah+\ell=0.$$

Se $A$ é invertível, há um centro único $h=-\frac12A^{-1}\ell$.

Desenvolvendo,

$$q(h+Y)=(h+Y)^TA(h+Y)+\ell^T(h+Y)+k=Y^TAY+(2Ah+\ell)^TY+q(h),$$

o termo linear desaparece exatamente quando $2Ah+\ell=0$.

Substituindo,

$$q(h+Y)=Y^TAY+q(h).$$

Na equação

$$2x^2+2xy+2y^2-6x-6y+3=0,$$

temos $\ell=(-6,-6)$ e $Ah=(3,3)$, logo $h=(1,1)$. A substituição direta dá $q(h)=-3$. Depois da translação e da mudança ortonormada,

$$3u^2+v^2=3.$$

É a mesma elipse, agora centrada em $(1,1)$, com novas coordenadas $u=(x+y-2)/\sqrt2$ e $v=(x-y)/\sqrt2$.

Se $A$ for singular, não uses a fórmula da inversa. Resolve $2Ah+\ell=0$: pode não existir centro ou pode existir uma família de centros.

Reconhecer uma cónica

Depois de diagonalizar e de completar quadrados, compara com uma forma canónica. Os parâmetros $a,b$ da tabela são positivos.

Forma	Curva
$u^2/a^2+v^2/b^2=1$	Elipse
$u^2/a^2-v^2/b^2=1$	Hipérbole
$v^2=4pu$, com $p\ne0$	Parábola
$u^2/a^2+v^2/b^2=0$	Um ponto
$u^2/a^2-v^2/b^2=0$	Duas retas concorrentes
$u^2=a^2$	Duas retas paralelas
$u^2=0$	Uma reta dupla
$u^2+v^2=-1$ (conjunto vazio: o segundo membro negativo decide, não apenas os sinais próprios)	Conjunto vazio

O sinal dos valores próprios ajuda, mas o termo independente também conta: dois valores positivos podem dar uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio. Um valor próprio nulo não significa automaticamente parábola. Olha para o termo linear na direção sem termo quadrático.

Por exemplo, $x^2-2y=0$ é uma parábola, enquanto $x^2-1=0$ é um par de retas, embora a matriz da parte quadrática seja a mesma nos dois casos.

Reconhecer uma quádrica

Em três dimensões, começamos pelo mesmo processo. Estas formas canónicas mostram os principais casos, com $a,b,c>0$:

Forma	Superfície
$u^2/a^2+v^2/b^2+w^2/c^2=1$	Elipsoide
$u^2/a^2+v^2/b^2-w^2/c^2=1$	Hiperboloide de uma folha
$-u^2/a^2-v^2/b^2+w^2/c^2=1$	Hiperboloide de duas folhas
$u^2/a^2+v^2/b^2-w^2/c^2=0$	Cone elíptico
$u^2/a^2+v^2/b^2=1$	Cilindro elíptico, livre na direção $w$
$w=u^2/a^2+v^2/b^2$	Paraboloide elíptico
$w=u^2/a^2-v^2/b^2$	Paraboloide hiperbólico

Uma variável ausente significa que a superfície se prolonga livremente nessa direção. Os casos degenerados, como pontos, retas, planos ou conjunto vazio, exigem resolver a equação final; não desaparecem da análise por não estarem nesta tabela.

Uma folha ou duas?

Podemos distinguir os dois hiperboloides cortando-os por planos horizontais $w=t$. Para $u^2+v^2-w^2=1$, cada corte satisfaz

$$u^2+v^2=1+t^2.$$

Há uma circunferência para qualquer $t$: em $t=0$, o raio é 1; em $t=\pm1$, é $\sqrt2$. Os cortes nunca desaparecem e ligam-se numa superfície de uma folha.

Para $-u^2-v^2+w^2=1$, o corte satisfaz

$$u^2+v^2=t^2-1.$$

Se $|t|<1$, não há pontos, porque o primeiro membro não pode ser negativo. Em $t=\pm1$, o corte é um ponto; para $|t|>1$, é uma circunferência de raio $\sqrt{t^2-1}$. A faixa vazia $-1<w<1$ separa a superfície em duas folhas, uma com $w\geq1$ e outra com $w\leq-1$.

Elipsoide rodado e transladado (opcional)

Considera $2x^2+2xy+2y^2+z^2-6x-6y+3=0$. A parte quadrática em $(x,y)$ é a do exemplo da elipse e $z$ aparece só com $z^2$. O centro resolve

$$\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&0&1\end{bmatrix}h =\begin{bmatrix}3\\3\\0\end{bmatrix},$$

logo $h=(1,1,0)$. A constante no centro é $q(h)=2+2+2-6-6+3=-3$. Com $x=1+y_1$, $y=1+y_2$ e $z=w$, a equação fica

$$2y_1^2+2y_1y_2+2y_2^2+w^2=3.$$

A mudança ortonormada $u=(y_1+y_2)/\sqrt2$, $v=(y_1-y_2)/\sqrt2$ deixa $w=z$ inalterado. Obtemos $3u^2+v^2+w^2=3$, ou seja,

$$\frac{u^2}{1}+\frac{v^2}{3}+\frac{w^2}{3}=1.$$

É um elipsoide de semieixos $1,\sqrt3,\sqrt3$, centrado em $(1,1,0)$. O eixo mais curto segue a direção $(1,1,0)$, associada ao coeficiente 3.